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4.1.E: 극한과 연속성에 관한 문제 - 수학

4.1.E: 극한과 연속성에 관한 문제 - 수학



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운동 (PageIndex{1})

증명 (2 .) 왜 여기서 (G_{p}(delta)) 와 (G_{ eg p}(delta))를 교환할 수 있습니까?

운동 (PageIndex{2})

증명 (3 .) 귀납법에 의해 첫 번째 절을 (n) 경로의 합집합으로 확장합니다. 경로의 무한 합집합에 대해 반증합니다(§3의 문제 9 참조).

운동 (PageIndex{2'})

(f : E^{1} ightarrowleft(T, ho^{prime} ight)) 함수가 (p) iff에서 연속임을 증명
[
f(p)=fleft(p^{-} ight)=fleft(p^{+} ight) .
]

운동 (PageIndex{3})

(B)가 (p)의 이웃인 경우 (p)((B ) 이상)에서의 상대 극한과 연속성은 일반적인 것과 동일함을 보여주십시오(3장, §12). 예를 들어, 일부 (G_{p})인 경우.

운동 (PageIndex{4})

(f(p), fleft(p^{-} ight),) 및 (fleft(p^{+} ight)를 비교하면서 그림 (13-15)에 대해 자세히 논의하십시오. ;) 문제 (2^{prime} .) 참조
그림 (13,)에서 (delta)의 다른 값은 동일한 (varepsilon .)에 대해 (p) 및 (p_{1})에서 발생하므로 (delta ) (varepsilon) 및 (p .) 선택에 따라 다릅니다.

운동 (PageIndex{5})

예제 ((mathrm{d})-(mathrm{g}) 에서 누락된 세부 정보를 완성하십시오. operatorname{In}(mathrm{d}),) 재정의 (f(x)) 최소 정수 (geq x .) (f)는 (E^{1})에서 왼쪽 연속임을 보여줍니다.

운동 (PageIndex{6})

에 대한 명시적 정의(예: ((3) ))를 제공하십시오.
[
egin{array}{ll}{ ext { (a) } lim _{x ightarrow+infty} f(x)=-infty ;} & { ext { (b) } lim _{x ightarrow-infty} f(x)=q} ; { ext { (c) } lim _{x ightarrow p} f(x)=+infty ;} & { ext { (d) } lim _{x ightarrow p} f(x )=-infty} ; { ext { (e) } lim _{x ightarrow p^{-}} f(x)=+infty ;} & { ext { (f) } lim _{x ightarrow p ^{+}} f(x)=-infty} . end{배열}
]
각각의 경우에 다이어그램(예: 그림 (13-15 ))을 그리고 (f)의 영역과 범위가 모두 (E^{*})에 있어야 하는지 여부를 결정하십시오.

운동 (PageIndex{7})

(f : E^{1} ightarrow E^{1})를 다음과 같이 정의합니다.
[
f(x)=frac{x^{2}-1}{x-1} ext { if } x eq 1, ext { 및 } f(1)=0 .
]
(lim _{x ightarrow 1} f(x)=2) 가 존재하지만 (f) 는 (p=1 .) 에서 불연속임을 표시하십시오. (f(1 ) .)
([ ext { 힌트: For } x eq 1, f(x)=x+1 . ext { 삭제된 지구본을 사용하여 예제 (b)와 같이 진행 }) (G_{ eg p} (델타) . ])

운동 (PageIndex{8})

