조항

2.4: 복소수 - 수학

2.4: 복소수 - 수학



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학습 목표

  • 복소수를 더하고 뺍니다.
  • 복소수를 곱하고 나눕니다.
  • 복소수로 이차 방정식 풀기

1980년경 Benoit Mandelbrot에 의해 발견된 Mandelbrot 집합은 가장 잘 알려진 프랙탈 이미지 중 하나입니다. 이미지는 자기 유사성 이론과 반복 작업을 기반으로 합니다. 프랙탈 이미지를 확대하면 특히 배율이 증가함에 따라 나타나는 높은 수준의 세부 사항 반복에서 많은 놀라움을 선사합니다. 이 이미지를 생성하는 방정식은 다소 간단합니다.

더 잘 이해하려면 새로운 숫자 집합에 익숙해져야 합니다. 수학 연구는 계속해서 자체적으로 발전한다는 사실을 명심하십시오. 예를 들어, 음의 정수는 양의 정수 집합이 남긴 공백을 채웁니다. 유리수 집합은 차례로 정수 집합이 남긴 공백을 채웁니다. 실수 집합은 유리수 집합이 남긴 공백을 채웁니다. 당연히 실수 집합에도 공백이 있습니다. 이 섹션에서는 실수 집합의 공백을 채우는 숫자 집합을 탐색하고 그 안에서 작업하는 방법을 알아봅니다.

음수의 제곱근을 (i)의 배수로 표현하기

우리는 양의 실수의 제곱근을 찾는 방법을 알고 있습니다. 비슷한 방식으로 음수의 제곱근을 찾을 수 있습니다. 차이점은 루트가 실제가 아니라는 것입니다. 기수 값이 음수이면 근을 허수라고 합니다. 허수 (i)는 (−1)의 제곱근으로 정의됩니다.

[제곱{-1}=i]

따라서 라디칼의 성질을 이용하여,

[i^2=(sqrt{-1})^2=-1]

음수의 제곱근을 (i)의 배수로 쓸 수 있습니다. (−49)의 제곱근을 고려하십시오.

[egin{align*} sqrt{-49}&= sqrt{49 imes(-1)}[4pt] &= sqrt{49}sqrt{-1}[4pt] &= 7i end{정렬*}]

(49)의 주근이 양의 근이기 때문에 (−7i)가 아니라 (7i)를 사용합니다.

복소수는 실수와 허수의 합입니다. 복소수는 (a+bi)로 표기할 때 표준 형식으로 표현됩니다. 여기서 (a)는 실수부이고 (b)는 허수부입니다. 예를 들어 (5+2i)는 복소수입니다. 따라서 (3+4isqrt{3})도 마찬가지입니다.

허수는 제곱된 허수가 음의 실수를 생성한다는 점에서 실수와 다릅니다. 양의 실수를 제곱하면 결과는 양의 실수이고 음의 실수를 제곱하면 결과도 양의 실수임을 기억하십시오. 복소수는 실수와 허수로 구성됩니다.

정의: 허수와 복소수

복소수 (a+bi) 형식의 숫자입니다. 여기서

  1. (a)는 복소수의 실수부입니다.
  2. (b)는 복소수의 허수부입니다.

(b=0)이면 (a+bi)는 실수입니다. (a=0) 및 (b)가 (0)과 같지 않으면 복소수를 순수 허수라고 합니다. 안 허수 음수의 짝수 근입니다.

방법: 허수가 주어졌을 때 복소수의 표준형으로 표현

  1. (sqrt{-a})를 (sqrt{a}sqrt{-1})로 씁니다.
  2. (sqrt{-1})를 (i)로 표현합니다.
  3. 가장 간단한 형태로 (sqrt{a} imes i)를 쓰십시오.

예 (PageIndex{1}): 표준 형식으로 허수 표현하기

(sqrt{-9})를 표준 형식으로 표현합니다.

해결책

[egin{align*} sqrt{-9}&= sqrt{9}sqrt{-1)}[4pt] &= 3i[4pt] end{align*}]

표준 형식에서는 (0+3i)입니다.

운동 (PageIndex{1})

(sqrt{-24})를 표준 형식으로 표현합니다.

