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10.6: 단항식 나누기(1부) - 수학

10.6: 단항식 나누기(1부) - 수학



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개발 기술

  • 지수의 몫 속성을 사용하여 표현식 단순화
  • 지수가 0인 표현식 단순화
  • 지수 대 거듭제곱 속성을 사용하여 표현식 단순화
  • 여러 속성을 적용하여 표현식 단순화
  • 단항식 나누기

준비하세요!

시작하기 전에 이 준비 퀴즈를 풀어보십시오.

  1. 단순화: (dfrac{8}{24}). 문제를 놓친 경우 예제 4.3.1을 검토하십시오.
  2. 단순화:(2m3)5. 문제를 놓친 경우 예제 10.3.13을 검토하십시오.
  3. 단순화: (dfrac{12x}{12y}). 문제를 놓친 경우 예제 4.3.5를 검토하십시오.

지수의 몫 속성을 사용하여 표현식 단순화하기

이 장의 앞부분에서 곱셈에 대한 지수의 속성을 개발했습니다. 여기에서 이러한 속성을 요약합니다.

곱셈에 대한 지수 속성 요약

a, b가 실수이고 m, n이 정수인 경우

제품 속성미디엄 • ㅏ = 에이m + n
전력 속성(ㅏ미디엄) = 에이m • n
제품의 힘(아)미디엄 = 에이미디엄미디엄

이제 나눗셈의 지수 속성을 살펴보겠습니다. 시작하기 전에 빠른 메모리 리프레셔가 도움이 될 수 있습니다. 분수에서 등가 분수 속성을 사용하여 분자와 분모의 공약수를 나누어 분수를 단순화할 수 있다는 것을 배웠습니다. 이 속성은 또한 몫이기도 한 대수 분수를 사용하는 데 도움이 됩니다.

정의: 등가 분수 속성

a, b, c가 b ≠ 0, c ≠ 0인 정수인 경우

[dfrac{a}{b} = dfrac{a cdot c}{b cdot c}quad andquad dfrac{a cdot c}{b cdot c} = dfrac{a} {비}]

이전과 마찬가지로 몇 가지 예를 살펴봄으로써 속성을 찾으려고 노력할 것입니다.

중히 여기다$$dfrac{x^{5}}{x^{2}}$$$$dfrac{x^{2}}{x^{3}}$$
그들은 무엇을 의미합니까?$$dfrac{x cdot x cdot x cdot x cdot x}{x cdot x}$$$$dfrac{x cdot x}{x cdot x cdot x}$$
등가 분수 속성 사용$$dfrac{cancel{x} cdot cancel{x} cdot x cdot x cdot x}{cancel{x} cdot cancel{x} cdot 1}$$$$dfrac{cancel{x} cdot cancel{x} cdot 1}{cancel{x} cdot cancel{x} cdot x}$$
단순화.$$x^{3}$$$$dfrac{1}{x}$$

각 경우에 밑이 동일했고 지수를 뺍니다.

  • 더 큰 지수가 분자에 있을 때 우리는 분자에 인수를, 분모에 1을 남겨서 단순화했습니다.
  • 더 큰 지수가 분모에 있을 때, 우리는 분모에 인수를, 분자에 1을 남겼는데, 이는 단순화할 수 없었습니다.

우리는 쓴다:

[egin{분할} dfrac{x^{5}}{x^{2}} qquad &quad dfrac{x^{2}}{x^{3}} x^{5 -2} qquad &; dfrac{1}{x^{3-2}} x^{3} qquad quad &quad dfrac{1}{x} end{분할}]

정의: 지수의 몫 속성

a가 실수이고 a ≠ 0이고 m, n이 정수인 경우

[dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}, ; m>n quad 및 quad dfrac{a^{m}}{a^{n}} = dfrac{1}{a^{n-m}},; n>m]

숫자가 있는 몇 가지 예가 이 속성을 확인하는 데 도움이 될 수 있습니다.

[egin{분할} dfrac{3^{4}}{3^{2}} &stackrel{?}{=} 3^{4-2} qquad ; dfrac{5^{2}}{5^{3}} stackrel{?}{=} dfrac{1}{5^{3-2}} dfrac{81}{9} & 스택렐{?}{=} 3^{2} qquad ; ; dfrac{25}{125} stackrel{?}{=} dfrac{1}{5^{1}} 9 &= 9; 체크 표시 qquad ; ; ; dfrac{1}{5} = dfrac{1}{5}; 체크 표시 end{분할}]

숫자로 작업하고 지수가 3보다 작거나 같으면 지수를 적용합니다. 지수가 3보다 크면 답을 지수 형식으로 남겨둡니다.

예 (PageIndex{1}):

단순화: (a) (dfrac{x^{10}}{x^{8}}) (b) (dfrac{2^{9}}{2^{2}})

해결책

몫으로 표현을 단순화하려면 먼저 분자와 분모의 지수를 비교해야 합니다.

(ㅏ)

10 > 8이므로 분자에 x의 인수가 더 많습니다.$$dfrac{x^{10}}{x^{8}}$$
m > n, (dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m − n})인 몫 속성을 사용합니다.$$x^{ extcolor{빨간색}{10-8}}$$
단순화.$$x^{2}$$

(비)

9 > 2이므로 분자에 2의 약수가 더 많습니다.$$dfrac{2^{9}}{2^{2}}$$
m > n, (dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m − n})인 몫 속성을 사용합니다.$$2^{ extcolor{빨간색}{9-2}}$$
단순화.$$2^{7}$$

더 큰 지수가 분자에 있으면 분자에 인수가 남게 됩니다.

연습 (PageIndex{1}):

단순화: (a) (dfrac{x^{12}}{x^{9}}) (b) (dfrac{7^{14}}{7^{5}})

대답

(x^3)

답 b

(7^9)

연습 (PageIndex{2}):

단순화: (a) (dfrac{y^{23}}{y^{17}}) (b) (dfrac{8^{15}}{8^{7}})

대답

(y^6)

답 b

(8^8)

예 (PageIndex{2}):

단순화: (a) (dfrac{b^{10}}{b^{15}}) (b) (dfrac{3^{3}}{3^{5}})

해결책

몫으로 표현을 단순화하려면 먼저 분자와 분모의 지수를 비교해야 합니다.

(ㅏ)

15 > 10이므로 분모에 b의 인수가 더 많습니다.$$dfrac{b^{10}}{b^{15}}$$
n > m, (dfrac{a^{m}}{a^{n}} = dfrac{1}{a^{n − m}})인 몫 속성을 사용합니다.$$dfrac{ extcolor{red}{1}}{b^{ extcolor{red}{15-10}}}$$
단순화.$$dfrac{1}{b^{5}}$$

(비)

5 > 3이므로 분모에 3의 약수가 더 많습니다.$$dfrac{3^{3}}{3^{5}}$$
n > m, (dfrac{a^{m}}{a^{n}} = dfrac{1}{a^{n − m}})인 몫 속성을 사용합니다.$$dfrac{ extcolor{red}{1}}{3^{ extcolor{red}{5-3}}}$$
단순화.$$dfrac{1}{3^{2}}$$
지수를 적용합니다.$$dfrac{1}{9}$$

더 큰 지수가 분모에 있을 때 우리는 분모에 인수를, 분자에 1을 남깁니다.

연습 (PageIndex{3}):

단순화: (a) (dfrac{x^{8}}{x^{15}}) (b) (dfrac{12^{11}}{12^{21}})

대답

(frac{1}{x^7})

답 b

(frac{1}{12^10})

연습 (PageIndex{4}):

단순화: (a) (dfrac{m^{17}}{m^{26}}) (b) (dfrac{7^{8}}{7^{14}})

대답

(frac{1}{m^9})

답 b

(frac{1}{7^6})

예 (PageIndex{3}):

단순화: (a) (dfrac{a^{5}}{a^{9}}) (b) (dfrac{x^{11}}{x^{7}})

해결책

(ㅏ)

9 > 5이므로 분모에 더 많은 a가 있으므로 분모에 인수가 포함됩니다.$$dfrac{a^{5}}{a^{9}}$$
n > m, (dfrac{a^{m}}{a^{n}} = dfrac{1}{a^{n − m}})인 몫 속성을 사용합니다.$$dfrac{ extcolor{red}{1}}{a^{ extcolor{red}{9-5}}}$$
단순화.$$dfrac{1}{a^{4}}$$

(비)

11 > 7이므로 분자에 x의 인수가 더 많다는 점에 주목하세요. 따라서 분자에 인수가 포함됩니다.$$dfrac{x^{11}}{x^{97}}$$
m > n, (dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m − n})인 몫 속성을 사용합니다.$$a^{ extcolor{빨간색}{11-7}}$$
단순화.$$x^{4}$$

연습 (PageIndex{5}):

단순화: (a) (dfrac{b^{19}}{b^{11}}) (b) (dfrac{z^{5}}{z^{11}})

대답

(b^8)

답 b

(frac{1}{z^6})

연습 (PageIndex{6}):

단순화: (a) (dfrac{p^{9}}{p^{17}}) (b) (dfrac{w^{13}}{w^{9}})

대답

(frac{1}{p^8})

답 b

(w^4)

지수가 0인 표현식 단순화

몫 속성의 특별한 경우는 분자와 분모의 지수가 같은 경우입니다(예: (dfrac{a^{m}}{a^{m}})). 분수에 대한 이전 작업에서 우리는 다음을 알고 있습니다.

