조항

14.7: 원통 및 구 좌표의 삼중 적분 - 수학

14.7: 원통 및 구 좌표의 삼중 적분 - 수학



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우리는 극좌표에서 이중 적분을 수행함으로써 때때로 이중 적분을 단순화하는 것을 보았습니다. 당연히 삼중 적분은 원통 좌표나 구 좌표에서 더 간단합니다. 3차원 영역에 대해서도 동일한 작업을 수행해야 합니다.

원통 좌표계는 극좌표계에 (z) 좌표를 더한 것이기 때문에 가장 간단합니다. 일반적인 작은 부피 단위는 (z) 방향으로 아래에 표시된 모양이므로 부피는 (rDelta rDelta hetaDelta z) 또는 한계에서, (r,dr,d heta,dz).

극좌표 "그리드".

예 (PageIndex{1})

첫 번째 사분면의 (x^2+y^2=4) 내부 사분원 위의 (z=sqrt{4-r^2}) 아래에서 볼륨을 찾습니다.

해결책

물론 이중 적분으로 이를 수행할 수 있지만 삼중 적분을 사용할 것입니다.

[int_0^{pi/2}int_0^2int_0^{sqrt{4-r^2}} r,dz,dr,d heta=
int_0^{pi/2}int_0^2 sqrt{4-r^2}; r,dr,d heta=
{4piover3}.]

이것을 예제 15.2.1과 비교하십시오.

예 (PageIndex{2})

물체는 원통 (x^2+y^2=1)과 구 (x^2+y^2+z^2=4) 모두 내부 공간을 차지하며 밀도 (x^ 2) ((x,y,z)). 총 질량을 찾으십시오.

해결책

이것을 원통 좌표로 설정하고 (x=rcos heta):

[eqalign{
int_0^{2pi}int_0^1int_{-sqrt{4-r^2}}^{sqrt{4-r^2}}
r^3cos^2( heta),dz,dr,d heta
&=int_0^{2pi}int_0^1 2sqrt{4-r^2};r^3cos^2( heta),dr,d hetacr
&=int_0^{2pi}
left({128over15}-{22over5}sqrt3 ight)cos^2( heta),d hetacr
&=left({128over15}-{22over5}sqrt3 ight)picr
}]

구면 좌표는 다소 이해하기 어렵습니다. 원하는 작은 볼륨은 그림 (PageIndex{1})에서와 같이 (Delta ho), (Deltaphi) 및 (Delta heta)로 정의됩니다. .

작은 부피는 거의 상자 모양이며 4개의 평평한 면과 2개의 면이 동심원의 조각으로 형성되어 있습니다. (Delta ho), (Deltaphi) 및 (Delta heta)가 모두 매우 작을 때 이 작은 영역의 부피는 다음과 같이 처리하여 얻을 수 있는 부피에 가깝습니다. 상자. 상자의 한 차원은 단순히 원점에서 거리의 변화인 (Delta ho)입니다. 다른 두 차원은 작은 원호의 길이이므로 극좌표의 경우와 마찬가지로 적절한 (r) 및 (alpha)에 대해 (rDeltaalpha)입니다.

그림 (PageIndex{1}): 구형 좌표(AP)에 대한 작은 부피 단위

이들 중 가장 이해하기 쉬운 것은 그림 (PageIndex{2})의 왼쪽 그래프에서 볼 수 있듯이 극좌표의 유도와 거의 동일한 (phi)의 변화에 ​​해당하는 호입니다. 그 그래프에서 우리는 우리가 관심 있는 상자의 측면에서 "face on''을 보고 있으므로 그림의 작은 각도는 정확히 (Deltaphi)이고 수직 축은 실제로 (z) 축입니다. 그러나 가로축은 아니 실제 축 ---(x)-(y) 평면의 일부 선입니다. 다른 호는 ( heta)의 지배를 받기 때문에 (z) 축을 똑바로 바라보는 것을 상상해야 합니다. 그래서 우리가 보는 겉보기 각도는 (Delta heta)입니다. 이 보기에서 축은 실제로 (x) 및 (y) 축입니다. 이 그래프에서 원점으로부터의 겉보기 거리는 왼쪽 그래프와 같이 ( ho)가 아니라 ( hosinphi)입니다.

그림 (PageIndex{2}): 구면 좌표에서 적분 설정.

결론은 작은 상자의 부피는 대략 (Delta ho( hoDeltaphi)( hosinphiDelta heta) = ho^2sinphiDelta입니다. rhoDeltaphiDelta heta) 또는 제한 ( ho^2sinphi,d ho,dphi,d heta).

예 (PageIndex{3})

((x,y,z))에서의 온도가 [T=dfrac{1}{1+x^2+y^2+z^2}라고 가정합니다. onumber] 원점을 중심으로 한 단위 구.

해결책

2차원에서 우리는 "각" 지점의 온도를 더하고 면적으로 나눕니다. 여기서 우리는 온도를 더하고 부피 ((4/3)pi)로 나눕니다.

[{3over4pi}int_{-1}^1int_{-sqrt{1-x^2}}^{sqrt{1-x^2}}
int_{-sqrt{1-x^2-y^2}}^{sqrt{1-x^2-y^2}}
{1over1+x^2+y^2+z^2},dz,dy,dx onumber
]

이것은 매우 지저분해 보입니다. 문제의 모든 것이 구와 밀접하게 관련되어 있으므로 구 좌표로 변환하겠습니다.

[{3over4pi}int_0^{2pi}int_0^pi
int_0^1
{1over1+ ho^2}, ho^2sinphi,d ho,dphi,d heta
={3over4pi}(4pi -pi^2)=3-{3piover4}. 번호없음
]


APEX 미적분

극좌표가 평면의 곡선을 설명하는 새로운 방법을 제공한 것처럼 이 섹션에서는 어떻게 원통형구의 좌표는 공간의 표면과 영역을 설명하는 새로운 방법을 제공합니다.

하위 섹션 14.7.1 원통형 좌표

간단히 말해서 원통형 좌표는 극 좌표계와 직교 좌표계의 조합으로 생각할 수 있습니다. 직사각형 좌표로 주어진 점 ((x_0,y_0,z_0) ext<,>) 을 식별할 수 있으며, 원통 좌표로 주어진 점 ((r_0, heta_0,z_0) ext<,>) , 여기서 두 시스템의 (z)-값은 동일하고 (x)-(y) 평면의 점 ((x_0,y_0))은 극점 로 식별됩니다. (P(r_0, heta_0) ext<>) 그림 14.7.1 참조. 공간에서 (z) 축에 있지 않은 각 지점이 고유하게 정의되도록 (rgeq 0) 및 (0leq hetaleq 2pi ext< .>)

직교좌표 ((x,y,z)) 와 원통좌표 ((r, heta ,z) ext<,>) 즉:

구면 좌표와 관련된 변환과 함께 이러한 ID는 나중에 Key Idea 14.7.11에서 제공됩니다.