대답

(sqrt{-24}=0+2isqrt{6})

복소수 평면에 복소수 그리기

우리는 실수처럼 복소수를 숫자 라인에 그릴 수 없습니다. 그러나 여전히 그래픽으로 나타낼 수 있습니다. 복소수를 나타내려면 숫자의 두 가지 구성 요소를 처리해야 합니다. 우리는 사용 복잡한 평면는 가로축이 실수 성분을 나타내고 세로축이 허수 성분을 나타내는 좌표계입니다. 복소수는 평면상의 점으로, 순서쌍 ((a,b))으로 표현되며, 여기서 (a)는 수평축의 좌표를 나타내고 (b)는 수직축의 좌표를 나타냅니다.

숫자 (−2+3i)를 생각해 봅시다. 복소수의 실수부는 (−2)이고 허수부는 (3)입니다. 그림 (PageIndex{2})과 같이 복소수 (−2+3i)를 나타내기 위해 순서쌍 ((−2,3))을 플로팅합니다.

복잡한 평면

복소 평면에서 가로축은 실수축이고 세로축은 허수축입니다. 그림 (PageIndex{3})와 같습니다.

방법: 복소수가 주어졌을 때 복소수 평면에 해당 구성 요소를 나타냅니다.

  1. 복소수의 실수부와 허수부를 결정하십시오.
  2. 가로 축을 따라 이동하여 숫자의 실수 부분을 표시합니다.
  3. 수직축에 평행하게 이동하여 숫자의 허수부를 표시합니다.
  4. 점을 플로팅합니다.

예 (PageIndex{2}): 복소수 평면에 복소수 그리기

복소 평면에 복소수 (3−4i)를 플로팅합니다.

해결책

복소수의 실수부는 (3)이고 허수부는 (-4)입니다. 그림 (PageIndex{4})와 같이 순서쌍 ((3,−4))을 플로팅합니다.

운동 (PageIndex{2})

복소 평면에 복소수 (−4−i)를 플로팅합니다.

대답

복소수 더하기 및 빼기

실수와 마찬가지로 복소수에 대한 산술 연산을 수행할 수 있습니다. 복소수를 더하거나 빼기 위해 실수 부분을 결합한 다음 허수 부분을 결합합니다.

복소수: 더하기와 빼기

복소수 더하기:

[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]

복소수 빼기:

[(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i]

방법: 두 개의 복소수가 주어졌을 때 합 또는 차를 구합니다.

  1. 각 숫자의 실수부와 허수부를 식별하십시오.
  2. 실수 부분을 더하거나 뺍니다.
  3. 허수 부분을 더하거나 뺍니다.

예 (PageIndex{3}): 복소수 더하기 및 빼기

표시된 대로 더하거나 빼십시오.

  1. ((3−4i)+(2+5i))
  2. ((−5+7i)−(−11+2i))

해결책

  1. [egin{정렬*} (3-4i)+(2+5i)&= 3-4i+2+5i[4pt] &= 3+2+(-4i)+5i[4pt] &= (3+2)+(-4+5)i[4pt] &= 5+i end{align*}]
  2. [egin{정렬*} (-5+7i)-(-11+2i)&= -5+7i+11-2i[4pt] &= -5+11+7i-2i[4pt ] &= (-5+11)+(7-2)i[4pt] &= 6+5i end{정렬*}]

운동 (PageIndex{3})

(3–4i)에서 (2+5i)를 뺍니다.

대답

((3−4i)−(2+5i)=1−9i)

복소수 곱하기

복소수를 곱하는 것은 이항식을 곱하는 것과 비슷합니다. 가장 큰 차이점은 실제 부분과 허수 부분을 별도로 작업한다는 것입니다.

복소수에 실수 곱하기

복소수에 실수를 곱하는 것으로 시작하겠습니다. 우리는 이항과 마찬가지로 실수를 배포합니다. 예를 들어 (3(6+2i)) 를 고려하십시오.

방법: 복소수와 실수가 주어졌을 때 곱하여 곱하기

  1. 분배 속성을 사용하십시오.
  2. 단순화.

예 (PageIndex{4}): 복소수에 실수 곱하기

제품 찾기 (4(2+5i)).

해결책

(4)를 배포합니다.