[dfrac{2}{2} = 1 qquad dfrac{17}{17} = 1 qquad dfrac{-43}{-43} = 1]

즉, 숫자 자체로 나눈 값은 1입니다. 따라서 x(x ≠ 0)에 대해 (dfrac{x}{x}) = 1입니다.

지수의 몫 속성은 지수를 빼서 m > n일 때와 n < m일 때 (dfrac{a^{m}}{a^{n}})를 단순화하는 방법을 보여줍니다. m = n이라면?

이제 (dfrac{a^{m}}{a^{m}}) 를 두 가지 방법으로 단순화하여 제로 지수. 1인 첫 번째 (dfrac{8}{8})를 고려하십시오.

$$dfrac{8}{8} = 1$$
8을 2로 쓰기3.$$dfrac{2^{3}}{2^{3}} = 1$$
지수를 뺍니다.$$2^{3-3} = 1$$
단순화.$$2^{0} = 1$$

우리는 (dfrac{a^{m}}{a^{n}}) 가 a0 그리고 1. 그래서0 = 1.

정의: 0 지수

a가 0이 아닌 숫자인 경우0 = 1. 0의 거듭제곱으로 거듭난 0이 아닌 숫자는 모두 1입니다.

이 텍스트에서 우리는 0의 거듭제곱으로 올리는 모든 변수가 0이 아니라고 가정합니다.

예 (PageIndex{4}):

단순화: (a) 120 (나) 예0

해결책

정의에 따르면 0이 아닌 모든 숫자는 0의 거듭제곱으로 1이 됩니다.

(a) 120

0 지수의 정의를 사용하십시오.1

(나) 예0

0 지수의 정의를 사용하십시오.1

연습 (PageIndex{7}):

단순화: (a) 170 (나) m0

대답

1

답 b

1

연습 (PageIndex{8}):

단순화: (a) k0 (나) 290

대답

1

답 b

1

이제 0 지수를 정의했으므로 정수 지수를 포함하도록 지수의 모든 속성을 확장할 수 있습니다.

식을 0의 거듭제곱으로 높이는 것은 어떻습니까? (2x)를 보자0. 이 식을 다시 작성하기 위해 곱을 거듭제곱 규칙에 사용할 수 있습니다.

(2x)0
제품을 전원 규칙에 사용하십시오.20엑스0
0 지수 속성을 사용하십시오.1 • 1
단순화.1

이것은 0으로 거듭제곱된 0이 아닌 표현식은 모두 1임을 알려줍니다.

예 (PageIndex{5}):

단순화: (7z)0.

해결책

0 지수의 정의를 사용하십시오.1

연습 (PageIndex{9}):

단순화: (−4y)0.

대답

1

(PageIndex{10}) 연습:

단순화: (left(dfrac{2}{3} x ight)^{0}).

대답

1

예 (PageIndex{6}):

단순화: (a) (−3x2와이)0 (b) -3x2와이0

해결책

(a) (−3x2와이)0

제품은 0의 거듭 제곱으로 올라갑니다.(−3x2와이)0
0 지수의 정의를 사용하십시오.1

(b) -3x2와이0

변수 y만 0의 거듭제곱으로 올라갑니다.-3x2와이0
0 지수의 정의를 사용하십시오.-3x2 • 1
단순화.-3x2

연습 (PageIndex{11}):

단순화: (a) (7x2와이)0 (나) 7배2와이0

대답

1

답 b

(7x^2)

연습 (PageIndex{12}):

단순화: (a) −23x2와이0 (b) (−23x2와이)0

대답

(-23x^2)

답 b

1

지수 대 거듭제곱 속성을 사용하여 표현식 단순화하기

이제 우리는 몫에 대한 거듭제곱 속성에 대한 예제를 살펴보겠습니다.

$$left(dfrac{x}{y} ight)^{3}$$
이것은 의미$$dfrac{x}{y} cdot dfrac{x}{y} cdot dfrac{x}{y}$$
분수를 곱합니다.$$dfrac{x cdot x cdot x}{y cdot y cdot y}$$
지수로 씁니다.$$dfrac{x^{3}}{y^{3}}$$

지수는 분자와 분모 모두에 적용됩니다. (left(dfrac{x}{y} ight)^{3})는 (dfrac{x^{3}}{y^{3}})입니다. 우리는 쓴다:

[left(dfrac{x}{y} ight)^{3} = dfrac{x^{3}}{y^{3}}]

이것은 지수의 거듭제곱 속성에 대한 몫으로 이어집니다.

정의: 지수의 거듭제곱 속성에 대한 몫

a와 b가 실수이고 b ≠ 0이고 m이 세는 숫자인 경우

[left(dfrac{a}{b} ight)^{m} = dfrac{a^{m}}{b^{m}}]

분수를 거듭제곱하려면 분자와 분모를 그 거듭제곱으로 올립니다.

숫자가 있는 예는 이 속성을 이해하는 데 도움이 될 수 있습니다.

[egin{split} left(dfrac{2}{3} ight)^{3} &stackrel{?}{=} dfrac{2^{3}}{3^{3}} dfrac{2}{3} cdot dfrac{2}{3} cdot dfrac{2}{3} &stackrel{?}{=} dfrac{8}{27} dfrac{8}{27} &= dfrac{8}{27}; 체크 표시 end{분할}]

예 (PageIndex{7}):

단순화: (a) (left(dfrac{5}{8} ight)^{2}) (b) (left(dfrac{x}{3} ight)^{4} ) (c) (left(dfrac{y}{m} ight)^{3})

해결책

(a) (left(dfrac{5}{8} ight)^{2})

거듭제곱 속성에 몫을 사용합니다. (left(dfrac{a}{b} ight)^{m} = dfrac{a^{m}}{b^{m}}).$$dfrac{5^{ extcolor{red}{2}}}{8^{ extcolor{red}{2}}}$$
단순화.$$dfrac{25}{64}$$

(b) (left(dfrac{x}{3} ight)^{4})

거듭제곱 속성에 몫을 사용합니다. (left(dfrac{a}{b} ight)^{m} = dfrac{a^{m}}{b^{m}}).$$dfrac{x^{ extcolor{red}{4}}}{3^{ extcolor{red}{4}}}$$
단순화.$$dfrac{x^{4}}{81}$$

(c) (left(dfrac{y}{m} ight)^{3})

분자와 분모를 3제곱합니다.$$dfrac{y^{ extcolor{red}{3}}}{m^{ extcolor{red}{3}}}$$

연습 (PageIndex{13}):

단순화: (a) (left(dfrac{7}{9} ight)^{2}) (b) (left(dfrac{y}{8} ight)^{3} ) (c) (left(dfrac{p}{q} ight)^{6})

대답

(dfrac{49}{81})

답 b

(dfrac{y^3}{512})

답 c

(dfrac{p^6}{q^6})

연습 (PageIndex{14}):

단순화: (a) (left(dfrac{1}{8} ight)^{2}) (b) (left(dfrac{-5}{m} ight)^{3 }) (c) (left(dfrac{r}{s} ight)^{4})

대답

(dfrac{1}{64})

답 b

(-dfrac{125}{m^3})

답 c

(dfrac{r^4}{s^4})


10.4 단항식 나누기

이 장의 앞부분에서 곱셈에 대한 지수의 속성을 개발했습니다. 여기에서 이러한 속성을 요약합니다.

곱셈에 대한 지수 속성 요약

이제 나눗셈의 지수 속성을 살펴보겠습니다. 시작하기 전에 빠른 메모리 리프레셔가 도움이 될 수 있습니다. 분수에서 등가 분수 속성을 사용하여 분자와 분모의 공약수를 나누어 분수를 단순화할 수 있다는 것을 배웠습니다. 이 속성은 몫이기도 한 대수 분수를 사용하는 데 도움이 됩니다.

등가 분수 속성

이전과 마찬가지로 우리는 몇 가지 예를 살펴봄으로써 속성을 발견하려고 노력할 것입니다.

x 5 x 2 및 x 2 x 3을 고려하십시오. 이것은 무엇을 의미합니까? x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x x ⋅ x x ⋅ x x ⋅ x ⋅ x 등가 분수 속성을 사용합니다. x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x x ⋅ x ⋅ 1 x ⋅ x ⋅ 1 x ⋅ x ⋅ x 단순화합니다. x 3 1 x 고려 x 5 x 2 및 x 2 x 3 이것은 무엇을 의미합니까? x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x x ⋅ x x ⋅ x x ⋅ x ⋅ x 등가 분수 속성을 사용합니다. x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x x ⋅ x ⋅ 1 x ⋅ x ⋅ 1 x ⋅ x ⋅ x 단순화합니다. x 3 1 x

각 경우에 밑이 같으며 지수를 뺍니다.

지수의 몫 속성

숫자가 있는 몇 가지 예가 이 속성을 확인하는 데 도움이 될 수 있습니다.

예 10.45

해결책

몫으로 표현을 단순화하려면 먼저 분자와 분모의 지수를 비교해야 합니다.

더 큰 지수가 분자에 있을 때 분자에 인수가 남게 됩니다.

예 10.46

해결책

몫으로 표현을 단순화하려면 먼저 분자와 분모의 지수를 비교해야 합니다.

더 큰 지수가 분모에 있을 때 분모에 인수가 남아 있고 분자에 1 1이 남게 됩니다.