직사각형에서 극좌표로의 변환 공식은 음수 (r) 값을 허용하는 (r^2=x^2+y^2 ext<,>)를 사용했습니다. 이제 (rgeq 0 ext<,>)를 제한하므로 (r=sqrt텍스트<.>)

예 14.7.2 . 직사각형 좌표와 원통형 좌표 간 변환.

직사각형 점 ((2,-2,1))을 원통 좌표로 변환하고 원통 점 ((4,3pi/4,5))을 직사각형으로 변환합니다.

위에 제공된 ID(그리고 나중에 Key Idea 14.7.11에서)에 따라 (r = sqrt <2^2+(-2)^2>= 2sqrt<2> ext<.>가 있습니다. ) ( an( heta) = y/x ext<,>)를 사용하여 ( heta = an^<-1>(-2/2) =-pi/4 ext< .>) ( heta)를 (0)과 (2pi ext<,>) 사이로 제한하면 ( heta = 7pi/4 ext<로 설정됩니다. >) 마지막으로 (z = 1 ext<,>) 원통형 점 ((2sqrt2,7pi/4,1) ext<.>)

원통형 점 ((4,3pi/4,5)) 을 직사각형으로 변환할 때 (x = 4cosig(3pi/4ig) = -2sqrt<2 > ext<,>) (y = 4sinig(3pi/4ig) = 2sqrt<2>) 및 (z=5 ext<,>) 직사각형 점 ((-2sqrt<2>,2sqrt<2>,5) ext<.>)

(r ext<,>) ( heta) 및 (z)를 각각 상수와 동일하게 설정하면 다음 예와 같이 공간의 표면이 정의됩니다.

예 14.7.3 . 원통형 좌표의 표준 표면.

원기둥 좌표로 주어진 표면 (r=1 ext<,>) ( heta = pi/3) 및 (z=2 ext<,>)를 설명하십시오.

방정식 (r=1)은 공간에서 (z) 축에서 1단위 떨어진 모든 점을 설명합니다. 이 표면은 그림 11.1.12(원통 (x^2+y^2=1) ) 공간에서).

방정식 ( heta=pi/3)은 (x)- (y) 평면, (z) 축에 평행합니다.

방정식 (z=2)는 공간에서 (x)-(y) 평면보다 2단위 위에 있는 모든 점의 평면을 설명합니다. 이 평면은 직교좌표에서 (z=2)로 설명되는 평면과 동일합니다.

그림 14.7.4에는 세 개의 표면이 모두 그래프로 표시되어 있습니다. 그들의 교차점이 어떻게 점 (P=(1,pi/3,2) ext<.>)을 고유하게 정의하는지 주목하십시오.

원통형 좌표는 공간의 특정 영역을 설명할 때 유용하므로 직사각형 좌표를 사용하는 경우보다 이러한 영역에 대한 삼중 적분을 더 쉽게 평가할 수 있습니다.

정리 14.6.25는 직교 좌표를 사용하여 (iiint_Dh(x,y,z), dV)를 계산하는 방법을 보여줍니다. 그 평가에서 우리는 (dV = dz,dy,dx) (또는 다른 5가지 적분 차수 중 하나)를 사용합니다. 이 적분 순서에서 (y)의 경계가 "곡선 대 곡선"이고 (x)의 경계가 "점 대 점"인 방법을 상기하십시오. 이 경계는 (x)-(y) 평면. 14.3절에서와 같이 극좌표를 사용하여 (R)를 기술할 수 있습니다. 그 섹션에서 우리는 (dA = dy,dx ext<.>) 대신 (dA = r,dr,d heta)를 사용하는 방법을 보았습니다.

위의 생각을 고려하여 (dV = dzig(r,dr,d hetaig) = r,dz,dr,d heta ext<.>) 이전 섹션에서 수행한 대로 (z)에서 "표면 대 표면"으로 사용한 다음 (r) 및 ( heta ext<,>에서 "곡선 대 곡선" 및 "점 대 점" 경계를 사용합니다. ) 각각. 마지막으로 위에 주어진 항등식을 사용하여 피적분 함수 (h(x,y,z))를 (h(r, heta,z) ext<.>)로 변경합니다.

이 과정은 다음 정리가 실제로 삼중 적분을 평가하는 방법이라는 것을 그럴듯하게 들릴 것입니다.

정리 14.7.5 . 원통형 좌표의 삼중 통합.

(w=h(r, heta,z))를 공간의 닫힌 경계 영역 (D)에 대한 연속 함수라고 하자. 원통 좌표에서 (alpha leq heta leq beta ext<,>) (g_1( heta)leq r leq g_2( heta)) 및 (f_1(r, heta) leq z leq f_2(r, heta) text<.>) 그런 다음

예 14.7.6 . 원통형 좌표로 삼중 적분을 계산합니다.

공간에서 (z=0 ext<,>) (z=sqrt<4-x^2-y^2>+3)로 둘러싸인 공간에서 영역으로 표시되는 솔리드의 질량을 구하고 실린더 (x^2+y^2=4) (그림 14.7.7 참조), 밀도 함수 (delta(x,y,z) = x^2+y^2+z+1 text<,>)는 원통형 좌표에서 삼중 적분을 사용합니다. 거리는 센티미터로 측정되고 밀도는 그램/cm(^3 ext<.>)으로 측정됩니다.

이 공간 영역을 원통형 좌표로 설명하는 것으로 시작합니다. 평면 (z=0)은 ID (r=sqrt)로 변경되지 않은 상태로 유지됩니다. ext<,>) 반지름 2의 반구를 (z=sqrt<4-r^2> ext<>) 원통 (x^2+y^2=4) 방정식으로 변환합니다. )는 (r^2=4 ext<,>) 또는 더 간단히 (r=2 ext<.>)로 변환됩니다. 밀도 함수도 변환합니다. (delta(r,) 세타,z) = r^2+z+1 ext<.>)

삼중 적분의 경계로 이 입체를 설명하기 위해 (z)를 (0leq zleq sqrt<4-r^2>+3 ext<>)로 묶었습니다. ) (0 leq r leq 2 ext<>)로 ( heta)를 (0 leq heta leq 2pi ext<.>)로 묶었습니다.

정의 14.6.26 및 정리 14.7.5를 사용하여 고체의 질량은 다음과 같습니다.

여기서 나머지 이중 적분의 세부 사항은 독자에게 남겨둡니다.

예 14.7.8 . 원통형 좌표를 사용하여 질량 중심 찾기.