[egin{align*} 4(2+5i)&= (4cdot 2)+(4cdot 5i)[4pt] &= 8+20i end{align*}]

운동 (PageIndex{4})

제품 찾기: (dfrac{1}{2}(5−2i)).

대답

(dfrac{5}{2}-i)

복소수 곱하기

이제 두 개의 복소수를 곱해 보겠습니다. 우리는 이항식을 다루기 때문에 분배 속성 또는 보다 구체적으로 FOIL 방법을 사용할 수 있습니다. FOIL은 First, Inner, Outer 및 Last 용어를 함께 곱하는 약어입니다. 복소수와의 차이점은 제곱 항 (i^2)을 얻을 때 (-1)와 같습니다.

[egin{align*} (a+bi)(c+di)&= ac+adi+bci+bdi^2[4pt] &= ac+adi+bci-bd(-1)qquad i ^2 = -1[4pt] &= ac+adi+bci-bd[4pt] &= (ac-bd)+(ad+bc)i end{align*}]

실수 항과 허수 항을 그룹화합니다.

방법: 두 개의 복소수가 주어졌을 때 곱하여 곱을 찾습니다.

  1. 분배 속성 또는 FOIL 방법을 사용하십시오.
  2. (i^2=-1)을 기억하십시오.
  3. 실제 항과 허수 항을 함께 그룹화

예 (PageIndex{5}): 복소수에 복소수 곱하기

((4+3i)(2−5i))를 곱합니다.

해결책

[egin{정렬*} (4+3i)(2-5i)&= 4(2)-4(5i)+3i(2)-(3i)(5i)[4pt] &= 8- 20i+6i-15(i^2)[4pt] &= (8+15)+(-20+6)i[4pt] &= 23-14i end{align*}]

운동 (PageIndex{5})

곱하기: ((3−4i)(2+3i)).

대답

(18+i)

복소수 나누기

두 개의 복소수를 나누는 것은 허수로 나눌 수 없기 때문에 더하기, 빼기 또는 곱하기보다 더 복잡합니다. 분자와 분모를 곱하여 분모의 허수 부분을 제거하여 실수가 분모가 되도록 하는 항을 찾아야 합니다. 이 항을 분모의 켤레 복소수라고 하며, 이는 복소수의 허수부의 부호를 변경하여 구합니다. 즉, (a+bi)의 켤레 복소수는 (a−bi)입니다. 예를 들어, (a+bi)와 (a−bi)의 곱은 다음과 같습니다.

[egin{align*} (a+bi)(a-bi)&= a^2-abi+abi-b^2i^2[4pt] &= a^2+b^2 end{ 정렬*}]

결과는 실수입니다.

복소 켤레는 반대 관계가 있음을 유의하십시오. (a+bi)의 복소 켤레는 (a−bi)이고 (a−bi)의 복소 켤레는 (a+bi)입니다. 또한 실수 계수가 있는 이차 방정식이 복소수 해를 가질 때 해는 항상 서로의 켤레 복소수입니다.

(c+di)를 (a+bi)로 나누고 싶다고 가정합니다. 여기서 (a)도 (b)도 0이 아닙니다. 먼저 나눗셈을 분수로 쓰고 분모의 켤레 복소수를 찾아 곱합니다.

(dfrac{c+di}{a+bi}) 여기서 (a≠0) 및 (b≠0)

분자와 분모에 분모의 켤레 복소수를 곱합니다.

[egin{align*} dfrac{(c+di)}{(a+bi)}cdot dfrac{(a-bi)}{(a-bi)}&= dfrac{(c+ di)(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)}[4pt] &= dfrac{ca-cbi+adi-bdi^2}{a^2-abi+abi-b ^2i^2} qquad ext{분배 속성 적용}[4pt] &= dfrac{ca-cbi+adi-bd(-1)}{a^2-abi+abi-b^2( -1)} qquad ext{단순화, } i^2=-1[4pt] &= dfrac{(ca+bd)+(ad-cb)i}{a^2+b^ 2} end{정렬*}]

정의: 복합 접합체

복소수 (a+bi)의 켤레 복소수는 (a−bi)입니다. 복소수의 허수부의 부호를 바꾸어 구합니다. 숫자의 실수 부분은 변경되지 않습니다.

