조항

7.5: 원뿔 섹션 - 수학


학습 목표

  • 주어진 초점과 방향으로 포물선의 방정식을 표준 형식으로 식별합니다.
  • 주어진 초점을 가진 표준 형식의 타원 방정식을 식별합니다.
  • 주어진 초점을 사용하여 표준 형식의 쌍곡선 방정식을 식별합니다.
  • 편심 값에서 포물선, 타원 또는 쌍곡선을 인식합니다.
  • 이심률이 (e)인 원뿔 단면의 극 방정식을 작성하십시오.
  • 차수가 2인 일반 방정식이 포물선, 타원 또는 쌍곡선인 경우 식별합니다.

원뿔형 단면은 고대 그리스 시대부터 연구되어 왔으며 중요한 수학적 개념으로 간주되었습니다. 기원전 320년에 메나에크무스, 아폴로니우스, 아르키메데스와 같은 그리스 수학자들은 이 곡선에 매료되었습니다. Appollonius는 예를 들어 기하학을 사용하여 원뿔 단면을 식별하는 특정 방법을 도출할 수 있었던 원뿔 단면에 대한 전체 8권짜리 논문을 썼습니다. 그 이후로 원뿔형 단면의 중요한 응용 프로그램(예: 천문학)이 발생했으며 원추형 단면의 속성은 전파 망원경, 위성 접시 수신기 및 심지어 건축에 사용됩니다. 이 섹션에서는 세 가지 기본 원뿔 섹션, 일부 속성 및 방정식에 대해 설명합니다.

원뿔 단면은 평면과 원뿔을 교차하여 생성할 수 있기 때문에 이름이 지정됩니다. 원뿔에는 두 개의 동일한 모양의 부분이 있습니다. 기저귀. 하나의 기저귀는 대부분의 사람들이 파티 모자 모양을 가진 "원뿔"을 의미합니다. 원점을 지나는 선을 회전시켜 직각 원뿔을 생성할 수 있습니다. 와이-축은 그림과 같이 (PageIndex{1})입니다.

원뿔 단면은 평면과 원뿔이 교차하여 생성됩니다(그림 (PageIndex{2})). 평면이 회전축과 평행한 경우( 와이-축), 다음 원뿔 단면 쌍곡선이다. 평면이 생성선과 평행하면 원뿔 단면은 포물선입니다. 평면이 회전축에 수직이면 원뿔 단면은 원입니다. 평면이 축에 대해 비스듬히 하나의 나프와 교차하는 경우(다음 이외의 90°), 원뿔형 단면은 타원입니다.

포물선

평면이 생성선에 평행한 원뿔과 교차할 때 포물선이 생성됩니다. 이 경우 평면은 기저귀 중 하나만 교차합니다. 포물선은 거리로 정의할 수도 있습니다.

정의: The Focus, Directrix 및 Vertex

포물선은 고정된 점으로부터의 거리를 나타내는 모든 점의 집합입니다. 초점, 라고 하는 고정된 선으로부터의 거리와 같습니다. 다이렉트릭스. 초점과 다이렉트릭스 사이의 중간 지점을 꼭지점 포물선의.

일반적인 포물선의 그래프는 그림 (PageIndex{3})에 나와 있습니다. 거리 공식과 함께 이 다이어그램을 사용하여 포물선에 대한 방정식을 유도할 수 있습니다. 거리 공식을 기억하십시오. 좌표가 ((x_1,y_1))인 주어진 점 P와 점 좌표 ((x_2,y_2),)로 그들 사이의 거리는 공식

[d(P,Q)=제곱트{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}.]

그런 다음 포물선과 Figure (PageIndex{3})의 정의에서 다음을 얻습니다.

[d(F,P)=d(P,Q)]

[sqrt{(0−x)^2+(p−y)^2}=sqrt{(x−x)^2+(−p−y)^2}.]

양변 제곱 및 수율 단순화

[ egin{align} x^2+(p−y)^2 = 0^2+(−p−y)^2 x^2+p^2−2py+y^2 = p^2 +2py+y^2 x^2−2py =2py x^2 =4py. end{정렬}]

이제 정점을 재배치하려고 한다고 가정합니다. 정점의 좌표를 나타내기 위해 변수 ((h,k))를 사용합니다. 그런 다음 초점이 꼭짓점 바로 위에 있으면 좌표 ((h,k+p))를 가지며 directrix는 방정식 (y=k−p)를 갖습니다. 동일한 유도를 통해 공식 ((x−h)^2=4p(y−k))가 생성됩니다. (y)에 대해 이 방정식을 풀면 다음 정리가 됩니다.

포물선 방정식: 표준 형식

정점이 ((h,k))에 있고 초점이 ((h,k+p))에 있는 포물선이 위로 열리는 경우, 여기서 (p)는 상수입니다. 포물선에 대한 방정식은 다음과 같습니다. 주어진

[y=dfrac{1}{4p}(x−h)^2+k.]

이것이 표준 양식 포물선의.

포물선이 아래로 열리거나 왼쪽 또는 오른쪽으로 열리는 경우도 연구할 수 있습니다. 이러한 각 경우에 대한 방정식은 다음 그래프와 같이 표준 형식으로 작성할 수도 있습니다.

또한 포물선의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 일반적인 형태이 형식에서는 (h), (k) 및 (p) 값을 즉시 인식할 수 없습니다. 포물선의 일반적인 형태는 다음과 같이 작성됩니다.

[ax^2+bx+cy+d=0 label{para1}]

또는

[ay^2+bx+cy+d=0.label{para2}]

방정식 ef{para1}은 위 또는 아래로 열리는 포물선을 나타냅니다. 방정식 ef{para2}는 왼쪽이나 오른쪽으로 열리는 포물선을 나타냅니다. 방정식을 표준 형식으로 만들려면 제곱을 완성하는 방법을 사용하십시오.

예 (PageIndex{1}): 포물선 방정식을 일반 형식에서 표준 형식으로 변환

방정식을 넣어

[x^2−4x−8y+12=0]

표준 형식으로 변환하고 결과 포물선을 그래프로 표시합니다.

해결책

이 방정식에서 y는 제곱이 아니므로 포물선이 위쪽 또는 아래쪽으로 열립니다. 따라서 우리는 y에 대해 이 방정식을 풀어야 합니다. 그러면 방정식이 표준 형식이 됩니다. 그렇게 하려면 먼저 방정식의 양변에 (8y)를 추가하십시오.

[8y=x^2−4x+12.]

다음 단계는 오른쪽에 있는 사각형을 완성하는 것입니다. 괄호를 사용하여 오른쪽의 처음 두 용어를 그룹화하여 시작합니다.

[8y=(x^2−4x)+12.]

다음으로 괄호 안에 더할 때 괄호 안의 양을 완전제곱삼항식으로 만드는 상수를 결정합니다. 이렇게 하려면 x의 계수의 절반을 취하여 제곱합니다. 이렇게 하면 ((dfrac{−4}{2})^2=4.) 괄호 안에 4를 더하고 괄호 밖에서 4를 빼서 방정식의 값이 변경되지 않도록 합니다.

[8y=(x^2−4x+4)+12−4.]

이제 같은 항을 결합하고 괄호 안의 수량을 인수분해합니다.

[8y=(x−2)^2+8.]

마지막으로 8로 나눕니다.

[y=dfrac{1}{8}(x−2)^2+1.]

이 방정식은 이제 표준 형식입니다. 이를 방정식과 비교하면 (h=2, k=1) 및 (p=2)가 됩니다. 포물선이 열리고 정점이 ((2,1)), 초점이 ((2,3)), 방향이 (y=−1)입니다. 이 포물선의 그래프는 다음과 같이 나타납니다.

운동 (PageIndex{1})

방정식 (2y^2−x+12y+16=0)을 표준 형식에 넣고 결과 포물선을 그래프로 표시합니다.

힌트

(x)를 풉니다. 포물선이 열리는 방향을 확인하십시오.

대답

[x=2(y+3)^2−2]

수직(위 또는 아래로 열리는) 포물선의 대칭축은 꼭짓점을 통과하는 수직선입니다. 포물선은 흥미로운 반사 속성을 가지고 있습니다. 포물선 단면을 가진 위성 접시가 있다고 가정합니다. 빛이나 전파와 같은 전자기파의 빔이 위성에서 직선으로 접시에 들어오면(대칭축에 평행) 파동이 접시에서 반사되어 다음과 같이 포물선의 초점에 모입니다. 표시.