예 10.47

해결책

지수가 0인 표현식 단순화

몫 속성의 특별한 경우는 m a m 과 같은 표현식과 같이 분자와 분모의 지수가 동일한 경우입니다. 오전 오전 . 분수에 대한 이전 작업에서 우리는 다음을 알고 있습니다.

제로 지수

0의 거듭제곱으로 0이 아닌 모든 숫자는 1입니다. 1 .

이 텍스트에서 우리는 0의 거듭제곱으로 올리는 모든 변수가 0이 아니라고 가정합니다.

예 10.48

해결책

정의에 따르면 0이 아닌 모든 숫자는 0의 거듭제곱으로 1이 됩니다. 1 .

이제 0 지수를 정의했으므로 정수 지수를 포함하도록 지수의 모든 속성을 확장할 수 있습니다.

식을 0의 거듭제곱으로 높이는 것은 어떻습니까? ( 2 x ) 0 을 살펴보겠습니다. ( 2 x ) 0 . 이 식을 다시 작성하기 위해 곱을 거듭제곱 규칙에 사용할 수 있습니다.

이것은 0승으로 거듭난 0이 아닌 표현식은 모두 1이라는 것을 알려줍니다.

예 10.49

해결책

실시예 10.50

해결책

지수 대 거듭제곱 속성을 사용하여 표현식 단순화하기

이제 우리는 몫에 대한 거듭제곱 속성에 대한 예제를 살펴보겠습니다.

지수는 분자와 분모 모두에 적용됩니다.

이것은 지수의 거듭제곱 속성에 대한 몫으로 이어집니다.

지수의 거듭제곱 속성에 대한 몫

분수를 거듭제곱하려면 분자와 분모를 그 거듭제곱으로 올립니다.

숫자가 있는 예는 이 속성을 이해하는 데 도움이 될 수 있습니다.

실시예 10.51

해결책

여러 속성을 적용하여 표현식 단순화

이제 지수의 모든 속성을 요약하여 여러 속성을 사용하여 표현식을 단순화할 때 모두 함께 참조할 것입니다. 이제 정수 지수에 대해 정의됩니다.

지수 속성 요약

예 10.52

해결책

예 10.53

해결책

예 10.54

해결책

예 10.55

해결책

밑이 같지 않기 때문에 여기에서 먼저 괄호 안을 단순화할 수 없습니다.

예 10.56

해결책

예 10.57

단순화: ( y 2 ) 3 ( y 2 ) 4 ( y 5 ) 4 . ( 2 ) 3 ( 2 ) 4 ( 5 ) 4 .

해결책

단순화: ( y 4 ) 4 ( y 3 ) 5 ( y 7 ) 6 . ( 4 ) 4 ( 3 ) 5 ( 7 ) 6 .

단순화: ( 3 x 4 ) 2 ( x 3 ) 4 ( x 5 ) 3 . ( 3 x 4 ) 2 ( x 3 ) 4 ( x 5 ) 3 .

단항식 나누기

이제 지수의 모든 속성을 보았습니다. 우리는 그것들을 사용하여 단항식을 나눌 것입니다. 나중에 다항식을 나누는 데 사용합니다.

실시예 10.58

몫을 구합니다: 56 x 5 ÷ 7 x 2 . 56 x 5 ÷ 7 x 2 .

해결책

몫을 구합니다: 63 x 8 ÷ 9 x 4 . 63 x 8 ÷ 9 x 4 .

몫을 구하십시오: 96 y 11 ÷ 6 y 8 . 96년 11년 ÷ 6년 8년 .

단항식을 둘 이상의 변수로 나눌 때 각 변수에 대해 분수를 씁니다.

예 10.59

몫을 구합니다. 42 x 2 y 3 −7 x y 5 . 42 x 2 y 3 −7 x y 5 .

해결책

몫을 구합니다. −84 x 8 y 3 7 x 10 y 2 . −84 x 8 y 3 7 x 10 y 2 .

몫을 구합니다. −72 a 4 b 5 −8 a 9 b 5 . −72 a 4 b 5 −8 a 9 b 5 .

실시예 10.60

몫을 구합니다: 24 a 5 b 3 48 a b 4 . 24 a 5 b 3 48 a b 4 .

해결책

몫을 구합니다. 16 a 7 b 6 24 a b 8 . 16 a 7 b 6 24 a b 8 .

몫을 구합니다. 27 p 4 q 7 −45 p 12 q . 27 p 4 q 7 −45 p 12 q .

이 과정에 익숙해지고 단계별로 여러 번 연습하면 한 단계로 분수를 단순화할 수 있습니다.

예 10.61

몫을 구합니다. 14 x 7 y 12 21 x 11 y 6 . 14 x 7 y 12 21 x 11 y 6 .

해결책

몫을 구합니다. 28 x 5 y 14 49 x 9 y 12 . 28 x 5 y 14 49 x 9 y 12 .

몫을 구합니다. 30 m 5 n 11 48 m 10 n 14 . 30m 5n 11 48m 10n 14 .

지금까지의 모든 예에서 분수를 단순화하기 전에 분자 또는 분모에서 수행할 작업이 없었습니다. 다음 예에서는 분수를 단순화하기 전에 먼저 분자에서 두 단항식의 곱을 찾습니다.

예 10.62

몫을 구합니다. ( 3 x 3 y 2 ) ( 10 x 2 y 3 ) 6 x 4 y 5 . ( 3 x 3 y 2 ) ( 10 x 2 y 3 ) 6 x 4 y 5 .

해결책

분수 막대는 그룹화 기호임을 기억하십시오. 먼저 분자를 단순화합니다.

몫을 구합니다. ( 3 x 4 y 5 ) ( 8 x 2 y 5 ) 12 x 5 y 8 . ( 3 x 4 y 5 ) ( 8 x 2 y 5 ) 12 x 5 y 8 .

몫을 구합니다. ( −6 a 6 b 9 ) ( −8 a 5 b 8 ) −12 a 10 b 12 . ( −6 a 6 b 9 ) ( −8 a 5 b 8 ) −12 a 10 b 12 .

미디어

추가 온라인 리소스에 액세스

섹션 10.4 연습

연습이 완벽을 만든다

지수의 몫 속성을 사용하여 표현식 단순화하기

다음 연습에서는 단순화합니다.

지수가 0인 표현식 단순화

다음 연습에서는 단순화합니다.

지수 대 거듭제곱 속성을 사용하여 표현식 단순화하기

다음 연습에서는 단순화합니다.

여러 속성을 적용하여 표현식 단순화

다음 연습에서는 단순화합니다.

( 3 x 4 ) 3 ( 2 x 3 ) 2 ( 6 x 5 ) 2 ( 3 x 4 ) 3 ( 2 x 3 ) 2 ( 6 x 5 ) 2

( −2 y 3 ) 4 ( 3 y 4 ) 2 ( −6 y 3 ) 2 ( −2 y 3 ) 4 ( 3 y 4 ) 2 ( −6 y 3 ) 2

단항식 나누기

다음 연습에서는 단항식을 나눕니다.

48 x 11 y 9 z 3 36 x 6 y 8 z 5 48 x 11 y 9 z 3 36 x 6 y 8 z 5

64 x 5 y 9 z 7 48 x 7 y 12 z 6 64 x 5 y 9 z 7 48 x 7 y 12 z 6

( 10 u 2 v ) ( 4 u 3 v 6 ) 5 u 9 v 2 ( 10 u 2 v ) ( 4 u 3 v 6 ) 5 u 9 v 2

( 6 m 2 n ) ( 5 m 4 n 3 ) 3 m 10 n 2 ( 6 m 2 n ) ( 5 m 4 n 3 ) 3 m 10 n 2

( 6 a 4 b 3 ) ( 4 a b 5 ) ( 12 a 8 b ) ( a 3 b ) ( 6 a 4 b 3 ) ( 4 a b 5 ) ( 12 a 8 b ) ( a 3 b )

( 4 u 5 v 4 ) ( 15 u 8 v ) ( 12 u 3 v ) ( u 6 v ) ( 4u 5 v 4 ) ( 15 u 8 v ) ( 12 u 3 v ) ( u 6 v )

혼합 연습

27 a 7 3 a 3 + 54 a 9 9 a 5 27 a 7 3 a 3 + 54 a 9 9 a 5

32 c 11 4 c 5 + 42 c 9 6 c 3 32 c 11 4 c 5 + 42 c 9 6 c 3

32년 5 8년 2 - 60년 10 5년 7 32년 5 8년 2 - 60년 10 5년 7

48 x 6 6 x 4 - 35 x 9 7 x 7 48 x 6 6 x 4 - 35 x 9 7 x 7

63 r 6 s 3 9 r 4 s 2 − 72 r 2 s 2 6 s 63 r 6 s 3 9 r 4 s 2 − 72 r 2 s 2 6 s

56 y 4 z 5 7 y 3 z 3 − 45 y 2 z 2 5 y 56 y 4 z 5 7 y 3 z 3 − 45 y 2 z 2 5 y

일상 수학

쓰기 연습

자체 점검

ⓐ 실습을 완료한 후 이 체크리스트를 사용하여 이 섹션의 목표를 충분히 이해했는지 평가하십시오.

ⓑ 체크리스트에 대한 응답을 고려할 때 이 섹션의 숙달도를 1-10점으로 평가한다면? 이를 어떻게 개선할 수 있습니까?