  1. 복소수에 복소수 켤레를 곱하면 결과는 실수입니다.
  2. 복소수를 켤레 복소수에 더하면 결과는 실수입니다.

예 (PageIndex{6}): 복소수 켤레 찾기

각 숫자의 켤레 복소수를 찾으십시오.

  1. (2+isqrt{5})
  2. (-dfrac{1}{2}i)

해결책

  1. 번호는 이미 (a+bi) 형식입니다. 켤레 복소수는 (a−bi) 또는 (2−isqrt{5})입니다.
  2. (a+bi) 형식으로 이 숫자를 (0−dfrac{1}{2}i)로 다시 쓸 수 있습니다. 복소수 켤레는 (a−bi) 또는 (0+dfrac{1}{2}i)입니다. 이것은 간단히 (dfrac{1}{2}i)로 쓸 수 있습니다.

분석

우리가 허수의 켤레 복소수를 찾을 수 있다는 것을 보았지만 실제로는 일반적으로 실수 성분과 허수 성분이 모두 있는 복소수의 켤레 복소수를 찾습니다. 허수에서 실수를 얻으려면 단순히 (i)를 곱하면 됩니다.

운동 (PageIndex{6})

(−3+4i)의 복소수 켤레를 구합니다.

대답

(−3−4i)

방법: 두 개의 복소수가 주어졌을 때 하나씩 나누기

  1. 나눗셈 문제를 분수로 쓰십시오.
  2. 분모의 복소수 켤레를 결정합니다.
  3. 분수의 분자와 분모에 분모의 켤레 복소수를 곱합니다.
  4. 단순화.

예 (PageIndex{7}): 복소수 나누기

((2+5i))를 ((4−i))로 나눕니다.

해결책

우리는 문제를 분수로 쓰는 것으로 시작합니다.

[dfrac{(2+5i)}{(4−i)} onumber ]

그런 다음 분자와 분모에 분모의 켤레 복소수를 곱합니다.

[dfrac{(2+5i)}{(4−i)}⋅dfrac{(4+i)}{(4+i)} onumber ]

두 개의 복소수를 곱하기 위해 다항식(FOIL 사용)과 마찬가지로 곱을 확장합니다.

[egin{align*} dfrac{(2+5i)}{(4-i)}cdot dfrac{(4+i)}{(4+i)}&= dfrac{8+2i +20i+5i^2}{16+4i-4i-i^2}[4pt] &= dfrac{8+2i+20i+5(-1)}{16+4i-4i-(-1 )}; i^2=-1 [4pt] &= dfrac{3+22i}{17}[4pt] &= dfrac{3}{17}+dfrac{22}{17i} end{ 정렬*}]

실제 부분과 허수 부분을 분리합니다.

이것은 몫을 표준 형식으로 나타냅니다.

(i)의 거듭제곱을 단순화하기

(i)의 거듭제곱은 순환적입니다. (i)를 거듭제곱으로 올릴 때 어떤 일이 일어나는지 봅시다.

[i^1=i onumber ] [i^2=-1 onumber ] [i^3=i^2⋅i=-1⋅i=-i onumber ] [i^ 4=i^3⋅i=-i⋅i=-i^2=-(-1)=1 onumber ] [i^5=i^4⋅i=1⋅i=i onumber ]

우리는 i의 5제곱에 도달하면 1제곱과 같다는 것을 알 수 있습니다. 거듭제곱을 증가시켜 계속해서 (i)를 곱하면 4의 주기가 표시됩니다. (i)의 다음 4 거듭제곱을 살펴보겠습니다.

[i^6=i^5⋅i=i⋅i=i^2=-1 onumber ] [i^7=i^6⋅i=i^2⋅i=i^3=-i onumber ] [i^8=i^7⋅i=i^3⋅i=i^4=1 onumber ] [i^9=i^8⋅i=i^4⋅i=i ^5=i 숫자 없음 ]

4승마다 (i,−1,−i,1,) 주기가 계속 반복됩니다.

예 (PageIndex{8}): (i)의 거듭제곱 단순화

평가: (i^{35}).