극곡선 (r=cos(3 heta))으로 밑면을 설명할 수 있고 평면 (z=1-x+0.1)로 위쪽을 정의하는 밀도가 일정한 고체의 질량 중심을 찾으십시오. y ext<,>) 여기서 거리는 그림 14.7.9와 같이 피트 단위로 측정됩니다. (이 고체의 부피는 실시예 14.3.10에서 확인되었습니다.)

평면의 방정식을 원통 좌표를 사용하도록 변환합니다. (z= 1-rcos( heta)+0.1rsin( heta) ext<.>) 따라서 영역은 공간이 (0 leq z leq 1-rcos( heta) + 0.1rsin( heta) ext<,>) (0 leq r leq cos(3 heta) ext< ,>) (0 leq heta leq pi) (장미 곡선 (r=cos(3 heta))은 ([0,pi]에서 한 번 추적됩니다. 텍스트<.>)

밀도는 일정하므로 (delta = 1)로 설정하고 질량을 찾는 것은 고체의 부피를 찾는 것과 같습니다. 우리는 이를 계산하기 위해 삼중 적분을 설정했지만 평가하지 않고 예제 14.3.10에서 찾은 것과 동일한 결과로 평가되는지 확인하기 위해 독자에게 맡깁니다.

정의 14.6.26에서 세 좌표 평면에 대한 모멘트를 계산하기 위해 삼중 적분을 설정합니다. 각각의 계산은 독자에게 맡겨집니다(기술 사용 권장):

직교 좌표계에서 질량 중심은 솔리드 경계 외부에 있는 ((-0.147,0.015,0.467) ext<,>)에 있습니다.

하위 섹션 14.7.2 구 좌표

간단히 말해서, 구면 좌표는 극좌표 시스템의 "이중 적용"으로 생각할 수 있습니다. 구면 좌표에서 점 (P)는 (( ho, heta,varphi) ext<,>)로 식별됩니다. 여기서 ( ho)는 원점에서 (P ext<,>) ( heta)는 원통 좌표계에서 (P)를 설명하는 데 사용되는 것과 동일한 각도이고 (varphi)는 양의 (z )축 및 원점에서 (P ext<>)까지의 광선은 그림 14.7.10을 참조하십시오. 공간에서 (z) 축에 있지 않은 각 지점이 고유하게 정의되도록 ( ho geq 0 ext<,>) (0 leq heta leq 2 pi) 및 (0 leq varphi leq pi ext<.>)

기호 ( ho)는 그리스 문자 "rho"입니다. 전통적으로 이것은 구면 좌표계에서 사용되는 반면 (r)은 극좌표 및 원통 좌표계에서 사용됩니다.

다음 핵심 아이디어는 세 가지 공간 좌표계로의 변환을 제공합니다.

핵심 아이디어 14.7.11. 직사각형, 원통형 및 구형 좌표 간 변환.

구면 좌표에서 ( heta) 및 (varphi)의 역할은 수학자와 물리학자에 따라 다릅니다. 구면 좌표계의 물리학에 대해 읽을 때 특정 작성자가 이러한 변수를 사용하는 방법에 주의하고 이러한 ID가 더 이상 유효하지 않을 수 있음을 인식하십시오.

예제 14.7.12 . 직교 좌표와 구 좌표 간 변환.

직사각형 점 ((2,-2,1))을 구면 좌표로 변환하고, 구면 점 ((6,pi/3,pi/2))을 직사각형 및 원통 좌표로 변환합니다.

이 직사각형 점은 예제 14.7.2에서 사용된 것과 동일합니다. Key Idea 14.7.11을 사용하여 예제 14.7과 동일한 논리를 사용하여 ( ho = sqrt <2^2+(-1)^2+1^2>= 3 ext<.>)를 찾습니다. 2, ( heta = 7pi/4 ext<.>) 마지막으로 (cos(varphi) = 1/3 ext<,>) 를 찾습니다. (varphi = cos ^<-1>(1/3) 약 1.23 ext<,>) 또는 약 (70.53^circ ext<.>) 따라서 구면 좌표는 약 ((3,7pi/ 4,1.23)텍스트<.>)

구형 점 ((6,pi/3,pi/2))을 직사각형으로 변환하면 (x = 6sin(pi/2)cos(pi/3) = 3이 됩니다. text<,>) (y = 6sin(pi/2)sin(pi/3) = 3sqrt<3>) 및 (z = 6cos(pi/2) = 0 ext<.>) 따라서 직교좌표는 ((3,3sqrt<3>,0) ext<.>)

이 구형 점을 원통형으로 변환하려면 (r = 6sin(pi/2) = 6 ext<,>) ( heta = pi/3) 및 (z = 6) cos(pi/2) =0 ext<,>) 원통점 ((6,pi/3,0) ext<.>) 제공

예 14.7.13 . 구면 좌표의 표준 표면.

구면 좌표로 주어진 표면 ( ho=1 ext<,>) ( heta = pi/3) 및 (varphi = pi/6 ext<,>)를 설명하십시오.

방정식 ( ho = 1)은 원점에서 1단위 떨어진 공간의 모든 점을 설명합니다. 이것은 원점을 중심으로 하는 반지름 1의 구입니다.

방정식 ( heta = pi/3)는 원통 좌표에서와 같이 구면 좌표에서 동일한 표면을 설명합니다. (x)- 극좌표로 주어진 (y) 평면, (z) 축에 평행한 선을 연장하여 평면을 형성합니다.

방정식 (varphi=pi/6)은 공간에서 원점에서 (P)까지의 광선이 양수와 (pi/6)의 각도를 이루는 모든 점 (P)을 설명합니다. (z)-축. 이것은 양의 (z) 축이 대칭 축이고 원점이 있는 원뿔을 나타냅니다.

그림 14.7.14에는 세 가지 표면이 모두 그래프로 표시되어 있습니다. 그들의 교차점이 어떻게 점 (P=(1,pi/3,pi/6) ext<.>)을 고유하게 정의하는지 주목하십시오.

구형 좌표는 공간의 특정 영역을 설명할 때 유용하므로 직교 좌표나 원통형 좌표를 사용하는 경우보다 이러한 영역에 대한 삼중 적분을 더 쉽게 평가할 수 있습니다. 구면좌표에서 삼중적분을 설정하는 핵심은 적분에 사용되는 "소량의 부피" (dV ext<,>)를 적절하게 기술하는 것입니다.