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    • 저자: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
    • 게시자/웹사이트: OpenStax
    • 책 제목: Prealgebra 2e
    • 발행일: 2020년 3월 11일
    • 위치: 휴스턴, 텍사스
    • 책 URL: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
    • 섹션 URL: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/10-4-divide-monomials

    © 2021년 1월 21일 OpenStax. OpenStax에서 제작한 교과서 콘텐츠는 Creative Commons Attribution License 4.0 라이선스에 따라 라이선스가 부여됩니다. OpenStax 이름, OpenStax 로고, OpenStax 책 표지, OpenStax CNX 이름, OpenStax CNX 로고는 Creative Commons 라이선스의 적용을 받지 않으며 Rice University의 명시적인 사전 서면 동의 없이 복제할 수 없습니다.


    10.6 다항식 인수분해 소개

    이전에 우리는 제품을 얻기 위해 요인을 곱했습니다. 이제 우리는 이 프로세스를 반대로 할 것입니다. 제품으로 시작한 다음 요소로 분해할 것입니다. 제품을 여러 요인으로 나누는 것을 인수분해라고 합니다.

    대수 언어에서 우리는 두 개 이상의 숫자의 최소공배수(LCM)를 찾기 위해 숫자를 인수분해했습니다. 이제 우리는 표현식을 인수 분해하고 찾을 것입니다. 최대 공약수 둘 이상의 표현. 우리가 사용하는 방법은 LCM을 찾는 데 사용한 것과 유사합니다.

    최대 공약수

    두 개 이상의 표현식의 최대공약수(GCF)는 모든 표현식의 인수인 최대 표현식입니다.

    먼저 두 수의 최대공약수를 구합니다.

    실시예 10.80

    24 24 와 36 의 최대공약수를 구합니다. 36 .

    해결책

    1 단계: 각 계수를 소수로 인수분해합니다. 지수가 있는 모든 변수를 확장된 형식으로 작성합니다. 요인 24 및 36.
    2 단계: 열의 공통 요소와 일치하는 모든 요소를 ​​나열합니다.
    각 열에서 공통 요소에 동그라미를 치십시오. 두 숫자가 공유하는 2, 2, 3에 동그라미를 치십시오.
    3단계: 모든 표현이 공유하는 공통 요소를 적으십시오. 2, 2, 3을 빼고 곱하세요.
    4단계: 요인을 곱합니다. 24와 36의 GCF는 12입니다.

    GCF는 두 숫자의 인수이므로 24 24 와 36 36 은 12 의 배수로 쓸 수 있습니다. 12 .

    최대공약수를 구합니다: 54 , 36 . 54, 36.

    최대공약수 48 , 80 을 구합니다. 48, 80 .

    이전 예에서 상수의 최대공약수를 찾았습니다. 대수식의 최대공약수에는 계수와 함께 거듭제곱된 변수가 포함될 수 있습니다. 우리는 가장 큰 공통 요소를 찾는 데 사용하는 단계를 요약합니다.

    어떻게

    가장 큰 공통 요소를 찾으십시오.

    1. 1단계. 각 계수를 소수로 인수분해합니다. 지수가 있는 모든 변수를 확장된 형식으로 작성합니다.
    2. 2단계. 모든 요인을 나열합니다. 열의 공통 요인과 일치합니다. 각 열에서 공통 요소에 동그라미를 치십시오.
    3. 3단계. 모든 표현이 공유하는 공통 요소를 적습니다.
    4. 4단계. 요인을 곱합니다.

    예 10.81

    5 x 와 15 의 최대공약수를 구합니다. 5 x 및 15 .

    해결책

    각 숫자를 소수로 인수분해합니다.
    각 열의 공통 요소에 동그라미를 치십시오.
    공통 요소를 낮추십시오.
    5x와 15의 GCF는 5입니다.

    최대공약수를 구합니다: 7 y , 14 . 7, 14.

    최대공약수를 구합니다: 22 , 11 m . 22, 11m .

    지금까지의 예에서 가장 큰 공통 요소는 상수였습니다. 다음 두 예에서 우리는 최대공약수에서 변수를 얻을 것입니다.

    예 10.82

    12 x 2 12 x 2 와 18 x 3 의 최대공약수를 구합니다. 18 x 3 .

    해결책

    각 계수를 소수로 인수분해하고 쓰기
    확장된 형태의 지수가 있는 변수.
    각 열의 공통 요소에 동그라미를 치십시오.
    공통 요소를 낮추십시오.
    요인을 곱합니다.
    12 x 2 및 18 x 3의 GCF는 6 x 2입니다. 12 x 2 및 18 x 3의 GCF는 6 x 2입니다.

    최대공약수를 구합니다: 16 x 2 , 24 x 3 . 16 x 2 , 24 x 3 .

    최대공약수를 구합니다: 27 y 3 , 18 y 4 . 27세 3, 18세 4 .

    예 10.83

    14 x 3 , 8 x 2 , 10 x 의 최대공약수를 구합니다. 14 x 3 , 8 x 2 , 10 x .

    해결책

    각 계수를 소수로 인수분해하고 쓰기
    확장된 형태의 지수가 있는 변수.
    각 열의 공통 요소에 동그라미를 치십시오.
    공통 요소를 낮추십시오.
    요인을 곱합니다.
    14 x 3 및 8 x 2의 GCF, 10 x는 2 x 14 x 3 및 8 x 2의 GCF, 10 x는 2 x

    최대공약수를 구합니다: 21 x 3 , 9 x 2 , 15 x . 21 x 3 , 9 x 2 , 15 x .

    최대공약수를 구합니다: 25 m 4 , 35 m 3 , 20 m 2 . 25m 4 , 35m 3 , 20m 2 .

    다항식에서 최대공약수 인수분해

    분배 재산

    왼쪽의 형식은 곱하는 데 사용됩니다. 오른쪽의 형식은 인수분해에 사용됩니다.

    그렇다면 분포 속성을 사용하여 다항식을 인수분해하는 방법은 무엇입니까? 우리는 모든 항의 GCF를 찾고 다항식을 곱으로 씁니다!

    예 10.84

    해결책

    1 단계: 다항식의 모든 항에 대한 GCF를 찾습니다. 2x와 14의 GCF를 구합니다.
    2 단계: GCF를 사용하여 각 용어를 제품으로 다시 작성하십시오. 2x와 14를 GCF의 곱으로 다시 씁니다. 2.
    2 x = 2 ⋅ x 2 x = 2 ⋅ x
    14 = 2 ⋅ 7 14 = 2 ⋅ 7
    3단계: 식을 인수분해하려면 '역으로' 분배 속성을 사용하십시오. 2 ( x + 7 ) 2 ( x + 7 )
    4단계: 요인을 곱하여 확인하십시오. 검사:

    Example 10.84에서 단어를 사용했음을 주목하십시오. 인자 명사와 동사로:

    어떻게

    다항식에서 최대공약수를 인수분해합니다.

    1. 1단계. 다항식의 모든 항에 대한 GCF를 찾습니다.
    2. 2단계. GCF를 사용하여 각 용어를 제품으로 다시 작성합니다.
    3. 3단계. '역으로' 분배 속성을 사용하여 표현식을 인수분해합니다.
    4. 4단계. 요인을 곱하여 확인합니다.

    예 10.85

    해결책

    GCF를 사용하여 각 항을 곱으로 다시 작성하십시오.
    GCF를 인수분해하려면 '역으로' 분배 속성을 사용하십시오.
    원래 다항식을 얻기 위해 인수를 곱하여 확인합니다.

    다음 예의 표현식에는 몇 가지 공통점이 있습니다. 모든 공통 요소의 곱으로 GCF를 작성하는 것을 기억하십시오.

    예 10.86

    해결책

    이제 우리는 삼항식에서 최대공약수를 인수분해할 것입니다. 우리는 세 항 모두의 GCF를 찾는 것으로 시작합니다.

    예 10.87

    해결책

    다음 예에서는 이항식에서 변수를 인수분해합니다.

    예 10.88

    해결책

    다음 두 가지 예에서 볼 수 있듯이 몇 가지 공통 요소가 있을 때 좋은 조직과 깔끔한 ​​작업이 도움이 됩니다!

    예 10.89

    해결책

    예 10.90

    해결책

    예 10.91

    인수: 14 x 3 + 8 x 2 − 10 x . 14 x 3 + 8 x 2 - 10 x .

    해결책

    이전에는 14 x 3 , 8 x 2 및 10 x 14 x 3 , 8 x 2 및 10 x 의 GCF가 2 x 인 것을 발견했습니다. 2 x .

    인수: 18 y 3 − 6 y 2 − 24 y . 18 y 3 − 6 y 2 − 24 y .

    인수: 16 x 3 + 8 x 2 − 12 x . 16 x 3 + 8 x 2 - 12 x .

    첫 번째 항의 계수인 선행 계수가 음수이면 GCF의 일부로 음수를 제외합니다.

    예 10.92

    해결책

    선행 계수가 음수이면 GCF는 음수가 됩니다. 항의 부호를 무시하고 먼저 9의 GCF를 찾습니다.와이 27은 9입니다.
    −9y−27 표현식은 음의 선행 계수를 가지므로 -9를 GCF로 사용합니다.
    − 9 y − 27 − 9 y − 27
    GCF를 사용하여 각 항을 다시 작성하십시오.
    GCF를 인수분해합니다. − 9 ( y + 3 ) − 9 ( y + 3 )

    다음 예에서 용어의 기호에 세심한 주의를 기울이십시오.