해결책

(i^4=1)이므로 가능한 많은 (i^4) 인수를 제거하여 문제를 단순화할 수 있습니다. 그렇게 하려면 먼저 (4)가 (35: 35=4⋅8+3)에 들어가는 횟수를 결정하십시오.

[i^{35}=i^{4⋅8+3}=i^{4⋅8}⋅i^3={(i^4)}^8⋅i^3=i^8⋅i^ 3=i^3=−i 숫자 없음 ]

운동 (PageIndex{7})

평가: (i^{18})

대답

(−1)

Q&A

다른 유용한 방법으로 (i^{35})를 쓸 수 있습니까?

예제 (PageIndex{8})에서 보았듯이 지수를 (4)로 나누고 나머지를 사용하여 (i^{35})를 (i^3)로 줄였습니다. 단순화 된 형태. 그러나 (i^{35}) 의 또 다른 인수분해가 더 유용할 수 있습니다. (PageIndex{1}) 테이블은 다른 가능한 인수분해를 보여줍니다.

테이블 (PageIndex{1})
(i^{35})의 인수분해(i^{34}⋅i)(i^{33}⋅i^2)(i^{31}⋅i^4)(i^{19}⋅i^{16})
축소된 형태({(i^2)}^{17}⋅i)(i^{33}⋅(−1))(i^{31}⋅1)(i^{19}⋅{(i^4)}^4)
단순화된 형태({(−1)}^{17}⋅i)(−i^{33})(i^{31})(i^{19})

이들 각각은 결국 위에서 얻은 답변으로 이어지지만 이전 방법보다 몇 단계가 더 필요할 수 있습니다.

미디어

복소수에 대한 추가 지침 및 연습을 위해 이 온라인 리소스에 액세스하십시오.

  1. 복소수 더하기 및 빼기
  2. 복소수 곱하기
  3. 복잡한 켤레 곱하기
  4. i를 거듭제곱으로 키우기

주요 컨셉

  • 음수의 제곱근은 (i)의 배수로 쓸 수 있습니다. 예를 참조하십시오.
  • 복소수를 표시하기 위해 두 개의 숫자 선을 사용하여 교차하여 복소수 평면을 형성합니다. 가로축은 실수축이고 세로축은 허수축입니다. 예를 참조하십시오.
  • 복소수는 실수 부분을 결합하고 허수 부분을 결합하여 더하고 뺄 수 있습니다. 예를 참조하십시오.
  • 복소수는 곱하고 나눌 수 있습니다.
    • 복소수를 곱하려면 다항식과 마찬가지로 배포하십시오. 예 및 예를 참조하십시오.
    • 복소수를 나누려면 분자와 분모에 분모의 켤레 복소수를 곱하여 분모에서 복소수를 제거합니다. 예 및 예를 참조하십시오.
  • i의 거듭제곱은 순환적이며 4제곱마다 반복됩니다. 예를 참조하십시오.

귀하의 요구 사항을 충족하기 위해 아래 복소수 공식 목록을 선별했습니다. 복소수에 대한 단순 공식을 사용하여 가장 어려운 문제를 너무 쉽고 빠르게 해결할 수 있습니다. 이것들은 수학 문제의 긴 계산을 하는 번거로움을 줄이는 데 확실히 도움이 될 것입니다.

  • 자연수(N): N =
  • 정수(W): W = <0, 1, 2, …………..>= +
  • 정수(Z 또는 I): Z 또는 I =
  • 유리수(Q): p/q 형식의 숫자(여기서 p, q ∈ I, q ≠ 0)
  • 무리수: 합리적이지 않은 숫자, 즉 p/q 형식으로 표현할 수 없거나 소수 부분이 끝나지 않고 반복되지 않지만 물리량의 크기를 나타낼 수 있는 숫자입니다. 예를 들어 (sqrt<2>), 5 1/3 , π, e, ………등.
  • 실수(R): 유리수와 무리수 집합을 실수 집합, 즉 N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R이라고 합니다.