그림 14.7.15를 고려하면 ( ho ext<,>) ( heta) 및 (varphi) 각각을 조금씩 변경하여 작은 "구형 쐐기"를 만들 수 있습니다. ho ext<,>) (Delta heta) 및 (Deltavarphi ext<,>) 이 쐐기는 각 좌표의 변화가 작을 때 대략 직사각형의 입체이며 부피가 약

공간의 영역 (D)가 주어지면 많은 쐐기로 (D)의 부피를 근사할 수 있습니다. (Delta ho ext<,>) (Delta heta) 및 (Deltavarphi) 각각의 크기가 0이 될수록 웨지의 개수는 무한대와 볼륨으로 증가합니다. 의 (D)는 더 정확하게 근사화되어 다음을 제공합니다.

다시 말하지만, (dV)의 이러한 발전은 합리적으로 들릴 것이며, 다음 정리는 이것이 구면 좌표에서 삼중 적분을 평가하는 적절한 방식이라고 말합니다.

일반적으로 정리 14.7.16에서 ( ho)에 대해 적분하여 삼중 적분을 평가하는 것이 가장 직관적입니다. ext<.>) 다른 텍스트는 다른 표준 순서를 나타내며 일부는 (d heta, dvarphi ext<.>) 대신 (dvarphi, d heta)를 선호합니다. 이러한 변수는 일반적으로 실제로 상수이므로 일반적으로 선호도의 문제입니다.

정리 14.7.16 . 구면 좌표의 삼중 통합.

(w=h( ho, heta,varphi)) 를 구면 좌표에서 (alpha_1 leq varphi leq alpha_2 ext<,>) (eta_1 leq heta leq eta_2) 및 (f_1( heta,varphi) leq ho leq f_2( heta,varphi) text<.>) 그런 다음

예제 14.7.17 . 구의 부피를 설정합니다.

(D)를 원점을 중심으로 하는 구로 둘러싸인 공간의 영역이라고 하자. 반경 (r ext<.>) 구면 좌표에서 삼중 적분을 사용하여 (D텍스트<.>)

원점을 중심으로 하는 반지름 (r ext<,>)의 구는 방정식 ( ho = r ext<.>)을 갖습니다. 전체 구를 얻으려면 ( heta) 및 (varphi)는 (0leq heta leq 2pi) 및 (0 leq varphi leq pi ext<.>)입니다.

구의 부피에 대한 익숙한 공식. 제곱근이나 대입과 같은 적분 단계를 사용하지 않고 적분 단계가 얼마나 쉬웠는지 주목하십시오.

예 14.7.18 . 구면 좌표를 사용하여 질량 중심 찾기.

그림 14.7.19와 같이 위에서 ( ho=4)로, 아래에서 (varphi = pi/6 ext<,>)로 둘러싸인 일정한 밀도를 갖는 고체의 질량 중심을 찾으십시오.

질량 중심을 찾는 데 필요한 4개의 삼중 적분을 설정할 것입니다(즉, (M ext<,>) (M_텍스트<,>) (M_) 및 (M_)) 각 적분을 평가하도록 독자에게 맡기십시오. 대칭 때문에 우리는 질량 중심의 (x)- 및 (y)- 좌표가 0이 될 것으로 예상합니다.

솔리드를 설명하는 표면은 문제 설명에 제공되지만 전체 솔리드 (D ext<,>)를 설명하기 위해 다음 경계를 사용합니다. (0 leq ho leq 4 ext<, >) (0 leq heta leq 2pi) 및 (0 leq varphi leq pi/6 ext<.>) 밀도 (delta)는 일정하므로 가정 (delta =1 ext<.>)

(M_을 계산하려면 ext<,>) 피적분은 Key Idea 14.7.11을 사용하여 (x ext<>)이고 (x = hosin(varphi)cos( heta) ext<가 있습니다. >) 이것은 다음을 제공합니다:

예상대로 (overline = 0텍스트<.>)

(M_을 계산하려면 ext<,>) 피적분은 Key Idea 14.7.11을 사용하여 (y ext<>)이고 (y = hosin(varphi)sin( heta) ext<가 있습니다. >) 이것은 다음을 제공합니다:

우리가 예상했던 대로 (overline = 0텍스트<.>)

(M_을 계산하려면 ext<,>) 피적분자는 Key Idea 14.7.11을 사용하여 (z ext<>)이고 (z = hocos(varphi) ext<.>) 다음을 제공합니다.

따라서 질량 중심은 ((0,0,M_/M) approx (0,0,2.799) ext<,>)는 그림 14.7.19와 같습니다.

이 섹션에서는 공간의 점을 식별하는 데 유용한 두 가지 새로운 좌표계에 대한 간략한 소개를 제공했습니다. 각각은 각 시스템이 도입될 때 그래프로 표시된 표준 표면 너머 공간에서 다양한 표면을 정의하는 데 사용할 수 있습니다.

그러나 이러한 좌표계의 유용성은 설명할 수 있는 다양한 표면이나 이러한 표면이 둘러쌀 수 있는 공간의 영역에 있지 않습니다. 오히려 원통형 좌표는 주로 원통을 설명하는 데 사용되며 구면 좌표는 대부분 구를 설명하는 데 사용됩니다. 이러한 모양은 과학, 특히 물리학에서 특별한 관심을 갖고 있으며 이러한 모양의/내부 계산은 직교 좌표를 사용하여 어렵습니다. 예를 들어, 전기 및 자기 연구에서 와이어가 기본적으로 실린더인 와이어를 통과하는 전류의 영향을 연구하는 경우가 많으며 이는 실린더 좌표로 잘 설명됩니다.

이 장에서는 편미분에 대한 자연스러운 후속 조치인 반복 적분을 조사했습니다. 우리는 이중 적분의 경계를 사용하여 직사각형과 극좌표를 모두 사용하여 평면의 영역을 설명하는 방법을 배웠고 나중에 공간의 영역을 설명하기 위해 삼중 적분의 경계를 사용하도록 확장했습니다. 우리는 이중 적분을 사용하여 표면 아래의 체적, 표면적 및 층의 질량 중심을 구했습니다. 공간 영역의 체적을 찾고 공간에서 영역의 질량 중심을 찾는 대체 방법으로 삼중 적분을 사용했습니다.

통합은 여기서 멈추지 않습니다. 우리는 적분을 계속 반복하고 다음으로 경계가 4차원 공간(시각화하기 매우 어려운)의 영역을 설명하는 "4중 적분"을 조사할 수 있습니다. 또한 평면의 곡선 아래 영역을 찾은 "정규" 통합을 다시 볼 수 있습니다. 이에 대한 자연스러운 유사점은 곡선이 평면이 아닌 공간에 있는 "곡선 아래 영역"을 찾는 것입니다. 이들은 "통합"이라는 제목으로 탐색해야 하는 많은 방법 중 두 가지에 불과합니다.

연습 14.7.3 연습

원기둥 좌표에서 (r ext<,>) 역할과 구면 좌표에서 ( ho ext<,>) 역할의 차이점을 설명하여 점의 위치를 ​​결정하십시오.