    예 10.93

    해결책

    선행 계수는 음수이므로 GCF는 음수가 됩니다.
    선행 계수가 음수이므로 GCF는 음수입니다. -4.
    −4 a 2 + 16 a −4 a 2 + 16 a
    각 용어를 다시 작성하십시오.
    GCF를 인수분해합니다. − 4 a ( a − 4 ) − 4 a ( a − 4 )
    곱하여 직접 확인하십시오.

    미디어

    추가 온라인 리소스에 액세스

    섹션 10.6 연습

    연습이 완벽을 만든다

    둘 이상의 표현식의 최대공약수 찾기

    다음 연습에서 최대공약수를 찾으십시오.

    다항식에서 최대공약수 인수분해

    다음 연습에서는 각 다항식에서 최대공약수를 인수분해합니다.

    일상 수학

    수익 전자레인지 제조업체는 각각 p p 달러의 비용이 드는 전자레인지 판매로 얻은 수익이 다항식 −5 p 2 + 150 p 로 표시된다는 것을 발견했습니다. -5 p 2 + 150 p . 이 다항식에서 최대공약수를 인수분해합니다.

    쓰기 연습

    자체 점검

    ⓐ 실습을 완료한 후 이 체크리스트를 사용하여 이 섹션의 목표를 완전히 이해했는지 평가하십시오.

    ⓑ 전반적으로 체크리스트를 살펴본 결과 다음 챕터에 대한 준비가 잘 되어 있다고 생각하십니까? 그 이유는 무엇?

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      • 저자: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
      • 게시자/웹사이트: OpenStax
      • 책 제목: Prealgebra 2e
      • 발행일: 2020년 3월 11일
      • 위치: 휴스턴, 텍사스
      • 책 URL: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
      • 섹션 URL: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/10-6-introduction-to-factoring-polynomials

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      수학

      학교가 문을 닫고 밤새 가르칠 새로운 방법을 고안해야 한다는 말을 들은 것은 2월 말이었습니다.

      두 달이 지난 지금도 나는 여전히 힘들어하고 있다. 저는 기술을 사랑하고 잠재력이 크다고 생각하지만 우리 대부분은 실수를 했습니다. 교실이 아닌 스크린 뒤에서 예전 방식으로 계속 가르칠 수 있을 거라고 생각했는데 아이들이 지루해해요. 때때로 나는 모든 학생들이 잠을 자고 있고 그것에 대해 내가 할 수 있는 것이 거의 없다는 느낌을 받습니다.

      며칠 전 붐 카드 www.boomleaning.com을 만났습니다.

      대화형 수업을 만들고 드래그 앤 드롭, 빈칸 채우기, 객관식 등 원하는 모든 것을 할 수 있습니다.

      이미 다른 교사가 만든 수천 개의 덱이 있으며 일부는 무료로 제공되며 비용을 지불해야 하지만 아름답고 매력적이며 재미있고 자신만의 덱을 만들 수 있으므로 수업에 가장 적합한 수준을 결정할 수 있습니다.

      자신이 만든 덱을 판매할 수 있다는 것도 장점 중 하나입니다.

      나는 중학교와 고등학교를 가르치고 내가 알기로 붐 카드는 초등학교에서 인기가 있는 반면에 나이가 많은 학생들에게 사용되는 것은 그리 흔하지 않습니다.

      붐 카드는 초등 교사를 위한 참여와 효율성의 완벽한 조합입니다. 이 플랫폼은 완벽한 한 입 크기의 조각으로 콘텐츠를 제공하므로 학생들에게 독특한 디지털 경험을 제공합니다. 밝은 시각 자료는 한 번에 한 질문씩 필수 학습 작업을 통해 학생들을 안내하고 학생들은 최신 앱을 플레이하는 듯한 느낌을 받습니다. 전체 프로세스는 학생들이 즉시 응답을 입력할 수 있는 기능으로 간소화되었습니다.

      아이들이 질문 목록이나 관련 정보에 압도되지 않는다는 사실은 교육자들이 카드로 몰려드는 이유 중 하나입니다.

      카드가 학습 목표를 통해 학생들을 안내하고 피드백 기회와 평가에 사용할 수 있는 데이터를 생성하는 모든 응답을 기록하기 때문에 Boom이 교사에게 제공하는 제어 기능은 전례가 없습니다.

      디지털 환경에서 학습하는 학생들에게 이것은 절대적으로 중요한 도구이며 교실에 다시 들어가면 현대 초등학교 교실의 필수 요소로 남을 것입니다.


      Miller's Math Mavens - 8학년

      힘 속성의 힘

      파이에 그리고 거듭제곱은 지수를 곱합니다.
      번호
      [(4)^6]^3 = (4)^(18)
      대수학
      [(a)^m]^n = (a)^(백만)

      제품 속성의 힘

      제품의 검정력을 찾으려면 각 요인의 검정력을 구하십시오. 그리고 곱합니다.
      번호
      (3 ⋅ 2)^5 = (3^5) (2^5)
      대수학
      (ab)^m = (a^m) (ㄴ^m)

      두 가지 권한을 어떻게 나눌 수 있습니까? 같은 베이스?

      10.4 0과 음의 지수
      제가 할수 있어요 표현식 평가 숫자 포함지수로 0입니다.
      나는 표현을 평가할 수 있다 부정적인정수 지수.


      0이 아닌 숫자를 어떻게 평가할 수 있습니까? 지수 0?
      음수로 0이 아닌 숫자를 어떻게 평가할 수 있습니까? 정수 지수?


      0이 아닌 숫자 a의 경우 (a)^0 = 1. 거듭제곱(0)^0 정의되지 않았습니다.
      번호
      (4)^0 = 1
      대수학
      (a)^0 = 1, 여기서 a ≠ 0

      음의 지수

      정수 n과 0이 아닌 숫자 a에 대해 (a)^(−n)은 (a)^n의 역수.

      숫자를 어떻게 쓸 수 있습니까? 과학적 표기법?

      과학적 표기법으로 숫자 쓰기
      1단계: 소수점이 오른쪽에 오도록 이동합니다. 0이 아닌 선행 숫자.
      2단계: 소수점을 이동한 자릿수를 계산합니다.
      이것은 10의 거듭제곱의 지수를 나타냅니다.

      10보다 크거나 같은 숫자
      다음과 같은 경우 양의 지수를 사용합니다. 당신은 소수점을 이동 왼쪽으로.
      8600 = 8.6 × 10^3

      0과 1 사이의 숫자
      다음과 같은 경우 음수 지수를 사용합니다. 당신은 소수점을 이동 권리.
      0.0024 = 2.4 × 10^(𕒷)

      제가 할수 있어요 더하기, 빼기, 곱하기, 그리고 숫자 나누기과학적으로 쓰여진표기법.


      설리반, 스트루브 & 마자렐라

      수학, 통계 및 경제학 교육을 받은 Michael Sullivan, III는 고등학교 및 대학 수준 수학에서 27년의 교육을 포함하여 다양한 교육 배경을 가지고 있습니다. 그는 현재 졸리엣 주니어 칼리지(Joliet Junior College)의 전임 수학 교수입니다. Michael은 그의 아버지인 Michael Sullivan과 함께 쓴 Introductory Statistics 시리즈와 Precalculus 시리즈를 포함하여 수많은 교과서를 출판했습니다.

      Michael은 대학 수준의 수학 및 통계 과정을 위한 텍스트를 작성한 경험이 학생들이 발달 수학 영역을 떠나면 어디로 가야 하는지에 대한 독특한 관점을 제공한다고 믿습니다. 이 경험은 그의 발달적 텍스트 시리즈의 철학과 발표에 반영되어 있습니다. Michael은 교실에 없거나 글을 쓰지 않을 때 세 자녀인 Michael, Kevin, Marissa와 함께 시간을 보내고 골프를 치는 것을 즐깁니다. 이제 그의 두 아들이 나이가 들면서 두 아들을 동시에 할 수 있는 기회가 생겼습니다!

      Kathy Struve는 고등학교 수준에서 처음으로, 그리고 지난 27년 동안 Columbus State Community College에서 거의 35년 동안 담임 교사로 재직했습니다. Kathy는 학생들의 연령, 학습 스타일 및 이전 학습 성공의 다양성과 같은 교실의 다양성을 수용합니다. She is aware of the challenges of teaching mathematics at a large, urban community college, where students have varied mathematics backgrounds and may enter college with a high level of mathematics anxiety.

      Kathy served as Lead Instructor of the Developmental Algebra sequence at Columbus State, where she developed curriculum, conducted workshops, and provided leadership to adjunct faculty in the mathematics department. She embraces the use of technology in instruction, and has taught web and hybrid classes in addition to traditional face-to-face and emporium-style classes. She is always looking for ways to more fully involve students in the learning process. In her spare time Kathy enjoys spending time with her two adult daughters, her four granddaughters, and biking, hiking, and traveling with her husband.

      Born and raised in San Diego county, Janet Mazzarella spent her career teaching in culturally and economically diverse high schools before taking a position at Southwestern College 25 years ago. Janet has taught a wide range of mathematics courses, from arithmetic through calculus for math/science/engineering majors and has training in mathematics, education, engineering, and accounting.