(lim _{x ightarrow p} f(x))를 찾고 (D_{f}=A)가 모든 (x in E^{1})는 (f(x))에 대해 주어진 표현식이 의미가 있습니다. 해당 세트를 지정하십시오.
[
egin{array}{l}{ ext { (a) } lim _{x ightarrow 2}left(2 x^{2}-3 x-5 ight) ; quad ext { (b) } lim _{x ightarrow 1} frac{3 x+2}{2 x-1}} { ext { (c) } lim _{x ightarrow -1}left(frac{x^{2}-4}{x+2}-1 ight) ;} & { ext { (d) } lim _{x ightarrow 2} frac{ x^{3}-8}{x-2}} { ext { (e) } lim _{x ightarrow a} frac{x^{4}-a^{4}}{xa } ;} & { ext { (f) } lim _{x ightarrow 0}left(frac{x}{x+1} ight)^{3}} { ext { (g ) } lim _{x ightarrow-1}left(frac{1}{x^{2}+1} ight)^{2}}end{배열}
]
( [ ext { 예제 솔루션: 찾기 } lim _{x ightarrow 1} frac{5 x^{2}-1}{2 x+3} .)
여기
[
f(x)=frac{5 x^{2}-1}{2 x+3} ; A=E^{1}-left{-frac{3}{2} ight} ; p=1 .
]
우리는 (f)가 (p,)에서 연속적임을 보여줍니다. 따라서 (추론 2())
[
f(x) = frac{5x^{2} - 1}{2x + 3} ; A = E^{1} - large{ - frac{3}{2} large} ; 피 = 1 .
]
우리는 (f)가 (p)에서 연속임을 보여줍니다. 따라서 (추론 2에 의해)
[
lim _{x ightarrow p} f(x)=f(p)=f(1)=frac{4}{5} .
]
공식 ((1),)를 사용하여 임의의 (varepsilon>0)을 수정하고 다음과 같은 (delta)를 찾습니다.
[
left(forall x in A cap G_{p}(delta) ight) quad ho(f(x), f(1))=|f(x)-f(1)|< varepsilon, ext { 즉, },left|frac{5 x^{2}-1}{2 x+3}-frac{4}{5} ight|]
또는 모든 것을 공통 분모 위에 놓고 절대 값의 속성을 사용하여
[
|x-1| frac{|25 x+17|}{5|2 x+3|}]
(보통 이러한 문제에서는 (x-p . )를 빼는 것이 바람직합니다.)
참고 (4,)에 의해 (0[
5|2 x+3| geq 15 ext { 및 }|25 x+17| leq 67 .
]
따라서 (6)은 다음과 같은 경우에 확실히 성립합니다.
[
|x-1| frac{67}{15}]
이를 달성하기 위해 (delta=min (1,15 varepsilon / 67) .) 를 선택합니다. 그런 다음 모든 단계를 역으로 수행하여 ((6),) 를 얻습니다. 따라서 (lim _{x 오른쪽화살표 1} f(x)=f(1)=4 / 5 . ])

운동 (PageIndex{9})

찾기(((3) )와 같은 정의 사용)
[
egin{array}{ll}{ ext { (a) } lim _{x ightarrow+infty} frac{1}{x} ;} & { ext { (b) } lim _{x ightarrow-infty} frac{3 x+2}{2 x-1}} ; { ext { (c) } lim _{x ightarrow+infty} frac{x^{3}}{1-x^{2}} ;} & { ext { (d) } lim _{x ightarrow 3^{+}} frac{x-1}{x-3}} ; { ext { (e) } lim _{x ightarrow 3^{-}} frac{x-1}{x-3} ;} & { ext { (f) } lim _{ x ightarrow 3}left|frac{x-1}{x-3} ight|} . end{배열}
]

운동 (PageIndex{10})

이면 증명
[
lim _{x ightarrow p} f(x)=overline{q} in E^{n}left(^{*} C^{n} ight) ,
]
그런 다음 각 스칼라 (c)에 대해
[
lim _{x ightarrow p} c f(x)=c overline{q} .
]

운동 (PageIndex{11})

(f : E^{1} ightarrow E^{1})를 다음과 같이 정의합니다.
[
f(x)=x cdot sin frac{1}{x} ext { if } x eq 0, ext { 및 } f(0)=0 .
]
(f)가 (p=0,)에서 연속임을 보여라. 즉,
[
lim _{x ightarrow 0} f(x)=f(0)=0 .
]
대략적인 그래프를 그립니다((y=pm x ) 선 사이에 포함됨).
(left[ ext { 힌트: }left|x cdot sin frac{1}{x}-0 ight| leq|x| . ight])

연습 (PageIndex{*12})

다음 진술에 대해 토론하십시오. (f)는 (p) iff에서 연속입니다.
[
left(forall G_{f(p)} ight)left(exists G_{p} ight) quad fleft[G_{p} ight] subseteq G_{f(p)} .
]

운동 (PageIndex{13})

(f : E^{1} ightarrow E^{1})를 다음과 같이 정의합니다.
[
f(x)=x ext { if } x ext { 가 유리하면 }
]

[
f(x)=0 ext { 그렇지 않으면 } .
]
(f)가 0에서 연속적이지만 다른 곳에서는 연속적이지 않음을 보여주십시오. 상대적 연속성은 어떻습니까?