우주의 위성으로부터 신호를 수집하도록 설계된 포물선 접시를 생각해 보십시오. 접시는 위성을 직접 겨냥하고 수신기는 포물선의 초점에 있습니다. 위성에서 들어오는 전파는 포물선 표면에서 반사되어 디지털 신호를 수집하고 디코딩하는 수신기로 전달됩니다. 이를 통해 작은 수신기가 하늘의 넓은 각도에서 신호를 수집할 수 있습니다. 자동차의 손전등과 헤드라이트는 같은 원리로 작동하지만 그 반대입니다. 광원(즉, 전구)은 초점에 있고 포물선 거울의 반사면은 광선을 똑바로 전방에 집중시킵니다. 이것은 작은 전구가 손전등이나 자동차 앞의 넓은 각도의 공간을 밝힐 수 있도록 합니다.

타원

타원은 거리로 정의할 수도 있습니다. 타원의 경우 2개의 foci(focus의 복수)와 2개의 directrices(directrix의 복수)가 있습니다. 이 섹션의 뒷부분에서 directrices를 더 자세히 살펴봅니다.

정의: 타원

타원은 두 개의 고정된 점(초점)으로부터의 거리의 합이 일정한 모든 점의 집합입니다.

일반적인 타원의 그래프는 그림 (PageIndex{6})에 나와 있습니다. 이 그림에서 초점은 (F) 및 (F')로 표시됩니다. 둘 다 원점으로부터 동일한 고정 거리이며 이 거리는 변수 (c)로 표시됩니다. 따라서 (F)의 좌표는 ((c,0))이고 (F')의 좌표는 ((−c,0))입니다. 점 (P) 및 (P')는 끝 부분에 있습니다. 장축 타원의 좌표이며 각각 ((a,0)) 및 ((-a,0)) 좌표를 갖습니다. 장축은 항상 타원을 가로지르는 가장 긴 거리이며 수평 또는 수직일 수 있습니다. 따라서 이 타원에서 장축의 길이는 (2a)입니다. 또한 (P) 및 (P′)는 타원의 꼭짓점이라고 합니다. 점 (Q) 및 (Q')는 끝 부분에 있습니다. 단축 타원의 좌표이며 각각 ((0,b)) 및 ((0,-b),) 좌표를 갖습니다. 보조 축은 타원을 가로지르는 최단 거리입니다. 단축은 장축에 수직입니다.

타원의 정의에 따르면 타원의 임의의 점을 선택할 수 있으며 이 점에서 두 초점까지의 거리의 합은 일정합니다. 점 (P)를 선택한다고 가정합니다. 점 (P)의 좌표가 ((a,0),)이므로 거리의 합은 다음과 같습니다.

[d(P,F)+d(P,F′)=(a−c)+(a+c)=2a.]

따라서 좌표가 ((x,y))인 임의의 점 A로부터의 거리의 합도 (2a)와 같습니다. 거리 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

[d(A,F)+d(A,F′)=2a.]

[sqrt{(x−c)^2+y^2}+sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a]

양쪽에서 두 번째 라디칼을 빼고 양쪽을 제곱합니다.

[sqrt{(x−c)^2+y^2}=2a−sqrt{(x+c)^2+y^2}]

[(x−c)^2+y^2=4a^2−4asqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2]

[x^2−2cx+c^2+y^2=4a^2−4asqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2+2cx+c^2+y^2 ]

[−2cx=4a^2−4asqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx.]

이제 오른쪽에서 라디칼을 분리하고 다시 정사각형을 분리합니다.

[−2cx=4a^2−4asqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx]

[4asqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2+4cx]

[sqrt{(x+c)^2+y^2}=a+dfrac{cx}{a}]

[(x+c)^2+y^2=a^2+2cx+dfrac{c^2x^2}{a^2}]

[x^2+2cx+c^2+y^2=a^2+2cx+dfrac{c^2x^2}{a^2}]

[x^2+c^2+y^2=a^2+dfrac{c^2x^2}{a^2}.]

방정식의 왼쪽에 있는 변수와 오른쪽에 있는 상수를 분리합니다.

[x^2−dfrac{c^2x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2]

[dfrac{(a^2−c^2)x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2.]

양변을 (a^2−c^2)로 나눕니다. 이것은 방정식을 제공합니다

[dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{a^2−c^2}=1.]

그림 (PageIndex{6})를 다시 참조하면 두 개의 녹색 선분 각각의 길이는 (a)와 같습니다. 이것은 점 (Q)에서 초점 (F) 및 (F')까지의 거리의 합이 (2a)이고 이 두 선분의 길이가 다음과 같기 때문에 사실입니다. 같은. 이 선분은 빗변의 길이가 (a)이고 다리 길이가 (b) 및 (c)인 직각 삼각형을 형성합니다. 피타고라스 정리에서 (b^2+c^2=a^2) 및 (b^2=a^2−c^2). 따라서 타원 방정식은

[dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1.]

마지막으로, 타원의 중심이 원점에서 점 ((h,k))로 이동하면 다음과 같은 타원의 표준 형식이 됩니다.

표준 형식의 타원 방정식

중심이 ((h,k))인 타원, 길이가 (2a)인 수평 장축, 길이가 (2b)인 수직 단축을 고려하십시오. 그러면 표준 형식의 이 타원 방정식은 다음과 같습니다.

[dfrac{(x−h)^2}{a^2}+dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1 label{HorEllipse}]

초점은 ((h±c,k))에 있으며, 여기서 (c^2=a^2−b^2)입니다. directrices의 방정식은 (x=h±dfrac{a^2}{c})입니다.

장축이 수직이면 타원 방정식은 다음과 같습니다.

[dfrac{(x−h)^2}{b^2}+dfrac{(y−k)^2}{a^2}=1 label{VertEllipse}]

초점은 ((h,k±c))에 있으며, 여기서 (c^2=a^2−b^2)입니다. 이 경우 직접함수의 방정식은 (y=k±dfrac{a^2}{c})입니다.

장축이 수평이면 타원을 수평이라고 하고 장축이 수직이면 타원을 수직이라고 합니다. 타원의 방정식은 다음과 같은 형식이면 일반 형식입니다.

[Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0,]

어디 둘 다 양수이거나 모두 음수입니다. 방정식을 일반 형식에서 표준 형식으로 변환하려면 다음 방법을 사용하십시오. 광장을 완성하다.

예 (PageIndex{2}): 타원의 표준 형식 찾기

방정식을 넣어

[9x^2+4y^2−36x+24y+36=0]

표준 형식으로 만들고 결과 타원을 그래프로 표시합니다.

해결책

먼저 방정식의 양변에서 36을 뺍니다.

[9x^2+4y^2−36x+24y=−36.]

다음으로 (x) 항과 (y) 항을 함께 그룹화하고 공통 인수를 제거합니다.

[(9x^2−36x)+(4y^2+24y)=−36]

[9(x^2−4x)+4(y^2+6y)=−36.]

각 괄호 세트 안에 추가될 때 완전 제곱이 되는 상수를 결정해야 합니다. 첫 번째 괄호 세트에서 계수의 절반을 취하십시오. 엑스 그리고 그것을 제곱하십시오. 이것은 ((dfrac{−4}{2})^2=4.)가 됩니다. 두 번째 괄호 세트에서 계수의 절반을 취합니다. 와이 그리고 그것을 제곱하십시오. 이것은 ((dfrac{6}{2})^2=9.) 이 됩니다. 각 괄호 쌍 안에 이것을 추가하십시오. 첫 번째 괄호 세트의 앞에 9가 있으므로 실제로 왼쪽에 36을 추가합니다. 마찬가지로 두 번째 세트에도 36을 추가합니다. 따라서 방정식은

[9(x^2−4x+4)+4(y^2+6y+9)=−36+36+36]

[9(x^2−4x+4)+4(y^2+6y+9)=36.]

이제 두 괄호 세트를 모두 인수분해하고 36으로 나눕니다.

[9(x−2)^2+4(y+3)^2=36]

[dfrac{9(x−2)^2}{36}+dfrac{4(y+3)^2}{36}=1]

[dfrac{(x−2)^2}{4}+dfrac{(y+3)^2}{9}=1.]