      Janet has worked to incorporate technology into the curriculum by participating in the development of Interactive Math and Math Pro. At Southwestern College, she helped develop the self-paced developmental mathematics program. In addition, Janet was the Dean of the School of Mathematics, Science, and Engineering, the Chair of the Mathematics Department, the faculty union president, and the faculty coordinator for Intermediate Algebra. In the past, free time consisted of racing motorcycles off-road in the Baja 500 and rock climbing, but recently she has given up the adrenaline rush of these activities for the thrill of traveling in Europe.

      Jessica Bernards, Contributor

      Jessica Bernards has been teaching mathematics since 2005. She began her career at the high school level and then transitioned to teaching at Portland Community College in 2010. She has taught a wide range of mathematics courses from Developmental Math up to Calculus and has created curriculum for all of these levels. Additionally, Jessica is a member of AMATYC's Project ACCCESS Cohort 9 where she developed a Math Study Skills Program which is now used across the nation. In 2017, she was the honored recipient of the Leila and Simon Peskoff AMATYC Award for her work with Project ACCCESS.

      When not working, Jessica loves spending time with her husband and two boys in the Pacific Northwest. She enjoys running races, cooking, and hiking and is also an active member of her community coordinating a neighborhood group that brings local moms together.

      Wendy Fresh, Contributor

      Wendy Fresh has been full-time instructor at Portland Community College since 1997 and has taught a wide range of classes from Developmental Math through Calculus, both on campus and online. Before teaching at PCC, Wendy began her teaching career in 1992, teaching high school at both rural and urban schools. Her love of creating curriculum to make the classroom come alive, has led her to working with technologies that can be incorporated into her many courses.

      She earned her Bachelor’s Degree in Mathematics Education from the University of Oregon and her Master’s Degree in the Teaching of Mathematics from Portland State University. When not teaching, Wendy loves hanging out at home with her husband and two college age “kids”. In addition, she enjoys running, gardening, watching soccer and reading.


      Monomials A monomial is an algebraic expression that consists of only one term. (A term is a numerical or literal expression with its own sign.) For instance, 9x , -4a², and 3mpx³ are all monomials. The number in front of the variable is called the numerical coefficient. In -9xy, -9 is the coefficient. Adding and subtracting monomials To add or subtract monomials, followContinue reading “Monomials part 1”

      Multiplying Positive and Negatives numbers We can only do arithmetic in the usual way. To calculate 5(−2), we have to do 5· 2 = 10 — and then decide on the sign. Is it +10 or −10? For the answer, we have the following Rule of Signs. Rules of signs Like signs produce a positiveContinue reading “Relative numbers (part 2)”


      Factor and Coefficient

      What is Factor?

      Each combination of the constants and variables, which form a term, is called a Factor.

      For examples

      (i) 7, x and 7x are factors of 7x, in which
      7 is constant (numerical) factor and x is variable (literal) factor.

      (ii) In &ndash5x2y, the numerical factor is &ndash5 and literal factors are : x, y, xy, x2 and x2y.

      ² Coefficient :

      Any factor of a term is called the coefficient of the remaining term.

      For example :

      (i) In 7x 7 is coefficient of x

      (ii) In &ndash5x2y 5 is coefficient of ­&ndashx2y &ndash5 is coefficient of x2y.

      Ex. 1 Write the coefficient of :

      coefficient of x0 is 7.Ø

      The greatest power (exponent) of the terms of a polynomial is called degree of the polynomial.

      For example :

      (a) In polynomial 5×2 &ndash 8×7 + 3x :

      (i) The power of term 5×2 = 2

      (ii) The power of term &ndash8×7 = 7

      Since, the greatest power is 7, therefore degree of the polynomial 5×2 &ndash 8×7 + 3x is 7

      (b) The degree of polynomial :

      (iii) 2m &ndash 7m8 + m13 is 13 and so on.

      v EXAMPLES v

      Ex.2 Find which of the following algebraic expression is a polynomial.

      Since, the power of the first term () is , which is not a whole number.

      Since, the exponent of the second term is
      1/3, which in not a whole number. Therefore, the given expression is not a polynomial.

      Ex.3 Find the degree of the polynomial :

      Sol. (i) Since the term with highest exponent (power) is 8×7 and its power is 7.

      The degree of given polynomial is 7.

      (ii) The highest power of the variable is 15

      (A) Based on degree :

      If degree of polynomial is

      x 3 + 3x 2 &ndash7x+8, 2x 2 +5x 3 +7,

      x 4 + y 4 + 2x 2 y 2 , x 4 + 3,&hellip

      (B) Based on Terms :

      If number of terms in polynomial is

      2 + 7y 6 , y 3 + x 14 , 7 + 5x 9 ,&hellip

      x 3 &ndash2x + y, x 31 +y 32 + z 33 ,&hellip..

      Note : (1) Degree of constant polynomials

      (Ex.5, 7, &ndash3, 8/5, &hellip) is zero.

      (2) Degree of zero polynomial (zero = 0
      = zero polynomial) is not defined.

      If a polynomial has only one variable then it is called polynomial in one variable.

      Ex. P(x) = 2x 3 + 5x &ndash 3 Cubic trinomial

      Q(x) = 7x 7 &ndash 5x 5 &ndash 3x 3 + x + 3 polynomial of

      S(t) = t 2 + 3 Quadratic Binomial

      for quadratic ax 2 + bx + c, a ¹ 0

      for cubic ax 3 + bx 2 + cx + d, a ¹ 0

      (i) Remainder obtained on dividing polynomial p(x) by x &ndash a is equal to p(a) .

      (ii) If a polynomial p(x) is divided by (x + a) the remainder is the value of p(x) at x = &ndasha.

      (iii) (x &ndash a) is a factor of polynomial p(x) if p(a) = 0

      (iv) (x + a) is a factor of polynomial p(x) if p(&ndasha) = 0

      (v) (x &ndash a)(x &ndash b) is a factor of polynomial p(x),

      v EXAMPLES v

      Ex.4 Find the remainder when 4×3 &ndash 3×2 + 2x &ndash 4 is divided by

      Sol. Let p(x) = 4×3 &ndash 3×2 + 2x &ndash 4

      (a) When p(x) is divided by (x &ndash 1), then by remainder theorem, the required remainder will be p(1)

      (b) When p(x) is divided by (x + 2), then by remainder theorem, the required remainder will be p (&ndash2).

      (c) When p(x) is divided by, then by remainder theorem, the required remainder will be

      Ø For a polynomial f(x) = 3×2 &ndash 4x + 2.

      To find its value at x = 3

      replace x by 3 everywhere.

      So, the value of f(x) = 3×2 &ndash 4x + 2 at x = 3 is

      Similarly, the value of polynomial

      (ii) at x = 0 is f(0) = 3(0)2 &ndash 4(0) + 2

      Ex.5 Find the value of the polynomial 5x &ndash 4×2 + 3 at:

      Sol. Let p(x) = 5x &ndash 4×2 + 3.

      (i) At x = 0, p(0) = 5 × 0 &ndash 4 × (0)2 + 3

      Ø If for x = a, the value of the polynomial p(x) is 0 i.e., p(a) = 0 then x = a is a zero of the polynomial p(x).

      For example :

      (i) For polynomial p(x) = x &ndash 2 p(2) = 2 &ndash 2 = 0

      x = 2 or simply 2 is a zero of the polynomial

      (ii) For the polynomial g(u) = u2 &ndash 5u + 6

      g(3) = (3)2 &ndash 5 × 3 + 6 = 9 &ndash 15 + 6 = 0

      3 is a zero of the polynomial g(u)

      Also, g(2) = (2)2 &ndash 5 × 2 + 6 = 4 &ndash 10 + 6 = 0

      2 is also a zero of the polynomial

      (a) Every linear polynomial has one and only one zero.

      (b) A given polynomial may have more than one zeroes.

      (c) If the degree of a polynomial is n the largest number of zeroes it can have is also n.

      예를 들어 :

      If the degree of a polynomial is 5, the polynomial can have at the most 5 zeroes if the degree of a polynomial is 8 largest number of zeroes it can have is 8.

      (d) A zero of a polynomial need not be 0.

      For example : If f(x) = x2 &ndash 4,

      Here, zero of the polynomial f(x) = x2 &ndash 4 is 2 which itself is not 0.

      (e) 0 may be a zero of a polynomial.

      For example : If f(x) = x2 &ndash x,

      Here 0 is the zero of polynomial

      v EXAMPLES v

      Ex.6 Verify whether the indicated numbers are zeroes of the polynomial corresponding to them in the following cases :

      Sol. (i) p(x) = 3x + 1

      x = &ndash is a zero of p(x) = 3x + 1.

      and, p(2) = (2 + 1) (2 &ndash 2) = 3 × 0 = 0

      x = &ndash1 and x = 2 are zeroes of the given polynomial.

      x = 0 is a zero of the given polynomial

      x = &ndash is a zero of the given polynomial.

      x = is not a zero of the given polynomial.

      Ex.7 Find the zero of the polynomial in each of the following cases :

      Sol. To find the zero of a polynomial p(x) means to solve the polynomial equation p(x) = 0.

      (i) For the zero of polynomial p(x) = x + 5

      x = &ndash5 is a zero of the polynomial
      p(x) = x + 5.

      x = is a zero of p(x) = 2x + 5.