운동 (PageIndex{14})

(A=(0,+infty) subset E^{1} .) (f : A ightarrow E^{1})를 다음과 같이 정의합니다.
[
f(x)=0 ext { if } x ext { 가 비합리적이면 }
]

[
f(x)=frac{1}{n} ext { if } x=frac{m}{n}( ext {최소 항에서 })
]
어떤 자연적인 (m) 및 (n .)에 대해 (f)는 각 무리수에서 연속적이지만 합리적이지 않은 점 (p in A .)
[힌트: (p)가 무리수이면 (varepsilon>0) 및 정수 (k>1 / varepsilon .)를 수정하십시오. (G_{p}(1),) 유한하게 많은 기약분수
[
frac{m}{n}>0 ext { } n leq k ,
]
그래서 그 중 하나를 (r,) 이라고 부르면 (p .) Put에 가장 가깝습니다.
[
delta=min (1,|r-p|)
]
그리고 그것을 보여
[
left(forall x in A cap G_{p}(delta) ight) quad|f(x)-f(p)|=f(x)]
(x)가 합리적이고 비합리적인 경우를 구별합니다.
(p)가 유리하면 각 (G_{p}(delta))에는 무리수 (x)가 포함된다는 사실을 사용하십시오.
[
f(x)=0 Longrightarrow|f(x)-f(p)|=f(p) .
]
(varepsilon

운동 (PageIndex{15})

두 개의 실수가 주어졌을 때 (p>0) 및 (q>0,)는 (f : E^{1} ightarrow E^{1})를 다음과 같이 정의합니다.
[
f(0)=0 ext { 그리고 } f(x)=left(frac{x}{p} ight) cdotleft[frac{q}{x} ight] ext { if } x eq 0 .
]
여기서 ([q / x])는 (q / x)의 정수 부분입니다.
(i) (f)는 0(?)에서 왼쪽 또는 오른쪽 연속입니다.
(ii) (f(x)=[x / p](q / x))와 같은 질문입니다.

운동 (PageIndex{16})

((S, ho)) 이 이산적이면 모든 함수 (f : S ightarrowleft(T, ho^{prime} ight)) 가 연속임을 증명하십시오. (left(T, ho^{prime} ight)) 는 이산적이지만 ((S, ho)) 는 그렇지 않다면 어떻게 될까요?


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4.1.E: 극한과 연속성에 관한 문제 - 수학

수학 비디오는 학생들이 편의를 위해 수학을 배울 수 있는 주요 소스입니다. 학생이 수학에 관한 특정 수업에 가려면 완전히 집중하고 수업에서 가르치는 내용을 메모해야 합니다. 그리고 학생은 수업 시간에 튜터가 설명하는 모든 것을 녹음할 수 없습니다. 학생은 몇 가지 중요한 요점만 메모할 것입니다. 학생이 몇 초 동안 집중하지 못할 때 튜터는 몇 가지 중요한 요점을 말할 수 있습니다. 그리고 학생은 교사에게 그것을 반복하도록 요청할 기회가 없을 수도 있습니다. 이러한 상황에서 학생이 수업에서 특정 사항에 대해 가르쳤거나 설명한 내용을 복습하려고 하면 혼란스러울 수 있습니다. 

학생이 특정 수업의 비디오 녹화를 가지고 있는 경우 해당 수업의 비디오를 다시 재생하고 요구 사항에 따라 수업의 모든 순간을 요약할 수 있습니다. 따라서 학생들이 모든 수업의 비디오를 가지고 있다면 언제든지 특정 수업의 비디오를 재생하고 원하는 것을 얻을 수 있습니다. 특정 주제에 대한 비디오를 갖는 것은 교사가 학생들과 함께 있는 것과 같습니다.

수학 비디오의 중요성에 대해 더 알기 위해 다음 사건을 생각해 봅시다.

“학기 초에 한 학생이 학교에서 공부하고 있습니다. 그 때, 학교의 선생님이 수학에 관한 몇 가지 주제를 가르치고 있습니다. 그는 그것을 메모합니다. 학년말에, 그 학생은 기말 시험을 준비하고 있습니다. 그는 준비할 때 학기 초에 배웠던 수학에서 많은 것을 잊어버립니다. 이제 그는 자신이 기억하지 못하는 것을 설명하기 위해 교사의 도움이 필요합니다. 그러나 교사가 학교에서 모든 의심을 해결하는 것은 약간 어렵습니다. 이러한 상황에서 학생의 부모는 학생이 실제로 기억하지 못하는 내용을 요약하도록 교사를 고용해야 할 수 있습니다. 튜터를 고용할 때 튜터에게 급여를 지급해야 하며, 튜터에게 지급되는 금액은 부모의 추가 비용입니다.