방정식은 이제 표준 형식입니다. 이것을 방정식 ef{VertEllipse}와 비교하면 (h=2, k=−3, a=3,) 및 (b=2)가 됩니다. 이것은 중심이 ((2,−3))이고 장축이 6이고 단축이 4인 수직 타원입니다. 이 타원의 그래프는 다음과 같이 나타납니다.

운동 (PageIndex{2})

방정식을 넣어

[9x^2+16y^2+18x−64y−71=0]

표준 형식으로 만들고 결과 타원을 그래프로 표시합니다.

힌트

상수를 위로 이동하고 사각형을 완성합니다.

대답

[dfrac{(x+1)^2}{16}+dfrac{(y−2)^2}{9}=1]

케플러의 행성 운동의 첫 번째 법칙에 따르면, 태양 주위의 행성의 궤도는 그림 (PageIndex{8A})에서와 같이 초점 중 하나에 태양이 있는 타원입니다. 지구의 궤도는 타원이기 때문에 태양으로부터의 거리는 일년 내내 변합니다. 일반적으로 개최되는 오해는 여름에 지구가 태양에 더 가깝다는 것입니다. 사실, 북반구의 여름에는 겨울보다 지구가 태양에서 더 멀리 떨어져 있습니다. 계절의 차이는 궤도면에서 지구 축의 기울기로 인해 발생합니다. 핼리 혜성과 같이 태양을 공전하는 혜성도 타원 궤도를 띠고 있으며, 지구를 공전하는 위성과 행성을 공전하는 위성도 마찬가지입니다.

타원은 또한 흥미로운 반사 특성을 가지고 있습니다. 한 초점에서 나오는 광선은 타원에서 거울 반사 후 다른 초점을 통과합니다. 음파에서도 같은 현상이 발생합니다. 워싱턴 D.C.에 있는 미국 국회의사당에 있는 국립 조상 홀은 그림 (PageIndex{8B})과 같이 타원형으로 유명한 방입니다. 이 홀은 거의 50년 동안 미국 하원의 회의 장소로 사용되었습니다. 이 반타원 방의 두 초점의 위치는 바닥에 표시로 명확하게 식별되며 방이 방문자로 가득 차 있더라도 두 사람이이 지점에 서서 서로 이야기하면 서로 많이들을 수 있습니다. 가까이에 서 있는 사람의 소리보다 더 선명하게 들립니다. 전설에 따르면 John Quincy Adams는 초점 중 하나에 책상이 있었고 서 있을 필요 없이 집에 있는 다른 모든 사람들을 도청할 수 있었습니다. 이것이 좋은 이야기가 되기는 하지만 원래 천장이 너무 많은 에코를 생성하여 소음을 줄이기 위해 방 전체에 카펫을 걸어야 했기 때문에 사실이 아닐 것입니다. 천장은 1902년에 재건되었고 그제서야 지금은 유명한 속삭임 효과가 나타났습니다. 많은 청혼의 장소인 또 다른 유명한 속삭이는 갤러리는 뉴욕 시의 그랜드 센트럴 역에 있습니다.

쌍곡선

쌍곡선은 거리로 정의할 수도 있습니다. 쌍곡선의 경우 두 개의 초점과 두 개의 방향이 있습니다. 쌍곡선에는 두 개의 점근선도 있습니다.

정의: 쌍곡선

쌍곡선은 두 고정점(초점)으로부터의 거리 차이가 일정한 모든 점의 집합입니다.

전형적인 쌍곡선의 그래프는 다음과 같이 나타납니다.

표준 형식의 쌍곡선 방정식의 유도는 타원의 방정식과 거의 동일합니다. 정의에 약간의 문제가 있습니다. 두 숫자의 차이는 항상 양수입니다. (P) 좌표가 ((x,y))인 쌍곡선상의 한 점이라고 하자. 그런 다음 쌍곡선의 정의는 (|d(P,F_1)−d(P,F_2)|=상수)를 제공합니다. 유도를 단순화하기 위해 (P)가 쌍곡선의 오른쪽 분기에 있다고 가정하여 절대값 막대가 떨어집니다. 왼쪽 가지에 있으면 빼기가 반대로 됩니다. 오른쪽 가지의 꼭짓점 좌표는 ((a,0),) 이므로

[d(P,F_1)−d(P,F_2)=(c+a)−(c−a)=2a.]

따라서 이 방정식은 쌍곡선의 모든 점에 대해 참입니다. (P)에 대한 좌표 ((x,y))로 돌아가기:

[d(P,F_1)−d(P,F_2)=2a]

[제곱트{(x+c)^2+y^2}−제곱트{(x−c)^2+y^2}=2a.]

두 번째 라디칼을 분리하고 양쪽을 정사각형으로 만듭니다.

[sqrt{(x−c)^2+y^2}=-2a+sqrt{(x+c)^2+y^2}]

[(x−c)^2+y^2=4a^2-4asqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2]

[x^2−2cx+c^2+y^2=4a^2-4asqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2+2cx+c^2+y^2 ]

[−2cx=4a^2-4asqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx.]

이제 오른쪽에서 라디칼을 분리하고 다시 정사각형을 분리합니다.

(−2cx=4a^2-4asqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx)

(-4asqrt{(x+c)^2+y^2}=−4a^2−4cx)

(-sqrt{(x+c)^2+y^2}=−a−dfrac{cx}{a})

((x+c)^2+y^2=a^2+2cx+dfrac{c^2x^2}{a^2})

(x^2+2cx+c^2+y^2=a^2+2cx+dfrac{c^2x^2}{a^2})

(x^2+c^2+y^2=a^2+dfrac{c^2x^2}{a^2}).

방정식의 왼쪽에 있는 변수와 오른쪽에 있는 상수를 분리합니다.

[x^2−dfrac{c^2x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2]

[dfrac{(a^2−c^2)x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2.]

마지막으로 양변을 (a^2−c^2)로 나눕니다. 이것은 방정식을 제공합니다

[dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{a^2−c^2}=1.]

우리는 이제 정의 그래서 (b^2=c^2−a^2). 이것은 (c>a) 때문에 가능합니다. 따라서 쌍곡선의 방정식은

[dfrac{x^2}{a^2}−dfrac{y^2}{b^2}=1.]

마지막으로 쌍곡선의 중심이 원점에서 점 ((h,k),)로 이동하면 다음과 같은 쌍곡선의 표준 형식이 됩니다.

표준 형식의 쌍곡선 방정식

중심이 ((h,k)), 수평 장축 및 수직 단축이 있는 쌍곡선을 고려하십시오. 그러면 이 쌍곡선의 방정식은

[dfrac{(x−h)^2}{a^2}−dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1 label{HorHyperbola}]

초점은 ((h±c,k),)에 위치하며 여기서 (c^2=a^2+b^2)입니다. 점근선의 방정식은 (y=k±dfrac{b}{a}(x−h))로 표시됩니다.

[x=h±dfrac{a^2}{sqrt{a^2+b^2}}=h±dfrac{a^2}{c}]

장축이 수직이면 쌍곡선 방정식은 다음과 같습니다.

[dfrac{(y−k)^2}{a^2}−dfrac{(x−h)^2}{b^2}=1]

초점은 ((h,k±c),)에 위치하며 여기서 (c^2=a^2+b^2)입니다. 점근선의 방정식은 (y=k±dfrac{a}{b}(x−h))로 표시됩니다. directrices의 방정식은

[y=k±dfrac{a^2}{sqrt{a^2+b^2}}=k±dfrac{a^2}{c}.]

장축(가로축)이 수평이면 쌍곡선을 수평이라고 하고 장축이 수직이면 쌍곡선을 수직이라고 합니다. 쌍곡선의 방정식은 다음 형식이라면 일반 형식입니다.

[Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0,]

여기서 A와 B는 부호가 반대입니다. 방정식을 일반형에서 표준형으로 변환하려면 제곱을 완성하는 방법을 사용합니다.

예 (PageIndex{3}): 쌍곡선의 표준 형식 찾기

방정식 (9x^2−16y^2+36x+32y−124=0)을 표준 형식에 넣고 결과 쌍곡선을 그래프로 표시합니다. 점근선의 방정식은 무엇입니까?

해결책

먼저 방정식의 양변에 124를 더합니다.