원통형에서 (r)은 (z) 성분을 고려하기 전에 (x)-(y) 평면에서 원점에서 얼마나 멀리 가는지를 결정합니다. 동등하게, 원통 좌표의 점을 (x)-(y) 평면에 투영하는 경우 (r)은 원점에서 이 투영까지의 거리입니다.

구형에서 ( ho)는 원점에서 점까지의 거리입니다.

원통형 및 구면 좌표를 사용할 때 (z) 축의 점이 고유하게 결정되지 않는 이유는 무엇입니까?

(r=0) 또는 ( ho=0 ext<,>)이면 각 좌표계의 점은 ( heta ext <.>)

원통형 좌표를 사용하여 자연스럽게 정의되는 표면은 무엇입니까?

원점을 중심으로 하는 실린더(튜브), (x)-에 평행한 (z)-축 평면과 교차하는 (z)-축에 평행한 (z)-축 평면에 평행 (y) 평면.

구면 좌표를 사용하여 자연스럽게 정의되는 표면은 무엇입니까?

원점에 있는 점이 있는 (z)-축을 중심으로 하는 (z)-축 원뿔과 교차하는 (z)-축에 평행한 원점 평면을 중심으로 하는 구.

다음 연습에서 점은 직사각형, 원통형 또는 구형 좌표계로 제공됩니다. 다른 시스템에서 점의 좌표를 찾으십시오.

직교 좌표의 점: ((2,2,1)) 및 ((-sqrt<3>,1,0))

원통 좌표의 점: ((2,pi/4,2)) 및 ((3,3pi/2,-4))

구면 좌표의 점: ((2,pi/4,pi/4)) 및 ((1,0,0))

원통형: ((2sqrt 2,pi/4,1)) 및 ((2,5pi/6,0)) 구형: ((3,pi/4,cos^) <-1>(1/3))) 및 ((2,5pi/6,pi/2))

직사각형: ((sqrt 2,sqrt 2,2)) 및 ((0,-3,-4)) 구형: ((2sqrt 2,pi/4,pi/4 )) 및 ((5,3pi/2,pi- an^<-1>(3/4)))

직사각형: ((1,1,sqrt<2>)) 및 ((0,0,1)) 원통형: ((sqrt<2>,pi/4,sqrt<2> )) 및 ((0,0,1))

직교 좌표의 점: ((0,1,1)) 및 ((-1,0,1))

원통 좌표의 점: ((0,pi,1)) 및 ((2,4pi/3,0))

구면 좌표의 점: ((2,pi/6,pi/2)) 및 ((3,pi,pi))

원통형: ((1,pi/2,1)) 및 ((1,pi,1)) 구형: ((sqrt 2,pi/2,pi/4)) 및 ((sqrt<2>, pi, pi/4))

직사각형: ((0,0,1)) 및 ((-1,-sqrt 3,0)) 구형: ((1,pi,0)) 및 ((2,4 pi/3,pi/2))

직사각형: ((sqrt 3,1,0)) 및 ((0,0,-3)) 원통형: ((2,pi/6,0)) 및 ((0, pi,-3))

다음 연습에서는 주어진 경계에 의해 결정되는 공간의 곡선, 표면 또는 영역을 설명합니다.

원통형 좌표의 경계:

(r=1 ext<,>) (0leq hetaleq 2pi ext<,>) (0leq zleq 1)

(1leq rleq 2 ext<,>) (0leq hetaleq pi ext<,>) (0leq zleq 1)

구면 좌표의 경계:

( ho=3 ext<,>) (0leq hetaleq2pi ext<,>) (0leqvarphileq pi/2)

(2leq holeq3 ext<,>) (0leq hetaleq2pi ext<,>) (0leqvarphileq pi)

반지름 1의 (z)축을 따라 중심에 있는 원통형 표면 또는 튜브로 (x)-(y) 평면에서 (z=1) 평면까지 확장됩니다(즉, 튜브의 길이는 1)입니다.

이것은 길이가 1인 (z)축을 따라 중심에 있는 내부 반경 1과 외부 반경 2의 "두꺼운" 벽을 가진 튜브의 절반인 공간 영역입니다. 여기서 절반은 (x)-(z) 평면이 제거됩니다.

이것은 원점(즉, 상반구)을 중심으로 하는 반경 3의 구의 상반부입니다.

이것은 원점을 중심으로 하는 반지름 2의 볼이 원점을 중심으로 하는 반지름 3의 볼에서 제거되는 공간 영역입니다.

원통형 좌표의 경계:

(1leq rleq 2 ext<,>) ( heta= pi/2 ext<,>) (0leq zleq 1)

(r= 2 ext<,>) (0leq hetaleq 2pi ext<,>) (z=5)

구면 좌표의 경계:

(0leq holeq2 ext<,>) (0leq hetaleqpi ext<,>) (varphi = pi/4)

( ho=2 ext<,>) (0leq hetaleq2pi ext<,>) (varphi = pi/6)

모서리가 ((0,1,0) ext<,>) ((0,1,1) ext<,>에 있는 (y)-(z) 평면의 정사각형 부분 ) ((0,2,1)) 및 ((0,2,0) ext<.>)

이것은 (x)-(y) 평면(즉, 평면 (z=5)).

이것은 공간의 영역으로, 상단이 둥근 솔리드 원뿔의 절반이며, 여기서 둥근 상단은 원점을 중심으로 하는 반지름 2의 볼의 일부이고 원뿔의 측면은 (pi/4)의 각도를 만듭니다. ) 양의 (z) 축을 사용합니다. ( heta)의 경계는 (x)-(z) 평면 "위" 부분만 유지됨을 의미합니다.

이것은 (x)-(y) 평면에 평행하게 놓여 있는 ((0,0,sqrt 3) ext<,>) 를 중심으로 하는 반지름 1의 원인 곡선입니다.

다음 연습에서는 원통형 및 구면 좌표로 정의된 공간의 표준 영역이 표시됩니다. 그래프 영역에 대해 주어진 함수를 통합하는 삼중 적분을 설정합니다.


14.7: 원통 및 구 좌표의 삼중 적분 - 수학

당신은 너의 일을 지워 이 활동에. 정말 하시겠습니까?

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있다 업데이트된 버전 이 활동의. 이 활동의 ​​최신 버전으로 업데이트하면 이 활동의 ​​현재 진행 상황이 지워집니다. 그럼에도 불구하고 완료 기록은 남습니다. 어떻게 진행하시겠습니까?

수식 편집기

1. 원통 및 구면 좌표에서 삼중 적분을 편안하게 설정하고 계산할 수 있습니다. 2. 원통 및 구면 좌표의 삼중 적분에 대한 스케일링 계수와 그 출처를 이해합니다. 3. 원통 좌표와 구 좌표 사이에서 편안하게 선택하십시오.