위의 사건을 보면 많은 학생들에게 그런 일이 일어나고 있음이 매우 분명합니다. 그리고 부모는 위에서 언급한 문제를 극복하기 위해 약간의 돈을 써야 할 수도 있습니다. 이를 방지하기 위해 학생들은 학습한 내용을 동영상으로 촬영할 수 있어야 합니다. 이 페이지에서는 더 나은 학습을 위해 수학에 대한 비디오를 제공합니다. 이 페이지에서 제공한 비디오는 최종적인 것이 아닙니다. 매일 우리는 수학의 다양한 주제에 대한 새로운 비디오를 업데이트합니다. 수학에 관한 새로운 비디오를 얻으려면 저희 웹사이트를 자주 방문하십시오.               

특정 주제의 비디오를 보려면 제공된 링크를 클릭하십시오.


솔루션의 연속성에 대한 질문

합리적인 기능과 조각별 기능을 강조하여 기능의 연속성에 대한 답변이 포함된 질문입니다. 함수의 연속성과 주어진 지점에서의 미분에 대해 논의합니다. 연속성에 대한 그래픽적 의미와 해석도 포함됩니다.

예 1: 다음의 각각의 함수가 불연속적인 x 값은 무엇입니까?

예제 1에 대한 솔루션
가) x = 0, 함수의 분모 f(x) 와 동등하다 0f(x) 정의되지 않았으며 제한이 없습니다. x = 0. 따라서 기능 f(x) 에서 불연속적이다 x = 0.
b) x = 2 기능의 분모 지(x) 는 0이고 기능 지(x) 에 정의되지 않음 x = 2 그리고 그것은 제한이 없습니다. 함수 지(x) 에서 연속적이지 않다 x = 2.
c) 기능의 분모 h(x) 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다. x 2 -1 = (x - 1)(x + 1). 함수가 정의되지 않고 제한이 없는 x = 1 및 x = -1 값의 경우 분모는 0과 같습니다. 함수 h x = 1 및 x = -1에서 불연속입니다.
디) 황갈색(x) 의 모든 값에 대해 정의되지 않음 엑스 그런 x = π/2 + k π , 여기서 k는 임의의 정수입니다(k = 0, -1, 1, -2, 2. ). 따라서 이러한 동일한 값에 대해 불연속적입니다. 엑스.
e) 기능의 분모 j(x) 에 대해 0과 같습니다. 엑스 그런 코스(x) - 1 = 0 또는 x = k (2 π), 어디 케이 는 임의의 정수이므로 이 함수는 정의되지 않았으므로 동일한 모든 값에 대해 불연속적입니다. 엑스.
f) 함수 k(x)는 2개의 연속 함수(분모 x 2 + 5가 0이 아님)의 비율로 정의되며, 다음의 모든 실수 값에 대해 정의됩니다. 엑스 따라서 불연속성이 없습니다.
지) l(x) = (x + 4)/(x + 4) = 1 . 따라서 x가 접근함에 따라 lim l(x) -4 = 1 = l(-4) . 함수 l(x)는 x의 모든 실수 값에 대해 연속적이므로 불연속점이 없습니다.

예 2: 찾기 그런 f(x) 아래 주어진 것은 연속입니까?

예 2에 대한 솔루션
x > -1의 경우 f(x) = 2 x 2 + b는 다항식 함수이므로 연속적입니다.
x < -1의 경우 f(x)= -x 3은 다항식 함수이므로 연속적입니다.
x = -1의 경우
f(-1) = 2(-1) 2 + b = 2 + b
왼쪽과 오른쪽 한계를 고려하자
-1의 왼쪽에서 제한

예 3: 찾기 둘 다 지(x) 아래에 주어진 1차 도함수는 연속적입니까?

예 3에 대한 솔루션
기능의 연속성 g
x > 2의 경우 g(x) = a x 2 + b는 다항식 함수이므로 연속적입니다.
x < 2의 경우, g(x) = -2 x + 2는 다항식 함수이므로 연속적입니다.
허락하다

함수 g(x)는 아래에 그래프로 표시되어 있으며 함수와 그 도함수(기울기)가 x = 2에서 연속적임이 분명합니다.

4.2 한계와 연속성

우리는 이제 둘 이상의 변수의 기능을 조사하고 그것들을 그래프로 그리는 방법을 보았습니다. 이 섹션에서 우리는 하나 이상의 변수의 함수의 극한을 취하는 방법과 둘 이상의 변수의 함수가 도메인의 한 지점에서 연속적이라는 것이 무엇을 의미하는지 봅니다. 이러한 개념에는 한 변수의 기능에서는 발생하지 않는 측면이 있습니다.