(9x^2−16y^2+36x+32y=124.)

다음 그룹 엑스 함께하는 조건과 와이 항을 함께 고려한 다음 공통 요인을 제외합니다.

((9x^2+36x)−(16y^2−32y)=124)

(9(x^2+4x)−16(y^2−2y)=124).

각 괄호 세트 안에 추가될 때 완전 제곱이 되는 상수를 결정해야 합니다. 첫 번째 괄호 세트에서 x의 계수의 절반을 취하여 제곱합니다. 그러면 ((dfrac{4}{2})^2=4)가 됩니다. 두 번째 괄호 세트에서 y 계수의 절반을 취하여 제곱합니다. 이것은 ((dfrac{−2}{2})^2=1.) 이 됩니다. 각 괄호 쌍 안에 이것을 추가하십시오. 마찬가지로 두 번째 괄호 세트에서 16을 뺍니다. 따라서 방정식은

(9(x^2+4x+4)−16(y^2−2y+1)=124+36−16)

(9(x^2+4x+4)−16(y^2−2y+1)=144.)

다음으로 두 세트의 괄호를 인수분해하고 144로 나눕니다.

(9(x+2)^2−16(y−1)^2=144)

(dfrac{9(x+2)^2}{144}−dfrac{16(y−1)^2}{144}=1)

(dfrac{(x+2)^2}{16}−dfrac{(y−1)^2}{9}=1.)

방정식은 이제 표준 형식입니다. 이것을 방정식 ef{HorHyperbola}와 비교하면 (h=−2, k=1, a=4,) 및 (b=3)이 됩니다. 이것은 중심이 ((−2,1))이고 방정식 (y=1±dfrac{3}{4}(x+2))에 의해 주어진 점근선을 갖는 수평 쌍곡선입니다. 이 쌍곡선의 그래프는 그림 (PageIndex{10})에 나와 있습니다.

운동 (PageIndex{3})

방정식 (4y^2−9x^2+16y+18x−29=0)을 표준 형식에 넣고 결과 쌍곡선을 그래프로 표시합니다. 점근선의 방정식은 무엇입니까?

힌트

상수를 위로 이동하고 사각형을 완성합니다. 쌍곡선이 열리는 방향 확인

대답

(dfrac{(y+2)^2}{9}−dfrac{(x−1)^2}{4}=1.) 수직 쌍곡선입니다. 점근선 (y=−2±dfrac{3}{2}(x−1).)

쌍곡선은 또한 흥미로운 반사 속성을 가지고 있습니다. 쌍곡선의 한 초점으로 향하는 광선은 쌍곡선 거울에 의해 다른 초점으로 반사됩니다. 이 개념은 그림 (PageIndex{11})에 설명되어 있습니다.

쌍곡선의 이 속성은 중요한 용도를 가지고 있습니다. 이것은 전파 방향 찾기(쌍곡선을 따라 두 타워의 신호 차이가 일정하기 때문에)와 망원경 내부의 거울 구성(포물선 거울에서 접안렌즈로 들어오는 빛을 반사하기 위해)에 사용됩니다. 쌍곡선에 대한 또 다른 흥미로운 사실은 혜성이 태양계에 진입하는 경우 속도가 태양의 중력을 피할 수 있을 만큼 충분히 크다면 혜성이 태양계를 통과할 때 가는 경로가 쌍곡선이라는 것입니다.

편심과 Directrix

원뿔 단면을 설명하는 다른 방법은 방향, 초점 및 편심이라고 하는 새로운 속성을 포함합니다. 원뿔형 단면의 이심률 값이 해당 원뿔형을 고유하게 정의할 수 있음을 알 수 있습니다.

정의: 편심과 방향

그만큼 편심 (e) 원뿔 단면의 는 원뿔 단면의 임의의 점에서 초점까지의 거리를 해당 점에서 가장 가까운 직사각선까지의 수직 거리로 나눈 값으로 정의됩니다. 이 값은 모든 원뿔 섹션에 대해 일정하며 원뿔 섹션도 정의할 수 있습니다.

  1. (e=1)이면 원뿔은 포물선입니다.
  2. (e<1)이면 타원입니다.
  3. (e>1,)이면 쌍곡선입니다.

원의 이심률은 0입니다. 그만큼 다이렉트릭스 원뿔 단면의 는 초점으로 알려진 점과 함께 원뿔 단면을 정의하는 역할을 하는 선입니다. 쌍곡선과 비원형 타원에는 두 개의 초점과 두 개의 관련 방향이 있습니다. 포물선에는 하나의 초점과 하나의 방향이 있습니다.

방향이 있는 세 개의 원뿔형 섹션이 그림 (PageIndex{12})에 표시됩니다.

포물선의 정의에서 포물선의 임의의 지점에서 초점까지의 거리는 같은 지점에서 직사각선까지의 거리와 같습니다. 따라서 정의에 따라 포물선의 이심률은 1이어야 합니다. 수평 타원의 방향 방정식은 (x=±dfrac{a^2}{c})입니다. 타원의 오른쪽 정점은 ((a,0))에 있고 오른쪽 초점은 ((c,0))입니다. 따라서 꼭짓점에서 초점까지의 거리는 (a−c)이고 꼭짓점에서 오른쪽 방향까지의 거리는 (dfrac{a^2}{c}−c.) 이심률은 다음과 같습니다.

[e=dfrac{a−c}{dfrac{a^2}{c}−a}=dfrac{c(a−c)}{a^2−ac}=dfrac{c(a −c)}{a(a−c)}=dfrac{c}{a}.]

(ca)가 있으므로 쌍곡선의 이심률은 1보다 큽니다.

예 (PageIndex{4}): 원뿔 단면의 이심률 결정

방정식으로 설명되는 타원의 이심률 결정

(dfrac{(x−3)^2}{16}+dfrac{(y+2)^2}{25}=1.)

해결책

방정식에서 (a=5) 및 (b=4)임을 알 수 있습니다. 의 가치 타원의 경우 (a^2=b^2+c^2) 방정식을 사용하여 계산할 수 있습니다. 값을 대체 및 해결 (c=3)를 제공합니다. 따라서 타원의 이심률은 (e=dfrac{c}{a}=dfrac{3}{5}=0.6.)입니다.

운동 (PageIndex{4})

방정식으로 설명되는 쌍곡선의 이심률 결정

(dfrac{(y−3)^2}{49}−dfrac{(x+2)^2}{25}=1.)

힌트

먼저 및 b의 값을 찾은 다음 방정식 (c^2=a^2+b^2)를 사용하여 c를 결정합니다.

대답

(e=dfrac{c}{a}=dfrac{sqrt{74}}{7}≈1.229)

원뿔 단면의 극좌표 방정식

때로는 원뿔형 단면의 방정식을 극 형식으로 쓰거나 식별하는 것이 유용합니다. 이를 위해서는 초점 매개변수의 개념이 필요합니다. 그만큼 초점 매개변수 원뿔 단면의 초점에서 가장 가까운 방향까지의 거리로 정의됩니다. 다음 표는 다양한 유형의 원뿔에 대한 초점 매개변수를 제공합니다. 여기서 반장축의 길이(즉, 장축 길이의 절반), 는 원점에서 초점까지의 거리이고, 이자형 편심입니다. 포물선의 경우 정점에서 초점까지의 거리를 나타냅니다.

표 (PageIndex{1}): 원추 단면의 편심 및 초점 매개변수
원뿔(이자형)(피)
타원(0(dfrac{a^2−c^2}{c}=dfrac{a(1−e^2)}{c})
포물선(e=1)(2a)
쌍곡선(e>1)(dfrac{c^2−a^2}{c}=dfrac{a(e^2−1)}{c})

초점 매개변수의 정의와 원뿔 단면의 이심률을 사용하여 극좌표의 모든 원뿔 단면에 대한 방정식을 유도할 수 있습니다. 특히, 주어진 원뿔 단면의 초점 중 하나가 극점에 있다고 가정합니다. 그런 다음 거리 측면에서 다양한 원뿔형 단면의 정의를 사용하여 다음 정리를 증명할 수 있습니다.

원뿔 단면의 극좌표 방정식

초점 매개변수가 있는 원뿔 단면의 극 방정식 에 의해 주어진다

(r=dfrac{ep}{1±ecos θ}) 또는 (r=dfrac{ep}{1±esin θ}.)