      Let us consider linear polynomial ax + b. The graph of y = ax + b is a straight line.

      For example : The graph of y = 3x + 4 is a straight line passing through (0, 4) and (2, 10).

      (i) Let us consider the graph of y = 2x &ndash 4 intersects the x-axis at x = 2. The zero 2x &ndash 4 is 2. Thus, the zero of the polynomial 2x &ndash 4 is the x-coordinate of the point where the graph y = 2x &ndash 4 intersects the x-axis.

      (ii) A general equation of a linear polynomial is
      ax + b. The graph of y = ax + b is a straight line which intersects the x-axis at .

      Zero of the polynomial ax + b is the x-coordinate of the point of intersection of the graph with x-axis.

      (iii) Let us consider the quadratic polynomial
      x2 &ndash 4x + 3. The graph of x2 &ndash 4x + 3 intersects the x-axis at the point (1, 0) and (3, 0). Zeroes of the polynomial x2 &ndash 4x + 3 are the
      x-coordinates of the points of intersection of the graph with x-axis.

      The shape of the graph of the quadratic polynomials is È and the curve is known as parabola.

      (iv) Now let us consider one more polynomial
      &ndashx2 + 2x + 8. Graph of this polynomial intersects the x-axis at the points
      (4, 0), (&ndash2, 0). Zeroes of the polynomial &ndashx2 + 2x + 8 are the x-coordinates of the points at which the graph intersects the x-axis. The shape of the graph of the given quadratic polynomial is Ç and the curve is known as parabola.

      The zeroes of a quadratic polynomial
      ax 2 + bx + c he x-coordinates of the points where the graph of y = ax 2 + bx + c intersects the x-axis.

      Cubic polynomial : Let us find out geometrically how many zeroes a cubic has.

      Let consider cubic polynomial

      The graph of the cubic equation intersects the
      x-axis at three points (1, 0), (2, 0) and (3, 0). Zeroes of the given polynomial are the
      x-coordinates of the points of intersection with the x-axis.

      The cubic equation x3 &ndash x2 intersects the x-axis at the point (0, 0) and (1, 0). Zero of a polynomial x3 &ndash x2 are the x-coordinates of the point where the graph cuts the x-axis.

      Zeroes of the cubic polynomial are 0 and 1.

      Cubic polynomial has only one zero.

      In brief : A cubic equation can have 1 or 2 or 3 zeroes or any polynomial of degree three can have at most three zeroes.

      Remarks : In general, polynomial of degree n, the graph of y = p(x) passes x-axis at most at n points. Therefore, a polynomial p(x) of degree n has at most n zeroes.

      v EXAMPLES v

      Ex.8 Which of the following correspond to the graph to a linear or a quadratic polynomial and find the number of zeroes of polynomial.

      Sol. (i) The graph is a straight line so the graph is of a linear polynomial. The number of zeroes is one as the graph intersects the x-axis at one point only.

      (ii) The graph is a parabola. So, this is the graph of quadratic polynomial. The number of zeroes is zero as the graph does not intersect the x-axis.

      (iii) Here the polynomial is quadratic as the graph is a parabola. The number of zeroes is one as the graph intersects the x-axis at one point only (two coincident points).

      (iv) Here, the polynomial is quadratic as the graph is a parabola. The number of zeroes is two as the graph intersects the x-axis at two points.

      (v) The polynomial is linear as the graph is straight line. The number of zeroes is zero as the graph does not intersect the x-axis.

      (vi) The polynomial is quadratic as the graph is a parabola. The number of zeroes is 1 as the graph intersects the x-axis at one point (two coincident points) only.

      (vii)The polynomial is quadratic as the graph is a parabola. The number of zeroes is zero, as the graph does not intersect the x-axis.

      (viii) Polynomial is neither linear nor quadratic as the graph is neither a straight line nor a parabola is one as the graph intersects the x-axis at one point only.

      (ix) Here, the polynomial is quadratic as the graph is a parabola. The number of zeroes is one as the graph intersects the x-axis at one point only (two coincident points).

      (x) The polynomial is linear as the graph is a straight line. The number of zeroes is one as the graph intersects the x-axis at only one point.


      10.6: Divide Monomials (Part 1) - Mathematics

      Review and practice for Final Exam by using the Final Exam study guide.

      Review and practice for Final Exam by using the Final Exam study guide.

      Assess students' level of understanding of important concepts learned during the school year.

      Final Exam for Periods 1-2

      Assess students' level of understanding of important concepts learned during the school year.

      Communicate to students the results of their Final Exam..

      13.3 The fundamental counting principle

      By the end of this lesson, students will be able to count the number of choices that can be made from sets

      Quiz on Sections 13.1-13.3 for Period 3

      Assess students' knowledge of the probability concepts learned in Sections 13.1-13.3

      Quiz on Sections 13.1-13.3 for Periods 1/2 Review for Final Exam

      Review for the Keystone Exam

      Review problems on the Predictive Keystone Exam given on Friday 05/16/ 2015

      Complete problems #7-20 on a new Review packet

      Keystone Exam in Algebra 1

      Answer students' questions on the Keystone Exam based on their needs.

      Keystone Exam in Algebra 1

      13.2 Counting the elements of sets (pp. 654-660)

      By the end of this lesson, students will be able to 1) find the union and intersection of sets 2) count the elements of sets 3) apply the addition of probability principle

      4.3 Introduction to probability

      Find the experimental probability that an event will occur.

      Practice for the Keystone Exam

      Use "usatestprep" to prepare students for the Keystone Exam

      Practice for the Keystone Exam

      Use "usatestprep" to prepare students for the Keystone Exam

      13.1 Theoretical probability (pp. 648-653)

      1) list or describe the sample space of an experiment 2) find the theoretical probability of a favorable outcome

      13.2 Counting the elements of sets (pp. 654-660)

      1) find the union and intersection of sets 2) count the elements of sets 3) apply the addition of probability principle

      Review and practice on Sections 12.6-12.7

      Use the tangent, sine and cosine ratios to solve problems

      Review for Test on Chapter 12

      Complete problems # 1-14 of Pretest during class

      For Period 1-2: p.643: # 2-30 even For Period 3: Complete problems 15-25 of Pretest.

      Practice for the Keystone Exam.

      Review diverse concepts learned during the school year.

      Assess students' knowledge of the concepts learned from Chapter 12.

      Keystone Exam preparation

      Use "usatestprep" to prepare students for the Keystone Exam.

      1) Define and use the equations of circles 2) Use the coordinate plane to investigate the diagonals of a rectangle and the midsegment of a triangle

      Review and practice on the distance, midpoint and circle formulas.

      Use the distance, midpoint, and circle formulas to solve problems.

      Identify and use the tangent ratio in a right triangle.

      12.6 The tangent function (Continued)

      Find unknown side and angle measures in right triangles.

      12.7 The sine and cosine functions

      1) Define the sine and cosine ratios in a right triangle 2) Find unknown side and angle measures in right triangles.

      12.3 The Pythagorean theorem (pp. 591-597)

      Find the side length of a right triangle given the length of its other two sides.

      12.3 The Pythagorean theorem (Continued)

      Apply the Pythagorean theorem to real-world problems.

      Second administration of the SLO Quiz

      SLO Quiz + Review for Quiz on S. 12.1-12.3

      Assess students' knowledge

      12.1 Operations with radicals (pp. 576-582)

      1) Identify and estimate square root 2) Define and write square root in simplest radical forms.

      p.581: # 24-45 multiples of 3

      12.1 Operations with radicals (Continued)

      1) Write square-root expressions in simplest radical form 2) Perform mathematical operations with radicals

      pp.581-582: 48-78 multiples of 3

      Review for the Benchmark Test

      Review the following concepts: slope, linear equations, linear functions.

      Review Chapter 5 Test on page 271

      12.2 Square root functions & radical equations (Continued)

      By the end of this lesson, students will be able to solve equations by using radicals.

      p. 589: # 30-36 even, 40, 42, 50, 52, 54-57

      11.2 Rational expressions and functions

      Define and illustrate the use of rational expressions and functions.

      11.2 Rational expressions and functions (Continued)

      Graph non-trivial rational functions

      11.3 Simplifying rational expressions.

      Factor the numerator and the denominator to simplify rational expressions

      11.3 Simplifying rational expressions (Continued)

      1) State the restrictions on the variable of the simplified rational expression 2) Extend simplification techniques to other algebraic fractions

      Assess students' knowledge of rational functions and simplification of rational functions.

      Students will be able to define and use two different forms of inverse variation to study real-world situations

      11.2 Rational expressions and functions

      Students will be able to define and illustrate the use of rational expressions and functions.

      10.5 The quadratic formula (Continued)

      Solve quadratic equations by using the quadratic formula

      10.6 Graphing quadratic inequalities (pp. 511-515)

      By the end of this lesson, students will be able to solve and graph quadratic inequalities and test solution regions.

      For Periods 1-2: p.514: # 12-33 multiples of 3 For Period 3: Complete the first twelve problems on Review packet.

      Review and practice for test on Ch 10

      Review all concepts/formulas learned in Ch 10

      Assess students' knowledge of quadratic functions.

      Students will be able to define and use two different forms of inverse variation to study real-world situations

      Review and practice for Test on Chapter 9

      Prepare students for Test on Chapter 9

      Assess students' knowledge of polynomials and factoring techniques

      10.4 Solving equations of the form x 2 +bx+c=0 (pp.498-503)

      By the end of this lesson, students will be able to solve quadratic equations by completing the square or by factoring.