두 변수의 함수의 극한

함수의 한계에서 한 변수의 함수 한계 정의를 상기하십시오.

두 변수의 함수 한계를 정의하기 위해 이 정의를 적용하기 전에 먼저 한 변수의 열린 구간 개념을 두 변수의 열린 구간으로 확장하는 방법을 알아야 합니다.

정의

다음 그래프와 같이.

하나 이상의 차원에서 δ δ 디스크를 사용합니다.

정의

두 변수의 함수 극한 정의를 사용하여 극한이 존재한다는 것을 증명하는 것은 어려울 수 있습니다. 대신에 극한을 찾는 지름길을 제공하는 다음 정리를 사용합니다. 이 정리의 공식은 극한 법칙의 극한 법칙 정리의 공식을 확장한 것입니다.

두 변수의 함수에 대한 극한 법칙

상수 법칙:

신분법:

차이 법칙:

상수 다중 법칙:

제품법:

몫 법칙:

임의의 양의 정수 n에 대해 n .

이러한 속성의 증명은 한 변수의 기능 극한에 대한 증명과 유사합니다. 우리는 다양한 기능의 한계를 찾는 데 이러한 법칙을 적용할 수 있습니다.

예 4.8

두 변수의 함수 극한 찾기

다음 각 제한을 찾으십시오.

해결책

다음 한계를 평가하십시오.

예 4.9

존재하지 않는 한계

다음 제한 중 어느 것도 존재하지 않음을 보여줍니다.

해결책

  1. 함수 f ( x , y ) = 2 xy 3 x 2 + y 2 f ( x , y ) = 2 xy 3 x 2 + y 2 의 정의역은 다음을 제외한 xy 평면의 모든 점으로 구성됩니다. 점 ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) (그림 4.16). ( x , y ) ( x , y ) 가 ( 0 , 0 ) , ( 0 , 0 ) 에 접근할 때 극한이 존재하지 않는다는 것을 보여주기 위해 2의 함수 극한 정의를 만족시키는 것은 불가능하다는 점에 주목합니다. 함수는 점(0, 0)을 통과하는 다른 라인을 따라 다른 값을 취하기 때문에 변수입니다. ( 0 , 0 ) . 먼저 x y 평면에서 y = 0 y = 0 선을 고려하십시오. x y -평면. y = 0 y = 0을 f ( x , y ) f ( x , y ) 에 대입하면

내부 점 및 경계 점

두 개 이상의 변수에 대한 함수의 연속성과 미분성을 연구하려면 먼저 몇 가지 새로운 용어를 배워야 합니다.

정의

정의

정의

정의

예 4.10

경계점에서의 함수의 극한

lim ( x , y ) → ( 4 , 3 ) 25 − x 2 − y 2 = 0 을 증명합니다. lim ( x , y ) → ( 4 , 3 ) 25 − x 2 − y 2 = 0 .

해결책

도메인 경계와 내부 점의 한계에 적용되는 극한 법칙을 사용할 수 있습니다.

다음 한계를 평가하십시오.

두 변수의 함수 연속성

연속성에서 우리는 한 변수의 함수의 연속성을 정의하고 그것이 한 변수의 함수의 한계에 어떻게 의존하는지 보았습니다. 특히, f ( x ) f ( x ) 가 점 x = a : x = a 에서 연속하기 위해서는 세 가지 조건이 필요합니다.

이 세 가지 조건은 두 변수의 기능 연속성을 위해서도 필요합니다.

정의

예 4.11

두 변수의 함수에 대한 연속성 입증하기

함수 f ( x , y ) = 3 x + 2 y x + y + 1 f ( x , y ) = 3 x + 2 y x + y + 1 이 점 (5, −3)에서 연속임을 보여줍니다. ( 5 , -3 ) .

해결책

연속성의 정의에 따라 세 가지 조건이 충족되어야 합니다. 이 예에서 a = 5 a = 5 및 b = −3 입니다. b = -3 .

함수 f ( x , y ) = 26 − 2 x 2 − y 2 f ( x , y ) = 26 − 2 x 2 − y 2 가 점 (2, −3)에서 연속임을 보여줍니다. ( 2 , -3 ) .

연속 함수의 합은 연속입니다.

연속 함수의 곱은 연속입니다.

연속 함수의 구성은 연속적입니다.