왼쪽 방정식에서 원뿔형 단면의 장축은 수평이고 오른쪽 방정식에서는 장축이 수직입니다. 극좌표 형식으로 작성된 원뿔 섹션으로 작업하려면 먼저 분모의 상수 항을 1과 같게 만드십시오. 이것은 분수의 분자와 분모를 모두 더하기 또는 빼기 앞에 나타나는 상수로 나누어 수행할 수 있습니다. 분모에. 그런 다음 분모의 사인 또는 코사인 계수는 이심률입니다. 이 값은 원뿔을 식별합니다. 코사인이 분모에 나타나면 원뿔은 수평입니다. 사인이 나타나면 원뿔이 수직입니다. 둘 다 나타나면 축이 회전됩니다. 원뿔의 중심이 반드시 원점에 있는 것은 아닙니다. 중심은 원뿔이 원인 경우에만 원점에 있습니다(즉, (e=0)).

예 (PageIndex{5}): 극좌표의 원뿔 단면 그래프

방정식으로 설명되는 원뿔 단면의 그래프 식별 및 생성

(r=dfrac{3}{1+2cos θ}).

해결책

분모의 상수항은 1이므로 원뿔의 이심률은 2입니다. 이것은 쌍곡선입니다. 초점 매개변수 p는 방정식 (ep=3.)을 사용하여 계산할 수 있습니다. (e=2)이므로 (p=dfrac{3}{2})가 됩니다. 코사인 함수는 분모에 나타나므로 쌍곡선은 수평입니다. (θ)에 대한 몇 가지 값을 선택하고 값 테이블을 만듭니다. 그런 다음 쌍곡선을 그래프로 나타낼 수 있습니다(그림 (PageIndex{13})).

(θ)(아르 자형)(θ)(아르 자형)
01(π)−3
(dfrac{π}{4})(dfrac{3}{1+sqrt{2}}≈1.2426)(dfrac{5π}{4})(dfrac{3}{1−sqrt{2}}≈−7.2426)
(dfrac{π}{2})3(dfrac{3π}{2})3
(dfrac{3π}{4})(dfrac{3}{1−sqrt{2}}≈−7.2426)(dfrac{7π}{4})(dfrac{3}{1+sqrt{2}}≈1.2426)

운동 (PageIndex{5})

방정식으로 설명되는 원뿔 단면의 그래프 식별 및 생성

(r=dfrac{4}{1−0.8 sin θ}).

힌트

먼저 다음 값을 찾습니다. 이자형, 값 테이블을 만듭니다.

대답

여기서 (e=0.8) 및 (p=5)입니다. 이 원뿔형 단면은 타원입니다.

차수 2의 일반 방정식

차수 2의 일반 방정식은 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.

[ Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.]

이 형식의 방정식의 그래프는 원뿔형 단면입니다. (B≠0)이면 좌표축이 회전합니다. 원뿔 섹션을 식별하기 위해 원뿔 섹션 (4AC−B^2.)의 판별식을 사용합니다.

원뿔 섹션 식별

다음 경우 중 하나에 해당해야 합니다.

  1. (4AC−B^2>0). 그렇다면 그래프는 타원입니다.
  2. (4AC−B^2=0). 그렇다면 그래프는 포물선입니다.
  3. (4AC−B^2<0). 그렇다면 그래프는 쌍곡선입니다.

교차 항을 포함하는 2차 방정식의 가장 간단한 예는 (xy=1)입니다. (y)에 대해 이 방정식을 풀면 (y=dfrac{1}{x})를 얻을 수 있습니다. 이 함수의 그래프를 그림과 같이 직사각형 쌍곡선이라고 합니다.

이 쌍곡선의 점근선은 (x) 및 (y) 좌표축입니다. 원뿔 단면의 회전 각도 θ를 결정하기 위해 공식 (cot 2θ=frac{A−C}{B})을 사용합니다. 이 경우 (A=C=0) 및 (B=1)이므로 (cot 2θ=(0−0)/1=0) 및 (θ=45°)입니다. 회전된 축이 있는 원뿔형 단면을 그래프로 그리는 방법에는 회전된 좌표계에서 원뿔형의 계수를 결정하는 작업이 포함됩니다. 새 계수는 (A′,B′,C′,D′,E′,) 및 (F′,)로 레이블이 지정되며 다음 공식으로 제공됩니다.

[ egin{align} A′ =Acos^ 2θ+Bcos θsin θ+Csin^2 θ B′ =0 C′ =Asin^2 θ−B sin θcos θ+Ccos^2θ D′ =Dcos θ+Esin θ E′ =−Dsin θ+Ecosθ F′ =F입니다. end{정렬}]

절차: 회전된 원뿔 그래프 그리기

회전된 원뿔을 그래프로 그리는 절차는 다음과 같습니다.

  1. 판별식 (4AC−B^2)를 사용하여 원뿔 단면을 식별합니다.
  2. [cot2θ=dfrac{A−C}{B} label{rot}.] 공식을 사용하여 (θ)를 결정합니다.
  3. (A′,B′,C′,D′,E′) 및 (F′)를 계산합니다.
  4. (A′,B′,C′,D′,E′) 및 (F′)를 사용하여 원래 방정식을 다시 작성하십시오.
  5. 회전 방정식을 사용하여 그래프를 그립니다.

예 (PageIndex{6}): 회전된 원뿔 식별

원뿔을 식별하고 방정식으로 설명된 곡선에 대한 축의 회전 각도를 계산합니다.

[13x^2−6sqrt{3}xy+7y^2−256=0.]

해결책

이 방정식에서 (A=13,B=−6sqrt{3},C=7,D=0,E=0,) 및 (F=−256)입니다. 이 방정식의 판별식은

[4AC−B^2=4(13)(7)−(−6sqrt{3})^2=364−108=256.]

따라서 이 원뿔은 타원입니다.

축의 회전 각도를 계산하려면 ef{rot} 방정식을 사용하십시오.

[cot 2θ=dfrac{A−C}{B}.]

이것은 준다

(cot 2θ=dfrac{A−C}{B}=dfrac{13−7}{−6sqrt{3}}=−dfrac{sqrt{3}}{3}).

따라서 축의 회전 각도인 (2θ=120^o) 및 (θ=60^o)입니다.

회전된 계수를 결정하려면 위에 제공된 공식을 사용하십시오.

(A′=Acos^2θ+Bcos θsinθ+Csin^2θ)

(=13cos^260+(−6sqrt{3})cos 60 sin 60+7sin^260)

(=13(dfrac{1}{2})^2−6sqrt{3}(dfrac{1}{2})(dfrac{sqrt{3}}{2})+7( dfrac{sqrt{3}}{2})^2)

(=4,)

(B′=0)

(C′=Asin^2θ−Bsin θcos θ+Ccos^2θ)

(=13sin^260+(6sqrt{3})sin 60 cos 60+7cos^260)

(=13(dfrac{sqrt{3}}{2})^2+6sqrt{3}(dfrac{sqrt{3}}{2})(dfrac{1}{2})+7(dfrac{1}{2})^2)

(=16,)

(D′=Dcos θ+Esin θ)

(=(0)cos 60+(0)sin 60)

(=0,)

(E′=−Dsin θ+Ecos θ)

(=−(0)sin 60+(0)cos 60)

(=0)

(F′= F)

(=−256.)

The equation of the conic in the rotated coordinate system becomes

(4(x′)^2+16(y′)^2=256)

(dfrac{(x′)^2}{64}+dfrac{(y′)^2}{16}=1).

A graph of this conic section appears as follows.

운동 (PageIndex{6})

Identify the conic and calculate the angle of rotation of axes for the curve described by the equation

[3x^2+5xy−2y^2−125=0.]

힌트

Follow steps 1 and 2 of the five-step method outlined above

대답

The conic is a hyperbola and the angle of rotation of the axes is (θ=22.5°.)