원통 좌표

비디오 요약

다음은 섹션의 요점을 강조한 동영상입니다.

예제 비디오

다음은 원통형 좌표에서 삼중 적분의 경계를 설정하는 예입니다.

문제

원통 좌표의 피적분은 적분이므로 다음이 됩니다.

이것은 포물면 아래와 원통 내부의 영역입니다. 원통 좌표가 선택하기에 좋은 좌표계가 되는 이유는 조건이 우리가 나중에 어쨌든 극좌표로 갈 것이라는 것을 의미하므로 지금 원통 좌표로 갈 수 있기 때문입니다.

원통형 좌표의 포물면 방정식(즉, , , 및 )은 다음과 같습니다. 따라서 에 대한 경계는 다음과 같습니다. 극성의 디스크는 따라서 적분은

구면 좌표

이 섹션 전체에서 ""를 사용하여 "."를 나타내야 합니다.

비디오 요약

다음은 섹션의 주요 요점을 강조한 동영상입니다.

예제 비디오

다음은 구면 좌표에서 삼중 적분의 경계를 설정하는 예입니다.

문제

참고: 답변 입력 대신 "p"를 사용하십시오. 예를 들어 에 대한 입력입니다.

좌표계 선택

다음 문제의 경우 삼중 적분을 계산하기 위해 직교 좌표, 원통형 좌표 또는 구 좌표를 사용할지 결정해야 합니다. 세 가지를 모두 시도하고 각 문제에 대해 어떤 것이 현실적인 옵션인지 확인하는 것이 좋습니다.

다음 문제를 이중 적분으로 한 적이 있습니다. 이제 그것을 삼중 적분으로 하고 그것이 같은 것이라고 스스로 확신하십시오.

  • 원통형 좌표에서 적분은 다음과 같습니다.
  • 구형에서 적분은 다음과 같습니다(파이에 대해 "p" 입력).
  • 어느 쪽이든 평가하면 다음과 같은 답을 얻을 수 있습니다.

이것을 원통형 또는 구형으로 설정할 수 있습니다. 교차점은 원입니다. 원통형에서 설정은 에 대해 적분한 후 제곱근이 사라지기 때문에 실제로 해결할 수 있습니다.

구면에서 평면은 방정식 또는 . 구에는 방정식이 있습니다. 이것들은 경계를 제공합니다. 를 얻으려면 영역이 에서 시작하고 구와 평면의 교차점, 즉 , 또는 . 이것은 경계를 제공합니다. 따라서 설정은


미적분 3에 대해 더 알고 싶으십니까? 이를 위한 단계별 과정이 있습니다. :)

원통형 좌표에서 삼중 적분을 계산합니다.

가장 안쪽 적분부터 시작하여 적분 한계를 직교 좌표에서 원통 좌표로 변환하는 것부터 시작하겠습니다. 이것이 에 대한 통합의 한계가 됩니다. 지. 에 대해 해결해야 함을 의미합니다. 지. 일단 우리는 그것들을 원통형 좌표로 얻습니다. 상한선 . 3. 이후로 동일하게 유지할 수 있습니다. z=z. 직각 좌표에서 원통형 좌표로 이동할 때 변환 공식을 사용하여 하한을 변환해야 합니다.

삼각 아이덴티티 사용 . 죄^2+cos^2=1. 우리는 단순화 할 수 있습니다

이는 에 대한 적분의 한계를 의미합니다. 지. 원통 좌표에서 는 입니다. [r,3].

다음으로 우리는 중간 적분에 대한 적분의 한계를 할 것입니다. 이것이 에 대한 통합의 한계가 됩니다. 엑스. 에 대해 해결해야 함을 의미합니다. 아르 자형. 일단 우리는 그것들을 원통형 좌표로 얻습니다.

하한은 다음과 같이 주어진다.

상한은 다음과 같이 주어진다.

에 대한 통합의 한계처럼 보입니다. 아르 자형. 원통 좌표에서 는 로 주어집니다. [-3,3]. 그러나 기억하십시오. 아르 자형. 반경 또는 원점으로부터의 거리를 나타냅니다. 우리라고 하는 것은 말이 되지 않습니다. -삼. 원점에서 떨어진 단위. 대신, 우리는 항상 에 대한 하한이라고 말합니다. 아르 자형. 이다 . 0. 그렇게 . 0.은 원점에 가장 가깝고(원점 오른쪽) . 3. 원점에서 가장 멀리 떨어져 있습니다. 따라서 통합의 한계는 . 아르 자형. 될거야 . [0,3].

Finally, we’ll do the limits of integration for the outer integral. These will be the limits of integration for . 와이. which means they need to be solved for . 세타. once we get them to cylindrical coordinates. But since we’re going to . 세타. we can just assume that the interval is . [0,2pi]. because that interval represents the full set of values for . 세타. which is just the angle between any point and the positive direction of the . 엑스. -중심선.

Next we’ll use the conversion formulas to convert the function itself into cylindrical coordinates.

Putting all of this, plus . dV=r dz dr d heta. into the integral gives

. int^<2pi>_0int^3_<0>int^3_rrzcos< heta>left(r dz dr d heta ight).

. int^<2pi>_0int^3_<0>int^3_rr^2zcos< heta> dz dr d heta.

we’ll need to convert the limits of integration, the function itself, and dV from rectangular coordinates to cylindrical coordinates.

We always integrate from the inside out, which means we’ll integrate first with respect to . 지. treating all other variables as constants.

Now we’ll integrate with respect to . 아르 자형. treating all other variables as constants.


Like cartesian (or rectangular) coordinates and polar coordinates, cylindrical coordinates are just another way to describe points in three-dimensional space.

Remember that cylindrical coordinates are exactly the same as polar coordinates, just in three-dimensional space instead of two-dimensional space. Since polar coordinates in 2D are given as . (r, heta). cylindrical coordinates just require us to add a value for . 지. to account for 3D space, which means cylindrical coordinates are given as . (r, heta,z).

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직사각형 coordinates are given as . (x,y,z).

where . 엑스. is the distance of . (x,y,z). from the origin along the . 엑스. -axis

where . 와이. is the distance of . (x,y,z). from the origin along the . 와이. -axis

where . 지. is the distance of . (x,y,z). from the origin along the . 지. -axis

원통형 coordinates are given as . (r, heta,z).

where . 아르 자형. is the distance of . (r, heta,z). from the origin

where . 세타. is the angle between . 아르 자형. (the line connecting . (r, heta,z). to the origin) and the positive direction of the . 엑스. -axis

where . 지. is the the distance of . (r, heta,z). from the origin along the . 지. -axis

To convert between cylindrical coordinates and rectangular coordinates, we use the conversion formulas


01.Triple Integrals Cylindrical Coordinates

Spherical coordinates calculator converts between Cartesian and spherical coordinates in a 3D space. When converting from the rectangular to the spherical system, our spherical coordinate calculator assumes that the origins of both systems overlap. Flux is the total force you feel, the total number of bananas you see flying by your surface. Think of flux like weight. Flux Factors.