이제 이전 정리를 사용하여 다음 예제에서 기능의 연속성을 보여 보겠습니다.

예 4.12

두 변수의 함수 연속성의 추가 예

해결책

세 개 이상의 변수의 기능

정의

예 4.13

세 변수의 함수의 극한 찾기

lim ( x , y , z ) → ( 4 , 1 , −3 ) x 2 y − 3 z 2 x + 5 y − z 를 구합니다. lim ( x , y , z ) → ( 4 , 1 , −3 ) x 2 y − 3 z 2 x + 5 y − z .

해결책

몫 법칙을 적용하기 전에 분모의 극한이 0이 아닌지 확인해야 합니다. 미분법칙, 항등법칙, 불변법칙을 이용하여

이것은 0이 아니므로 다음으로 분자의 극한을 찾습니다. 곱의 법칙, 미분법, 상수다수법칙, 항등법칙을 이용하여

마지막으로 몫 법칙을 적용하면:

lim ( x , y , z ) → ( 4 , −1 , 3 ) 13 − x 2 − 2 y 2 + z 2 를 구합니다. lim ( x , y , z ) → ( 4 , −1 , 3 ) 13 − x 2 − 2 y 2 + z 2 .

섹션 4.2 연습

다음 연습에서 함수의 극한을 찾으십시오.

lim ( x , y ) → ( 1 , 2 ) 5 x 2 y x 2 + y 2 lim ( x , y ) → ( 1 , 2 ) 5 x 2 y x 2 + y 2

다음 연습에서는 표시된 x 및 y 값에서 극한을 평가합니다. x 및 y . 한계가 존재하지 않는 경우, 이것을 기술하고 한계가 존재하지 않는 이유를 설명하십시오.

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) 4 x 2 + 10 y 2 + 4 4 x 2 − 10 y 2 + 6 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) 4 x 2 + 10 y 2 + 4 4 x 2 − 10 y 2 + 6

lim ( x , y ) → ( 11 , 13 ) 1 x y lim ( x , y ) → ( 11 , 13 ) 1 x y

lim ( x , y ) → ( 0 , 1 ) y 2 sin x x lim ( x , y ) → ( 0 , 1 ) y 2 sin x x

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) sin ( x 8 + y 7 x − y + 10 ) lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) sin ( x 8 + y 7 x − y + 10 )

lim ( x , y ) → ( π / 4 , 1 ) y tan x y + 1 lim ( x , y ) → ( π / 4 , 1 ) y tan x y + 1

lim ( x , y ) → ( 0 , π / 4 ) 초 x + 2 3 x − tan y lim ( x , y ) → ( 0 , π / 4 ) 초 x + 2 3 x − tan y

lim ( x , y ) → ( 2 , 5 ) ( 1 x − 5 y ) lim ( x , y ) → ( 2 , 5 ) ( 1 x − 5 y )

lim ( x , y ) → ( 4 , 4 ) x ln y lim ( x , y ) → ( 4 , 4 ) x ln y

lim ( x , y ) → ( 4 , 4 ) e − x 2 − y 2 lim ( x , y ) → ( 4 , 4 ) e − x 2 − y 2

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) 9 − x 2 − y 2 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) 9 − x 2 − y 2

lim ( x , y ) → ( 1 , 2 ) ( x 2 y 3 − x 3 y 2 + 3 x + 2 y ) lim ( x , y ) → ( 1 , 2 ) ( x 2 y 3 − x 3 y ) 2 + 3 x + 2 )

lim ( x , y ) → ( π , π ) x sin ( x + y 4 ) lim ( x , y ) → ( π , π ) x sin ( x + y 4 )

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y + 1 x 2 + y 2 + 1 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y + 1 x 2 + y 2 + 1

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 − 1 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 - 1

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ln ( x 2 + y 2 ) lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ln ( x 2 + y 2 )

다음 연습에서는 문장을 완성하세요.

다음 연습에서는 대수적 기법을 사용하여 극한을 평가하십시오.

lim ( x , y ) → ( 2 , 1 ) x − y − 1 x − y − 1 lim ( x , y ) → ( 2 , 1 ) x − y − 1 x − y − 1

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 4 − 4 y 4 x 2 + 2 y 2 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 4 − 4 y 4 x 2 + 2 y 2

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 3 − y 3 x − y lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 3 − y 3 x − y

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 − x y x − y lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 − x y x − y

다음 연습에서는 세 변수의 함수 극한을 평가합니다.

lim ( x , y , z ) → ( 1 , 2 , 3 ) x z 2 − y 2 z x y z − 1 lim ( x , y , z ) → ( 1 , 2 , 3 ) x z 2 − y 2 z x 1y z

lim ( x , y , z ) → ( 0 , 0 , 0 ) x 2 − y 2 − z 2 x 2 + y 2 − z 2 lim ( x , y , z ) → ( 0 , 0 , 0 ) x 2 − y 2 − z 2 x 2 + y 2 − z 2

다음 연습에서는 표시된 경로를 따라 함수가 접근하는 값을 결정하여 함수의 극한을 평가합니다. 한계가 존재하지 않는 경우 그 이유를 설명하십시오.