주요 컨셉

  • The equation of a vertical parabola in standard form with given focus and directrix is (y=dfrac{1}{4p}(x−h)^2+k) where (p) is the distance from the vertex to the focus and ((h,k)) are the coordinates of the vertex.
  • The equation of a horizontal ellipse in standard form is (dfrac{(x−h)^2}{a^2}+dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1) where the center has coordinates ((h,k)), the major axis has length 2a, the minor axis has length 2b, and the coordinates of the foci are ((h±c,k)), where (c^2=a^2−b^2).
  • The equation of a horizontal hyperbola in standard form is (dfrac{(x−h)^2}{a^2}−dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1) where the center has coordinates ((h,k)), the vertices are located at ((h±a,k)), and the coordinates of the foci are ((h±c,k),) where (c^2=a^2+b^2).
  • The eccentricity of an ellipse is less than 1, the eccentricity of a parabola is equal to 1, and the eccentricity of a hyperbola is greater than 1. The eccentricity of a circle is 0.
  • The polar equation of a conic section with eccentricity 이자형 is (r=dfrac{ep}{1±ecosθ}) or (r=dfrac{ep}{1±esinθ}), where represents the focal parameter.
  • To identify a conic generated by the equation (Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0),first calculate the discriminant (D=4AC−B^2). If (D>0) then the conic is an ellipse, if (D=0) then the conic is a parabola, and if (D<0) then the conic is a hyperbola.

용어 사전

conic section
a conic section is any curve formed by the intersection of a plane with a cone of two nappes
directrix
a directrix (plural: directrices) is a line used to construct and define a conic section; a parabola has one directrix; ellipses and hyperbolas have two
판별자
the value (4AC−B^2), which is used to identify a conic when the equation contains a term involving (xy), is called a discriminant
focus
a focus (plural: foci) is a point used to construct and define a conic section; a parabola has one focus; an ellipse and a hyperbola have two
eccentricity
the eccentricity is defined as the distance from any point on the conic section to its focus divided by the perpendicular distance from that point to the nearest directrix
focal parameter
the focal parameter is the distance from a focus of a conic section to the nearest directrix
general form
an equation of a conic section written as a general second-degree equation
major axis
the major axis of a conic section passes through the vertex in the case of a parabola or through the two vertices in the case of an ellipse or hyperbola; it is also an axis of symmetry of the conic; also called the transverse axis
minor axis
the minor axis is perpendicular to the major axis and intersects the major axis at the center of the conic, or at the vertex in the case of the parabola; also called the conjugate axis
nappe
a nappe is one half of a double cone
standard form
an equation of a conic section showing its properties, such as location of the vertex or lengths of major and minor axes
vertex
a vertex is an extreme point on a conic section; a parabola has one vertex at its turning point. An ellipse has two vertices, one at each end of the major axis; a hyperbola has two vertices, one at the turning point of each branch

주요 컨셉

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    • Authors: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • Publisher/website: OpenStax
    • Book title: Calculus Volume 2
    • Publication date: Mar 30, 2016
    • Location: Houston, Texas
    • Book URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/1-introduction
    • Section URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/7-key-concepts

    © Dec 21, 2020 OpenStax. Textbook content produced by OpenStax is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 license. The OpenStax name, OpenStax logo, OpenStax book covers, OpenStax CNX name, and OpenStax CNX logo are not subject to the Creative Commons license and may not be reproduced without the prior and express written consent of Rice University.


    Breezy Hill Turning

    Conefluence- In this piece nine separate conic sections merge together into the form of a hemisphere. Since the width of each conic section is the the same, the inner edges of the conic sections also describe a hemisphere.----SOLD

    Conefluence- 10&rdquoH x 8&rdquoD. Hemisphere- Big Leaf Maple Burl, Dyes, Lacquer, Colored Epoxy. Stand- Maple, Dye, Acrylic Rod----SOLD

    Conefluence- This work is actually 9 separate turnings that were carefully joined together. Since the width of each conic section is the the same, the inner edges of the conic sections also describe a hemisphere.----SOLD


    The extreme points of the latus rectum of a parabola are (7,5) and (7,3). Find the equation of parabola and the points where it meets the coordinate axis .


    Since you have equation so putting x = 0 and y = 0 one by one you may calculate points where they cut coordinate axis.

    Jegannathan Anandaraman answered this

    Hello Rocky dear, with the data of extreme points of latus rectum 4a = 2
    But there are two possibilities. Parabola may face left ward or right ward
    Let us take first option right ward
    So its equation has to by (y - k)^2 = 4 a ( x- h)
    Now the focus can be found as (7,4)
    So the vertex has to be [(7-1/2) , 4] or (13/2 , 4). This establishes that h = 13/2 and k = 4
    Hence the equation of the parabola
    (y-4)^2 = 2 * (x- 13/2)
    Now to get meeting point with co-ordinate axes plug x = 0 you get meeting with y axis
    Plug y = 0 you would get the meeting point with x axis.
    Hope you would complete the work. All the best


    As we can see the angle between the two curves at point $(2+2sqrt 2,2+2sqrt2)$ is twice the angle formed by the tangent and $x$ -axis and the line $y=x$ .

    The tangent has gradient $f'(2+2sqrt 2)= sqrt<2>+1$

    Thus the angle formed with $x$ -axis is $arctan(sqrt 2+1)=67.5°$

    Less the $45°$ of the angle bisector $y=x$ we see that the curves form an angle

    In a similar way the angle formed by the two curves at the other intersection point is $135°$ .

    The two curves intersect in $Bbb R^2$ in the two points $P_pm=(2pmsqrt 2, 2pmsqrt2)$ . Both points are on the line $x=y$ . So it is enough to get the angle of the tangent of each parabola in $P_pm$ with the line $x=y$ .

    So let us consider first parabola $4(y+1)=x^2$ . Its focus is the origin. Take a look for instance at:

    It is also easy to see this algebraically. The squared distance from a point $P=(x,y)$ to the focus $F=(0,0)$ is $x^2+y^2$ , and the squared distance from $P$ to the horizontal line $(d)$ given by $y=-2$ (diretrix) is $(y+2)^2$ . So the parabola, the geometric locus of all points equally far from $F$ and $(d)$ has the equation $x^2+y^2=(y+2)^2$ . This is our parabola.

    Using the "optical properties", a ray comming verically from "infinity" to the point $P_pm$ is reflected (in the "wall of the parabola", i.e. in the tangent in that point to the "wall"), and the reflection passes through the focus. This means that the we know the angle of the tangent in $P_pm$ at the parabola.

    (Arguably, we still have to show this optical property without differential calculus. else this would be a "cheating answer", since we do not use differentiation, but an argument, that may use it. Is this an issue?)

    For the other parabola, take a "horizontal rays".

    Note: If this is not enough, i will come back with pictures and computations.


    Tests

    You are missed when you are not in class!

    If you miss a test, it is your responsibility to speak to me as soon as possible to determine whether or not your excuse is acceptable. Here is some General Guidance regarding appropriate reasons for absence from a test or examination. If you are in doubt, ask me as soon as possible. However, please note that leaving early for a holiday, making plane reservations to leave early while classes or examinations are scheduled by the University, or planning to attend a social event during University scheduled class times is not a legitimate excuse for missing a test.


    7.5 Strategy for Integration

    소개: In this lesson we will review all of the integration techniques we have learned thus far and, given a variety of integrals, discuss when to use which techniques. Often, the hardest step in computing an integral is determining which technique to apply and this lesson will focus on how you make that choice.

    Objectives: After this lesson you should be able to:

    • Integrate functions using the following techniques or a combination of these techniques:
      • Substitution
      • Integration by Parts
      • Trigonometric Integrals
      • Trigonometric Substitution
      • Partial Fractions

      Video & Notes: Fill out the note sheet for this lesson (7-5-Strategy-for-Integration) as you watch the video. If you prefer, you could read Section 7.5 of your textbook and work out the problems on the notes on your own as practice. Remember, notes must be uploaded to Blackboard weekly for a grade! If for some reason the video below does not load you can access it on YouTube here.

      숙제: Go to WebAssign and complete the 𔄟.5 Integration Strategy” assignment.

      Practice Problems: # 3, 5, 9, 11, 13, 21, 27, 37, 39, 51

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      The University of Alaska Fairbanks is an AA/EO employer and educational institution and prohibits illegal discrimination against any individual. Learn more about UA’s notice of nondiscrimination.


      Polynomials describing an ellipse

      A conic goes through the points $((-1,-3), (-1,1), (0,-3), (0,2), (3,0), (3,2))$ with equation $(-5, 4, -4, 7, -4, 24).(x^2, x y, y^2, x, y, 1)=0$, that happens to be an ellipse. The ellipse passes through various other rational points, such as the following:

      Here's a picture of it with various rational points connected by horizontal or vertical lines. The center is at $(5/8, -3/16)$.