      10.4 Solving equations of the form x 2 +bx+c=0 (pp.498-503)

      By the end of this lesson, students will be able to solve quadratic equations by completing the square or by factoring.

      10.5 The quadratic formula (pp.506-510)

      By the end of this lesson, students will be able to evaluate the discriminant to determine how many roots a quadratic equation has and whether it can be factored..

      10.1 Graphing parabolas (pp. 480-485)

      Discover how adding a constant to the parent function y = x 2 affects the graph of the function.

      10.1 Graphing parabolas (Continued)

      Use the zeros of a quadratic function to find the vertex of the graph of the function.

      pp. 484-485: # 32-40 even, 42-45

      10.2 Solving equations by using the square root (pp. 486-491)

      By the end of this lesson, students will be able to solve equation of the form ax 2 = k..

      10.2 Solving equations by using the square root (continued)

      Solve equation of the form ax 2 = k., where x is replaced by an algebraic expression.

      10.3 Completing the square (pp. 492-497)

      1) Form a perfect-square trinomial from a given quadratic binomial 2) write a given quadratic function in Vertex form.

      For periods 1-2: p.496: 18-42 even for Period 3: complete the first 15 problems on Pretest on loose leaf with your work!

      9.7 Factoring quadratic trinomials (pp. 458-463)

      1) Factor quadratic trinomials by using Guess-and-Check 2) Factor quadratic trinomials by using the grouping process.

      pp.462-463: 10-24 even, 27-36 multiples of 3

      9.7 Factoring quadratic trinomials (Continued)

      Students will be able to factor trinomials by using the methods learned in Section 9.7

      9.8 Solving equations by factoring (pp. 464-469) + Quiz on Sections 9.3-9.6

      1) Find the zeros of a function 2) Solve equations by factoring.

      Assess students' knowledge of the concepts learned in chapter 7

      Find products of binomials by using the FOIL method and mentally simplify special products of binomials.

      9.4 Polynomial Functions (pp. 443-447)

      1) Define polynomial functions 2) solve problems involving polynomial functions

      pp. 446-447: # 9-18 multiples of 3, 19-25

      9.5 Common Factors (pp.448-451)

      By the end of this lesson, students will be able to factor a polynomial by using the greatest common factor

      9.5 Factoring special polynomials

      1) Factor perfect-square trinomials 2) Factor the difference of two squares.

      7.6 Classic puzzles in two variables

      Solve traditional math puzzles in two variables

      Review and Practice for Test on Chapter 7

      Students practice class work as a preparation for Chapter 7 Test.

      Test on Chapter 7 postponed until Monday due to extreme weather.

      Students complete work on systems of linear equations from the Keystone preparation workbook.

      7.4 Consistent & inconsistent Systems

      Identify consistent, inconsistent, dependent & independent systems of linear equations

      p. 342: # 12-27 multiples of 3, 30, 31, 38

      * 7.5 Systems of inequalities (pp. 345-352)

      1) Graph the solution to a linear inequality 2) graph the solution to a system of linear inequalities

      7.5 Systems of inequalities (Continued)

      By the end of this lesson, students will be able to graph the solution to a system of linear inequalities

      7.5 Systems of inequalities (Continued)

      By the end of this lesson, students will be able to graph the solution to a system of linear inequalities

      Complete Practice worksheet to be distributed in class: Problems 1-9

      7.6 Classic puzzles in two variables

      Solve traditional math puzzles in two variables

      For Periods 1-2: pp. 358-359: # 11, 13-16 for Period 3: Complete the first 15 problems on Pretest.

      7.1 Graphing systems of equations

      Graph systems of equations and solve graphically systems of equations

      7.2 The substitution method (pp.326-330)

      Find the exact solution to a system of linear equations by using the substitution method

      7.3 The elimination method (pp 331-337)

      Use the elimination method to solve a system of equations

      Philadelphia School District Test

      Practice on Solving systems of linear equations

      Use the graphing, substitution or elimination methods to solve systems of linear equations

      Mid-Year Exam Review packet: # 66-79

      Mid-Year Exam for Period 1/2

      Exam for Periods 1/2 For Period 3: Practice for Benchmark 2 Test

      Mid-Year Exam for Period 3

      Exam for Period 3 For 1/2: Practice for Benchmark 2 Test

      7.1 Graphing systems of equations

      By the end of this lesson, students will be able to graph systems of equations and solve graphically systems of equations

      6.5 Absolute-value equations and inequalities.

      Use technology to check the solutions to Absolute-value equations and inequalities

      Complete the first 20 problems of The Review for Mid-Year Exam packet

      Complete problems # 25-40 of The Review for Mid-Year Exam packet

      Complete problems # 45-60 of The Review for Mid-Year Exam packet

      6.3 Compound inequalities (Continued)

      By the end of this lesson, students will be able to use compound inequalities to solve problems

      Quiz, and practice on solving compound inequalities

      6.4 Absolute value functions

      By the end of this lesson, students will be able to learn by exploring the features of absolute value functions, and the basic transformations of the absolute value functions

      pp.298: # 12-45 multiples of 3

      6.5 Absolute-value equations and inequalities

      By the end of this lesson, students will be able to solve absolute-value equations and inequalities, and express the solution as a range of values on the number line


      Example problems for broad differentiation

      Broad differentiation example problem 1:
      Find the third derivative value of the given function f(x) = 5x 4 - 7x 2 + 61x - 9
      해결책:
      Given function is f(x) = 5x 4 - 7x 2 + 61x - 9
      Differentiate the given function with respect to x, we get
      f'(x) = 20x 3 - 14x + 61
      Again differentiate the given function for finding the second derivative, we get
      f''(x) = 60x 2 - 14
      For finding the third derivative, again differentiate the given function
      f'''(x) = 120x
      Answer:
      The final answer is 120x
      Broad differentiation example problem 2:
      Find the third derivative value of the given function f(x) = 52x 4 - 17x 2 + 33x
      해결책:
      Given function is f(x) = 52x 4 - 17x 2 + 33x
      Differentiate the given function with respect to x, we get
      f'(x) = 208x 3 - 34x + 33
      Again differentiate the given function for finding the second derivative, we get
      f''(x) = 624x 2 - 34
      For finding the third derivative, again differentiate the given function
      f'''(x) = 1248x
      Answer:
      The final answer is 1248x

      Broad differentiation example problem 3:
      Find the fourth derivative value of the given function f(x) = 10x 4 + 4x 3 + 14x 2 - x
      해결책:
      Given function is f(x) = 10x 4 + 4x 3 + 14x 2 - x
      Differentiate the given function with respect to x, we get
      f'(x) = 40x 3 + 12x 2 + 28x - 1
      Again differentiate the given function for finding the second derivative, we get
      f''(x) = 120x 2 + 24x + 28
      For finding the third derivative, again differentiate the given function
      f'''(x) = 240x + 24
      For fourth derivative, we get
      f''''(x) = 240
      Answer:
      The final answer is 240


      Formula for how to rewrite radicals:

      Example for how to rewrite radicals: Rewrite radical( `sqrt (1225)` )
      Given: ( `sqrt (1225)` )
      해결책: Given question says, radical (1225),
      When, we take radical for 1225, we obtain 25*49.
      Because, ( `^nsqrt (ab)` ) = ( ` ^nsqrt (a)` ) ( ` ^nsqrt (b)` )
      `sqrt (1225)` = `sqrt (25)` `sqrt (49)`
      = `sqrt(5)` * `sqrt(7)`
      `sqrt (1225)` = `35`
      Thus, we can do how to rewrite radicals in the prefered way.

      Example for how to rewrite radicals: Rewrite radical( `^3sqrt (512)` )
      Given: ( `^3sqrt (512)` )
      해결책: Given question says, cubic root of (512),
      When, we take cubic root for 512, we obtain 8.
      Because, `8*8*8 = 512`
      `^3sqrt(512)` ` =` `8^3`
      Therefore, cubic root for (512 ) = 8^3
      Thus,we can do how to rewrite radicals in the prefered way

      Example for how to rewrite radicals: Rewrite radical `^3sqrt (729)`
      Given: ( `^3sqrt (729)` )
      해결책: Given question says, cubic root of (729),
      When, we take cubic root for 729, we obtain 9.
      Because, `9*9*9 = 729`
      `^3sqrt(729) = 9^3`
      Therefore, cubic root of (729) = 9^3


      Example for how to rewrite radicals: Rewrite radical `^4sqrt (1296)`
      Given: ( `^4sqrt (1296)` )
      해결책: Given question says, fourth root of (1296),
      When, we take fourth radical for 1296, we obtain 6.
      Because, `6*6*6*6 = 1296`
      `^4sqrt(1296 )= 6^4`
      Therefore, fourth root of (1296) = 6^4

      Example for how to rewrite radicals: Rewrite radical `^5sqrt (3125)`
      Given: ( `^5sqrt (3125)` )
      해결책: Given question says, fifth root of (3125),
      When, we take Fifth radical for 3125, we obtain 8.
      Because, `5*5*5*5*5 = 3125`
      `^5sqrt(3125) = 5^5`
      Therefore, fifth root of (3125) = 5


      비디오 보기: 정수론 6강: 합동식의 기본 성질 쑤튜브 (팔월 2022).