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y + y 3 x 2 + y 2 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y + y 3 x 2 + y 2

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 y x 4 + y 2 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 y x 4 + y 2

다음 기능의 연속성에 대해 토론하십시오. 다음 함수가 연속되는 x y -평면 x y -평면에서 가장 큰 영역을 찾습니다.

다음 연습에서는 함수가 연속적인 영역을 확인합니다. 당신의 대답을 설명하십시오.

(힌트: 함수가 두 개의 다른 경로를 따라 다른 값에 접근함을 보여줍니다.)

f ( x , y ) = 죄 ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 f ( x , y ) = 죄 ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2

g ( x , y ) = x 2 − y 2 x 2 + y 2 g ( x , y ) = x 2 − y 2 x 2 + y 2 가 (0, 0)에서 연속인지 확인합니다. ( 0 , 0 ) .

한계가 존재하지 않는 위치를 결정하기 위해 그래프 소프트웨어를 사용하여 플롯을 생성합니다. f ( x , y ) = 1 x 2 − y f ( x , y ) = 1 x 2 − y 가 연속적인 좌표 평면의 영역을 결정합니다.

공간의 어떤 점에서 g ( x , y , z ) = x 2 + y 2 − 2 z 2 g ( x , y , z ) = x 2 + y 2 − 2 z 2 연속입니까?

공간의 어떤 점에서 g ( x , y , z ) = 1 x 2 + z 2 − 1 g ( x , y , z ) = 1 x 2 + z 2 − 1 연속입니까?

극좌표를 사용하여 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) sin x 2 + y 2 x 2 + y 2 를 구합니다. lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) sin x 2 + y 2 x 2 + y 2 . L' Hôpital의 법칙을 사용하여 극한을 찾을 수도 있습니다.

극좌표를 사용하여 lim(x,y)→(0,0)cos(x2+y2)를 구합니다. lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) cos ( x 2 + y 2 ) .

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    • 저자: 길버트 스트랭, 에드윈 "제드" 허먼
    • 게시자/웹사이트: OpenStax
    • 책 제목: 미적분 3권
    • 발행일: 2016년 3월 30일
    • 위치: 휴스턴, 텍사스
    • 책 URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-introduction
    • 섹션 URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/4-2-limits-and-continuity

    © 2020년 12월 21일 OpenStax. OpenStax에서 제작한 교과서 콘텐츠는 Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 라이선스에 따라 라이선스가 부여됩니다. OpenStax 이름, OpenStax 로고, OpenStax 책 표지, OpenStax CNX 이름 및 OpenStax CNX 로고는 Creative Commons 라이선스의 적용을 받지 않으며 Rice University의 명시적인 사전 서면 동의 없이 복제할 수 없습니다.


    JEE 주요 수학 한계, 연속성, 미분성 및 미분


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    제한이 존재하지 않는 경우를 확인하는 방법

    제한은 일반적으로 다음 네 가지 이유 중 하나로 인해 존재하지 않습니다.

    1. 단측 극한이 같지 않음
    2. 함수가 유한한 값에 접근하지 않습니다(한계의 기본 정의 참조).
    3. 함수가 특정 값(진동)에 접근하지 않습니다.
    4. $x$ - 값이 닫힌 간격의 끝점에 접근하고 있습니다.

    예 1: 단측 극한이 같지 않음

    $displaystylelimlimits_ 이유를 이해하려면 아래 그래프를 사용하십시오. f(x)$가 존재하지 않습니다.

    $f(x)$는 두 가지 다른 값에 접근합니다.

    . $x$가 접근하는 방향에 따라.

    그래프에서 $displaystylelim_ f(x) 약 2$ 및 $displaystylelim_ f(x) 약 3$

    그래프를 통해 단측 한계를 근사화할 수 있을 뿐이지만 $f(x)$ 값이 접근하는 값은 $x$가 오는 방향에 따라 달라집니다. 따라서 한계가 존재하지 않습니다.