      With some amount of extreme numerical hackery I found exact solutions for the major and minor axis.

      Let $A$ be 4 sols of $8125 + 7500 x - 4400 x^2 - 2560 x^3 + 1024 x^4 = 0$.
      Let $B$ be 4 sols of $-181561 - 9768 x - 23744 x^2 + 12288 x^3 + 16384 x^4 = 0$.

      The major axis is $((A_1,B_1),(A_4,B_4))$. The minor axis is $((A_2,B_3),(A_3,B_2))$.

      왜? Where the heck did those polynomials $A$ and $B$ come from that completely solve the problem? Is there some easy and elegant method for finding them? Do they have a name?

      Partially caused by the paper Where is the Cone? I wondered if there was some easy way to find the cone for some random points.

      Here's five simple points leading to a scarier polynomial: $((4,3),(6,2),(7,-5),(-3,3),(-7,-7))$. Let $C$ be $9293912158137116224000000-381181198346659643504000 x^2+3433033712621714056671 x^4 = 0$


      Ellipse and hyperbola

      &emsp&emspWe have studied two types of second-degree relations thus far: parabolas and circles. We now look at another type, the ellipse.

      ELLIPSES &emsp&emspThe definition of an ellipse is also based on distance.

      ELLIPSES&emsp&emspAn ellipse is the set of all points in a plane the sum of whose distances from two fixed points is constant. The two fixed points are called the foci of the ellipse.

      &emsp&emsp

      &emsp&emspFor example. the ellipse in Figure 3.37 has foci at points F and F '. By the definition, the ellipse is made up of all points P such that the sum d ( P , F ) + d ( R F &rsquo) is constant. The ellipse in Figure 3.37 has its center at the origin. Points V and V &rsquo are the vertices of the ellipse, and the line segment connecting V and V &rsquo is the major axis. The foci always lie on the major axis. The line segment from B to B &lsquo is the minor axis. The major axis has length 2a , and the minor axis has length 2b .

      &emsp&emspIf the foci are chosen to be on the x -axis (or y - axis), with the center of the ellipse at the origin, then the distance formula and the definition of an ellipse can be used to obtain the following result. (See Exercise 43.)

      EQUATION OF AN ELLIPSE

      &emsp&emspThe ellipse centered at the origin with x -intercepts a and -a , and y -intercepts b and -b , has equation

      &emsp&emspIn an equation of an ellipse, the coefficients of x^2 and y^2 must be different positive numbers. (What happens if the coefficients are equal?)

      &emsp&emspAn ellipse is the graph of a relation. As suggested by the graph in Figure 3.37, if the ellipse has equation (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1 , the domain is [-a, a ] and the range is [-b, b ]. Notice that the ellipse in Figure 3.37 is symmetric with respect to the x -axis, the y -axis, and the origin. More generally, every ellipse is symmetric with respect to its major axis, its minor axis, and its center.

      &emsp&emspEllipses have many useful applications. As the earth makes its year-long journey around the sun, it traces an ellipse. Spacecraft travel around the earth in elliptical orbits, and planets make elliptical orbits around the sun. An interesting recent application is the use of an elliptical tub in the nonsurgical removal of kidney stones.

      GRAPHING AN ELLIPSE CENTERED AT THE ORIGIN

      &emsp&emspTo gel the form of the equation of an ellipse, divide both sides by 36 .

      &emsp&emspThis ellipse is centered at the origin, with x -intercepts 3 and -3 , and y -intercepts 2 and -2 . Additional ordered pairs that satisfy the equation of the ellipse may be found and plotted as needed (a calculator with a square root key will be helpful). The domain of this relation is -3,3 . and the range is -2,2 . The graph is shown in Figure 3.38.

      &emsp&emsp

      Let&rsquos see how our math solver generates graph for this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

      FINDING THE EQUATION OF AN ELLIPSE

      &emsp&emspGive the equation of the ellipse with center at the origin, a vertex at (5,0) , and minor axis of length 6 .

      &emsp&emspThe equation will have the form (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 . One vertex is at (5,0) , so a = 5 . The minor axis has length 2b . 그래서

      &emsp&emspRecall from Section 3.4 that the circle x^2 + y^2 = r^2 , whose center is at the origin, can be translated away from the origin so that the circle (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 has its center at (h, k) . In a similar manner, an ellipse can be translated so that its center is away from the origin.

      IN SIMPLEST TERMS

      One of the most useful properties of an ellipse is its reflexive property. if a beam is projected from one focus onto the ellipse, it will reflect to the other focus. This feature has helped scientists develop the lithographer, a machine that uses shock waves to crush kidney stones. The waves originate at one focus and are reflected to hit the kidney stone which is positioned at the second focus.

      &emsp&emspTo determine the focus of an ellipse, use the formula b^2=a^2-c^2 , where
      the distance from the center to one end of the major axis is represented by a , the distance from the center to one end of the minor axis is represented by b , and the distance from the center to each focus is represented by c . The foci will lie on the major axis. Solving this formula for c gives c=+-root(a^2-b^2) .

      In finding the foci of the ellipse x^2/25+y^2/9=1 , we see that a^2=25 , b^2=9 and c=+-root(16)=+-4 . Since the center of the ellipse is at (0, 0) , the foci are located at (-4, 0) and (4, 0) .

      GRAPHING AN ELLIPSE TRANSLATED AWAY FROM THE ORIGIN

      &emsp&emsp

      &emsp&emspwe would have an ellipse with center at (0, 0) . The terms in the numerators of the fractions on the left side, however. indicate that this relation represents an ellipse centered at (2, -1) . Graph the ellipse using the fact that a = 3 and b=4 . Stan at (2. -1) and locate two points each 3 units away from (2. -1) on a horizontal line, one to the right of (2. -1) and one to the left. Locate two other points on a vertical line through (2. -1) , one 4 units up and one 4 units down. Since b > a , the vertices are on the
      vertical line through the center. The vertices are (2. 3) and (2. -5) . Find additional points as necessary. The final graph is shown in Figure 3.39. As the graph suggests, the domain is -1,5 , and the range is -5,3 .

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      HYPERBOLAS&emsp&emspThe definition of an ellipse requires that the sum of the distances form two fixed points be constant. The definition of hyperbola involves the difference rather than the sum.

      HYPERBOLAS&emsp&emspA hyperbole is the set of all points in a plane such that the absolute value of the difference of the distances from two fixed points (called foci) is constant.

      &emsp&emspSome applications of hyperbolas are given in the exercises.

      &emsp&emspAs with ellipses, the equation of a hyperbola can be found from the distance formula and the definition of a hyperbola. (See Exercise 45.)

      EQUATIONS OF HYPERBOLAS

      &emsp&emspA hyperbola centered at the origin, with x -intercepts a and -a , has an equation of the form

      &emsp&emspwhile a hyperbola centered at the origin, with y -intercepts b and -b , has an equation of the form

      &emsp&emspSome texts use y^2/a^2-x^2/b^2=1 for this last equation. For a brief introduction such as this, the form given is commonly used.

      &emsp&emspThe x -intercepts are the vertices of a hyperbola with the equation (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 , and the y -intercepts are the vertices of a hyperbola with the equation (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 . The line segment between the vertices is the transverse axis of the hyperbola&lsquo and the midpoint of the transverse axis is the center of the hyperbola.

      GRAPHING A HYPERBOLA CENTERED AT THE ORIGIN

      &emsp&emspGraph the hyperbola x^2/16-y^2/9=1 .

      &emsp&emspBy the first equation of a hyperbola given earlier. the hyperbole is centered at the origin and has x -intercepts 4 and -4 . However, if x = 0 ,

      &emsp&emspwhich has no real solutions. For this reason, the graph has no y-intercepts. To complete the graph. find some other ordered pairs that belong to it. For example, if x=6 ,

      &emsp&emsp y^2/9=20/16 &emsp&emspMultiply by -1 and combine terms.

      &emsp&emsp y^2=180/16=45/4 &emsp&emspMultiply by 9 lowest terms.

      &emsp&emsp y=+-(3root(5))/(2) &asymp +-3.4 .&emsp&emspTake square roots and use a calculator.