14.7: Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates - Mathematics

Lecture Description

This video lecture, part of the series Vector Calculus by Prof. Christopher Tisdell, does not currently have a detailed description and video lecture title. If you have watched this lecture and know what it is about, particularly what Mathematics topics are discussed, please help us by commenting on this video with your suggested 기술표제. Many thanks from,

- The CosmoLearning Team

Course Index

  1. Applications of Double integrals
  2. Path Integrals: How to Integrate Over Curves
  3. What is a Vector Field?
  4. What is the Divergence?
  5. What is the Curl?
  6. What is a Line Integral?
  7. Applications of Line Integrals
  8. Fundamental Theorem of Line Integrals
  9. What is Green's Theorem?
  10. Green's Theorem
  11. Parametrised Surfaces
  12. What is a Surface Integral? (1부)
  13. More On Surface Integrals
  14. Surface Integrals and Vector Fields
  15. Divergence Theorem of Gauss
  16. How to Solve PDEs via Separation of Variables and Fourier Series
  17. Vector Revision
  18. Intro to Curves and Vector Functions
  19. Limits of Vector Functions
  20. Calculus of Vector Functions: One Variable
  21. Calculus of Vector Functions Tutorial
  22. Vector Functions Tutorial
  23. Intro to Functions of Two Variables
  24. Limits of Functions of Two Variables
  25. Partial Derivatives
  26. Partial Derivatives and PDEs Tutorial
  27. Multivariable Functions: Graphs and Limits
  28. Multivariable Chain Rule and Differentiability
  29. Chain Rule: Partial Derivative of $arctan (y/x)$ w.r.t. $x$
  30. Chain Rule & Partial Derivatives
  31. Chain Rule: Identity Involving Partial Derivatives
  32. Multivariable Chain Rule
  33. Leibniz' Rule: Integration via Differentiation Under Integral Sign
  34. Evaluating Challenging Integrals via Differentiation: Leibniz Rule
  35. Gradient and Directional Derivative
  36. Gradient and Directional Derivative
  37. Directional dDerivative of $f(x,y)$
  38. Tangent Plane Approximation and Error Estimation
  39. Gradient and Tangent Plane
  40. Partial Derivatives and Error Estimation
  41. Multivariable Taylor Polynomials
  42. Taylor Polynomials: Functions of Two Variables
  43. Multivariable Calculus: Limits, Chain Rule and Arc Length
  44. Critical Points of Functions
  45. How to Find Critical Points of Functions
  46. How to Find Critical Points of Functions
  47. Second Derivative Test: Two Variables
  48. Multivariable Calculus: Critical Points and Second Derivative Test
  49. How to Find and Classify Critical Points of Functions
  50. Lagrange Multipliers
  51. Lagrange Multipliers: Two Constraints
  52. Lagrange Multipliers: Extreme Values of a Function Subject to a Constraint
  53. Lagrange Multipliers Example
  54. Lagrange multiplier Example: Minimizing a Function Subject to a Constraint
  55. Second Derivative Test, Max/Min and Lagrange Multipliers
  56. Intro to Jacobian Matrix and Differentiability
  57. Jacobian Chain Rule and Inverse Function Theorem
  58. Intro to Double Integrals
  59. Double Integrals Over General Regions
  60. Double Integrals: Volume Between Two Surfaces
  61. Double Integrals: Volume of a Tetrahedron
  62. Double Integral
  63. Double Integrals and Area
  64. Double Integrals in Polar Co-ordinates
  65. Reversing Order in Double Integrals
  66. Double Integrals: Reversing the Order of Integration
  67. Applications of Double Integrals
  68. Double Integrals and Polar Co-ordinates
  69. Double Integrals
  70. Centroid and Double Integral
  71. Center of Mass, Double Integrals and Polar Co-ordinates
  72. Triple Integral
  73. Triple integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates
  74. Triple integrals & Center of Mass
  75. Change of Variables in Double Integrals
  76. Path Integral (Scalar Line Integral) From Vector Calculus
  77. Line Integral Example in 3D-Space
  78. Line Integral From Vector Calculus Over a Closed Curve
  79. Line Integral Example From Vector Calculus
  80. Divergence of a Vector Field
  81. Curl of a Vector Field (ex. no.1)
  82. Curl of a Vector Field (ex. no.2)
  83. Divergence Theorem of Gauss
  84. Intro to Fourier Series and How to Calculate Them
  85. How to Compute a Fourier Series: An Example
  86. What are Fourier Series?
  87. Fourier Series
  88. Fourier Series and Differential Equations

Course Description

In this course, Prof. Chris Tisdell gives 88 video lectures on Vector Calculus. This is a series of lectures for "Several Variable Calculus" and "Vector Calculus", which is a 2nd-year mathematics subject taught at UNSW, Sydney. This playlist provides a shapshot of some lectures presented in Session 1, 2009 and Session 1, 2011. These lectures focus on presenting vector calculus in an applied and engineering context, while maintaining mathematical rigour. Thus, this playlist may be useful to students of mathematics, but also to those of engineering, physics and the applied sciences. There is an emphasis on examples and also on proofs. Dr Chris Tisdell is Senior Lecturer in Applied Mathematics.


Solved Problems

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실시예 1

실시예 2

실시예 3

실시예 4

실시예 5

예 1.

It is more convenient to calculate this integral in cylindrical coordinates. Projection of the region of integration onto the (xy)-plane is the circle ( + le 1) or (0 le ho le 1) (Figure (3)).

Notice that the integrand can be written as

Then the integral becomes

[I = intlimits_0^ <2pi > intlimits_0^1 << ho ^4> ho d ho > intlimits_0^1 .]

The second integral contains the factor ( ho) which is the Jacobian of transformation of the Cartesian coordinates into cylindrical coordinates. All the three integrals over each of the variables do not depend on each other. As a result the triple integral is easy to calculate as


Want to learn more about Calculus 3? 이를 위한 단계별 과정이 있습니다. :)

Use spherical coordinates to find the volume of the triple integral, where . B. is a sphere with center . (0,0,0). and radius . 4.

Using the conversion formula . ho^2=x^2+y^2+z^2. we can change the given function into spherical notation.

. intintint_Bx^2+y^2+z^2 dV=intintint_B ho^2 dV.

Then we’ll use . dV= ho^2sin d ho d heta dphi. to make a substitution for . dV.