    예 2: 무한히 큰 값

    $displaystylelimlimits_ 이유를 이해하려면 아래 그래프를 사용하십시오. f(x)$가 존재하지 않습니다.

    한계가 존재하려면 함수가 특정 값에 접근해야 합니다. 위의 경우 함수의 화살표는 함수가 무한히 커짐을 나타냅니다. 함수가 특정 값에 접근하지 않기 때문에 한계가 존재하지 않습니다.

    예 3: 무한 진동

    $displaystylelimlimits_란? sin(frac 1 x)$ ?

    $x$가 0에 가까워짐에 따라 $f(x) = sinleft(frac 1 x ight)$를 조사하면 흥미로운 일이 발생합니다. 함수는 점점 더 빠르게 진동하기 시작합니다.

    $x$가 0에 가까울수록 함수는 1과 -1 사이에서 더 빠르게 진동합니다. $f(x)$가 단일, 특정 값? 아니요, 그렇지 않습니다. 따라서 한계가 존재하지 않습니다.

    예 4: 간격의 끝점

    $limlimits_ 조사 제곱미터 x$

    아래의 $f(x) = sqrt x$의 그래프를 고려하십시오. $x$가 0에 접근할 때 제한을 어떻게 결정합니까?

    이 함수는 0의 오른쪽에 있는 $x$-value에 대해서만 정의되어 있으므로 $x$가 왼쪽에서 접근하도록 할 수 없습니다.

    극한이 존재한다고 말하려면 함수가 같은 값에 접근해야 합니다. 상관없이 $x$는 어느 방향에서 왔는지 (우리는 이것을 방향 독립성이라고 했습니다). $x$가 0에 접근함에 따라 이 함수에 대해서는 사실이 아니므로 제한이 존재하지 않습니다.


    2.4 연속성

    많은 함수에는 페이지에서 연필을 떼지 않고도 연필로 그래프를 추적할 수 있는 속성이 있습니다. 이러한 기능을 호출 마디 없는. 다른 함수에는 그래프에서 중단이 발생하는 지점이 있지만 해당 영역에 포함된 간격에 대해 이 속성을 충족합니다. 그들은 이 간격에서 연속적이며 다음을 갖는다고 합니다. 점에서의 불연속성 휴식이 발생하는 곳.

    우리는 기능이 갖는 의미를 탐구함으로써 연속성에 대한 조사를 시작합니다. 점에서의 연속성. 직관적으로 함수는 특정 지점에서 그래프에 중단이 없는 경우 특정 지점에서 연속적입니다.

    점에서의 연속성

    함수가 한 점에서 연속적이라는 것이 무엇을 의미하는지에 대한 공식적인 정의를 살펴보기 전에, 한 점에서 연속적이라는 것이 의미하는 바에 대한 직관적인 개념을 충족하지 못하는 다양한 함수를 살펴보겠습니다. 그런 다음 이러한 실패를 방지하는 조건 목록을 만듭니다.

    그러나 그림 2.34에서 볼 수 있듯이 이 두 가지 조건만으로는 한 지점에서 연속성을 보장하지 않습니다. 이 그림의 함수는 처음 두 조건을 모두 충족하지만 여전히 연속적이지는 않습니다. . 목록에 세 번째 조건을 추가해야 합니다.

    이제 우리는 조건 목록을 조합하고 한 지점에서 연속성의 정의를 형성합니다.

    정의

    함수는 한 점에서 불연속적이다. 에서 연속적이지 못한 경우 .

    다음 절차는 이 정의를 사용하여 한 지점에서 함수의 연속성을 분석하는 데 사용할 수 있습니다.

    문제 해결 전략

    문제 해결 전략: 한 지점에서 연속성 결정

    다음 세 가지 예는 이 정의를 적용하여 주어진 지점에서 함수가 연속적인지 여부를 결정하는 방법을 보여줍니다. 이러한 예는 정의의 연속성을 위한 각 조건이 성공하거나 실패하는 상황을 보여줍니다.

    예 2.26

    점에서 연속성 결정, 조건 1

    정의를 사용하여 함수 f ( x ) = ( x 2 − 4 ) / ( x − 2 ) f ( x ) = ( x 2 − 4 ) / ( x − 2 ) 가 x = 2 에서 연속인지 확인합니다. x = 2 . 결론을 정당화하십시오.


    비디오 보기: ფუნქციის უწყვეტობა კონკრეტულ x მნიშვნელობებზე (팔월 2022).