      &emsp&emspThe graph includes the points (6,3.4) and (6, -3.4) . If x = -6 , y &asymp +-3.4 , so the points (-6, 3.4) and (-6, -3.4) also are on the graph. These points, along with other points on the graph, were used to help sketch the final graph shown in Figure 3.40. The graph suggests that the domain of this hyperbola is (-&infin,-4) (4,&infin) , while the range is (-&infin,&infin) . Using the tests for symmetry would show that this hyperbola is symmetric with respect to the x -axis, the y -axis, and the origin.

      &emsp&emsp &emsp&emsp

      &emsp&emspStarting with

      &emsp&emspIf x^2 is very large in comparison to a^2 , the difference x^2-a^2 would be very close to x^2 . If this happens, then the points satisfying equation (*) above would be very close to one of the lines

      &emsp&emspThus, as |x| gets larger and larger, the points of the hyperbola x^2/a^2-y^2/b^2=1 come closer and closer to the lines y=(+-b/a)x . These lines, called the asymptotes of the hyperbola, are very helpful when graphing the hyperbola. An asymptotes is a line that the graph of a relation approaches but never reaches as |x| gets large. Asymptotes are discussed again in Sections 5.1 and 6.6.

      USING ASYMPTOTES TO GRAPH A HYPERBOLA

      &emsp&emsp

      &emsp&emspFor this hyperbola, a = 5 and b = 7 . with these values, y = (+-b/a)x becomes y = (+-7/5)x . Use the x -intercepts: if x = 5 , then y = (+-7/5)(5) = +-7 , and if x = -5 , y = 17 . These four points, (5, 7),(5, -7), (-5, 7) , and (-5, -7) , lead to the rectangle shown in Figure 3.41. The extended diagonals of this rectangle are the asymptotes of the hyperbola. The hyperbola has x -intercepts 5 and -5 . The domain is (-&infin,-5) (5,&infin) , and the range is (-&infin,&infin) . The final graph is shown in Figure 3.41.

      &emsp&emspThe rectangle used to find the asymptotes of the hyperbola in Example 5 is called the fundamental rectangle.

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      ASYMPTOTES OF A HYPERBOLA

      &emsp&emspThe asymptotes of the hyperbola with equation

      &emsp&emspare the extended diagonals of the fundamental rectangle with vertices at (a, b),(a, -b), (-a, b) , and (-a, -b) .

      &emsp&emspBy using slopes of the diagonals of the fundamental rectangle, we can verify that the equations of the diagonals are as follows.

      EQUATIONS OF ASYMPTOTES

      &emsp&emspThe equations of the asymptotes of either of the hyperbolas (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 or (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 are

      &emsp&emspLike the relations studied earlier in this chapter, hyperbolas may be translated. The type of translation can be determined from the equation. just as it was with parabolas, circles, and ellipses.

      GRAPHING A HYPERBOLA TRANSLATED AWAY FROM THE ORIGIN&emsp

      &emsp&emsp

      &emsp&emspThis hyperbola has the same graph as

      &emsp&emspexcept that it is centered at (-3, -2) . See Figure 3.42.

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      FINDING THE EQUATION OF A HYPERBOLA

      &emsp&emspWrite the equation of the hyperbola centered at (-2, 1) , with a vertex at (-2. 3) , and with a equal to half of b .

      &emsp&emspSince both the vertex and the center are on the transverse axis, it must be the vertical line x = -2 . The equation will have the form

      &emsp&emspThe distance from the center to the given vertex at (-2, 3) gives b for this hyperbola. Using the distance formula,

      &emsp&emspFrom the information given. a = (1/2)b = (1/2)(2) = 1 , so the equation is

      3.6&emsp&emspTHE CONIC SECTIONS

      &emsp&emspThe graphs of the second degree relations studied in this chapter, parabolas, hyperbolas, ellipses, and circles, are called conic sections since each can be obtained by cutting a cone with a plane. as shown in Figure 3.43.

      &emsp&emsp

      &emsp&emspAll conic sections presented in this chapter have equations of the form

      &emsp&emspwhere either A or C must be nonzero. The special characteristics of each of the conic sections are summarized below.

      EQUATIONS OF CONIC SECTIONS

      onic Section 특성 Example
      Parabola Either A=0 or C=0 , but not both. y=x^2 x=3y^2+2y-4
      Circle A=C!=0 x^2+y^2=16
      Ellipse A!=C,AC>0 x^2/16+y^2/25=1
      Hyperbola AC<0 x^1-y^2=1

      &emsp&emspThe following chart summarizes our work with conic sections.&emsp

      &emsp&emspIn order lo recognize the type of graph that a given conic section has, it is sometimes necessary to transform the equation into a more familiar form, as shown in the next examples.

      DETERMINING THE TYPE OF A CONIC SECTION FROM ITS EQUATION

      &emsp&emspDecide on the type of conic section represented by each of the following equations, and sketch each graph.

      &emsp&emspDivide each side by 100 to get

      &emsp&emspThis is a hyperbola centered at the origin, with foci on the y -axis, and y -intercepts 2 and -2 The points (5 ,2) (5 ,-2) ,(-5 2) (-5,-2) determine the fundamental rectangle. The diagonals of the rectangle are the asymptotes, and their equations are

      &emsp&emspThe graph is shown in Figure 3.44

      &emsp&emsp

      &emsp&emspRewriting the equation as

      &emsp&emspshows that the equation represents a hyperbola centered at the origin, with asymptotes

      &emsp&emspThe x -intercepts are +-5 the graph is shown in Figure 3.45.

      &emsp&emsp

      &emsp&emspSince the coefficients of the x^2 and y^2 terms are unequal and both positive, this equation might represent an ellipse. (It might also represent a single point or no points at all.) To find out, complete the square on x and y .

      &emsp&emsp 4(x^2-4x)+9(y^2+6y)=-61 &emsp&emspFactor out a 4 Factor out a 9 .

      &emsp&emsp 4(x^2-4x+4-4)+9(y^2+6y+9-9)=-61 &emsp&emspAdd and subtract the same quantity.

      &emsp&emspThis equation represents an ellipse having center at (2, -3) and graph as shown in Figure 3.46.

      &emsp&emsp

      &emsp&emspComplete the square on both x and y , as follows

      &emsp&emspThis result shows that the equation is that of a circle of radius 0 that is, the point (4, -5) . Had a negative number been obtained on the right (instead of 0 ), the equation would have represented no points at all, and there would be no graph.

      &emsp&emspSince only one variable is squared ( x , and not y ), the equation represents a parabola. Rearrange the terms to get the term with y (the variable that is not squared) alone on one side. Then complete the square on the other side of the equation.

      &emsp&emspThe parabola has vertex at (3, 2) , and opens downward, as shown in Figure 3.47.

      &emsp&emsp

      DETERMINING THE TYPE OF A CONIC SECTION FROM ITS EQUATION

      &emsp&emspComplete the square on x and on y .

      &emsp&emspBecause of the -36 , it is very tempting to say that this equation does not have a graph. However, the minus sign in the middle on the left shows that the graph is that of a hyperbola. Dividing through by - -36 and rearranging terms gives

      &emsp&emspa hyperbola centered at (1 , 2) , with graph as shown in Figure 3.48.

      &emsp&emsp

      &emsp&emspRelations are sometimes defined as square roots of expressions so that their graphs consist of only a portion of the graph of a complete conic section. The final example illustrates one such relation.

      GRAPHING A RELATION DEFINED BY A SQUARE ROOT

      &emsp&emspSquaring both sides gives

      &emsp&emspUse the fact that 4 = 1/(1/4) to write the equation as

      &emsp&emspthe equation of a hyperbola with y -intercepts 1 and -1 . Use the points (1/2, 1) , (1/2, -1), (-1/2, 1) , and (-l/2, -1) to sketch the asymptotes. Since the given equation y=-root(1+4x^2) restricts y to nonpositive values, the graph is the lower branch of the hyperbola, as shown in Figure 3.49. The domain of y=-root(1+4x^2) is the set of all x such that 1+4x^2>=0 . This condition is satisfied for all x in the interval (-&infin,&infin) . The range is (-&infin,-1) .

      &emsp&emsp

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      비디오 보기: 중학수학 유형레시피 유형 126 원기둥, 원뿔, 구 부피 비교 (12 월 2021).