. intintint_B ho^2left( ho^2sin d ho d heta dphi ight).

. intintint_B ho^4sin d ho d heta dphi.

Now we’ll find limits of integration. We already know the limits of integration for . phi. 그리고 . 세타. since they are always the same if we’re dealing with a full sphere, so we get

. int_0^piint_0^ d ho d heta dphi.

Since . ho. defines the radius of the sphere, and we’re told that this sphere has its center at . (0,0,0). and radius . 4. . ho. is defined on . [0,4]. 그래서

. int_0^piint_0^ d ho d heta dphi.

We can use triple integrals and spherical coordinates to solve for the volume of a solid sphere.

We always integrate inside out, so we’ll integrate with respect to . ho. first, treating all other variables as constants.

Now we’ll integrate with respect to . 세타. treating all other variables as constants.

Finally, we’ll integrate with respect to . phi.

This is the volume of the region bounded beneath the surface . x^2+y^2+z^2. and above the sphere defined by . 비.


Solutions for Chapter 14.7: Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates

Solutions for Chapter 14.7: Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates

  • 14.7.1: In Exercises 16, evaluate the iterated integral.2020r cos dr d dz
  • 14.7.2: In Exercises 16, evaluate the iterated integral.202r0 rz dz dr d
  • 14.7.3: In Exercises 16, evaluate the iterated integral.
  • 14.7.4: In Exercises 16, evaluate the iterated integral.20e32 d d d
  • 14.7.5: In Exercises 16, evaluate the iterated integral.
  • 14.7.6: In Exercises 16, evaluate the iterated integral.4040cos 02 sin cos .
  • 14.7.7: In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate the.
  • 14.7.8: In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate the.
  • 14.7.9: In Exercises 912, sketch the solid region whose volume is given by .
  • 14.7.10: In Exercises 912, sketch the solid region whose volume is given by .
  • 14.7.11: In Exercises 912, sketch the solid region whose volume is given by .
  • 14.7.12: In Exercises 912, sketch the solid region whose volume is given by .
  • 14.7.13: In Exercises 1316, convert the integral from rectangular coordinate.
  • 14.7.14: In Exercises 1316, convert the integral from rectangular coordinate.
  • 14.7.15: In Exercises 1316, convert the integral from rectangular coordinate.
  • 14.7.16: In Exercises 1316, convert the integral from rectangular coordinate.
  • 14.7.17: Volume In Exercises 1720, use cylindrical coordinates to find the v.
  • 14.7.18: Volume In Exercises 1720, use cylindrical coordinates to find the v.
  • 14.7.19: Volume In Exercises 1720, use cylindrical coordinates to find the v.
  • 14.7.20: Volume In Exercises 1720, use cylindrical coordinates to find the v.
  • 14.7.21: Mass In Exercises 21 and 22, use cylindrical coordinates to find th.
  • 14.7.22: Mass In Exercises 21 and 22, use cylindrical coordinates to find th.
  • 14.7.23: In Exercises 2328, use cylindrical coordinates to find the indicate.
  • 14.7.24: In Exercises 2328, use cylindrical coordinates to find the indicate.
  • 14.7.25: In Exercises 2328, use cylindrical coordinates to find the indicate.
  • 14.7.26: In Exercises 2328, use cylindrical coordinates to find the indicate.
  • 14.7.27: In Exercises 2328, use cylindrical coordinates to find the indicate.
  • 14.7.28: In Exercises 2328, use cylindrical coordinates to find the indicate.
  • 14.7.29: Moment of Inertia In Exercises 29 and 30, use cylindrical coordinat.
  • 14.7.30: Moment of Inertia In Exercises 29 and 30, use cylindrical coordinat.
  • 14.7.31: Volume In Exercises 31 and 32, use spherical coordinates to find th.
  • 14.7.32: Volume In Exercises 31 and 32, use spherical coordinates to find th.
  • 14.7.33: Mass In Exercises 33 and 34, use spherical coordinates to find the .
  • 14.7.34: Mass In Exercises 33 and 34, use spherical coordinates to find the .
  • 14.7.35: Center of Mass In Exercises 35 and 36, use spherical coordinates to.
  • 14.7.36: Center of Mass In Exercises 35 and 36, use spherical coordinates to.
  • 14.7.37: Moment of Inertia In Exercises 37 and 38, use spherical coordinates.
  • 14.7.38: Moment of Inertia In Exercises 37 and 38, use spherical coordinates.
  • 14.7.39: Give the equations for the coordinate conversion from rectangular t.
  • 14.7.40: Give the equations for the coordinate conversion from rectangular t.
  • 14.7.41: Give the iterated form of the triple integral in cylindrical form.
  • 14.7.42: Give the iterated form of the triple integral in spherical form.
  • 14.7.43: Describe the surface whose equation is a coordinate equal to a cons.
  • 14.7.44: When evaluating a triple integral with constant limits of integrati.
  • 14.7.45: Find the volume of the four-dimensional spherex2 y 2 z2 w2 a2by eva.
  • 14.7.46: Use spherical coordinates to show that x2 y2 z2 e x2y2z2 dx dy dz 2. 1
Textbook: Calculus: Early Transcendental Functions
Edition: 4
Author: Ron Larson Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards
ISBN: 9780618606245

Calculus: Early Transcendental Functions was written by and is associated to the ISBN: 9780618606245. This expansive textbook survival guide covers the following chapters and their solutions. Since 46 problems in chapter 14.7: Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates have been answered, more than 73596 students have viewed full step-by-step solutions from this chapter. This textbook survival guide was created for the textbook: Calculus: Early Transcendental Functions , edition: 4. Chapter 14.7: Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates includes 46 full step-by-step solutions.

A rectangular graphical display of categorical data.

An angle whose vertex is the center of a circle

See Cartesian coordinate system.

The factor Ae-a in an equation such as y = Ae-at cos bt

A vector in the direction of a line in three-dimensional space

The length of the chord through the focus and perpendicular to the axis.

A method of solving a system of n linear equations in n unknowns.

See Polynomial function in x.

See Natural logarithmic regression

A model of population growth: ƒ1x2 = c 1 + a # bx or ƒ1x2 = c1 + ae-kx, where a, b, c, and k are positive with b < 1. c is the limit to growth

Any of the real numbers in a matrix

The process of expanding a fraction into a sum of fractions. The sum is called the partial fraction decomposition of the original fraction.

lim x:a- ƒ(x) = limx:a+ ƒ(x) but either the common limit is not equal ƒ(a) to ƒ(a) or is not defined

In the plane i = <1, 0> and j = <0,1> in space i = <1,0,0>, j = <0,1,0> k = <0,0,1>


비디오 보기: პარამეტრზე დამოკიდებული ინტეგრალები (팔월 2022).