2. 허수
x = ± (sqrt<-1>)는 허수이고 (sqrt<-1>) = i (iota)

3. 아이오타의 적분력
i = (sqrt<-1>) 그래서 i 2 = -1 i 3 = -i 및 i 4 = 1
따라서 i 4n+1 = i i 4n+2 = -1 i 4n+3 = -i i 4n 또는 i 4n+4 = 1

4. 복소수
x, y ∈ R 및 i = (sqrt<-1>) 형식의 수 z = x + iy 여기서 x는 실수부, y는 복소수의 허수부라고 합니다. 그리고 그들은 다음과 같이 표현됩니다.
Re(z) = x, Im(z) = y, | z | = (제곱+y^<2>>) amp(z) = 인수(z) = θ = tan -1 = (frac)

  • 극좌표 표현: x = r cos θ, y = r sin θ & r = (sqrt+y^<2>>) = |z|
  • 지수 형식: z = re iθ
  • 벡터 표현: P(x, y) 그 벡터 표현은 z = (overrightarrow>)

5. 켤레복소수의 성질
z = a + ib인 경우

  • (overline<(ar)>) = z
  • z + (바) = 2a = 2 Re(z) = 순수 실수
  • z – (바) = 2ib = 2i Im (z) = 순전히 허수
  • z (바) = a 2 + b 2 = | z | 2
  • z + (바) =0 또는 z = – (ar) ⇒ z = 0 또는 z는 순전히 허수입니다.
  • z = (바) ⇒ z는 순전히 실수입니다.

6. 복소수의 계수 속성

  • z = x + iy이면 |z| = (제곱+y^<2>>)
  • “|z|”은 원점에서 아르간 평면의 모든 점 “z”까지의 거리입니다.
  • |z12 …….z| = |z1|. |z2|. |z3| ……… |z|, z인 경우1 = z2 = …. = z 그럼 |z n | = |z| 엔
  • (왼쪽|frac>> ight|=frac ight|> ight|>), 여기서 |z2| ≠ 0
  • ||z1| – |z2|| ≤ |z1 –z2| ≤ |z1| + |z2|
  • z (바) = |z| 2
  • z -1 = (frac<ar><|z|^<2>>)
  • |z1 ± z2| 2 = |z1| 2 + |z2| 2 ± 2Re(z1 (바_<2>))
  • |z1 + z2| 2 + |z1 –z2| 2 = 2[|z1| 2 + |z2| 2 ]

7. 복소수의 인수 속성

  • 임의의 복소수 z = x + iy에 ​​대해,
    인수(z) 또는 amp(z) = tan -1 (left(frac) ight)) 또는 amp(z) = tan -1 (left[ frac < Im(z) >< Re(z) > ight] )
  • 임의의 복소수.z에 대해 -π ≤ amp(z) ≤ π
  • amp(모든 양의 실수) = 0
  • amp(실수 음수) = π
  • amp (z – (ar)) = ± π/2
  • 앰프(z1 . 지2) = 암페어(z1) + 앰프(z2)
  • amp (left(frac>>오른쪽)) = 암페어(z1) – 암페어(z2)
  • 앰프((ar)) = – 암페어(z) = 암페어(1/z)
  • 암페어(-z) = 암페어(z) ± n
  • 암페어 (z n ) = n 암페어 (z)
  • amp(z) + amp((ar)) = 0

8. 복소수의 제곱근
z = a + ib의 제곱근은
(제곱) = ± (left[sqrt<2>>+i sqrt<2>> ight]) for b > 0 및
= ± (left[sqrt<2>>-i sqrt<2>> ight]) b < 0 .

평등의 조건, 등호는 z인 경우 유지1, z2 그리고 원점은 동일선상에 있습니다.

(iii) 복소수의 진폭:
복소수 z의 진폭 또는 인수는 실제 축을 사용하여 z를 나타내는 방향 선분의 기울기입니다. z의 진폭은 일반적으로 amp z 또는 arg z로 작성되므로 x = x + iy이면 amp z = tan -1(y/x)입니다.

(iv) x 2 + 1 = 0, x 2 + x + 1 = 0 형식의 방정식의 해를 구하면서 실수의 집합을 복소수의 집합으로 확장하였다. 먼저 ‘Euler’은 기호 i로 (sqrt<-1>)를 표시하고 모든 대수 방정식의 근이 a + ib 형식의 수임을 증명했으며 여기서 a, b ∈ R. A 수 이 형식을 복소수라고 합니다.

(v) 거리 공식:
두 점 사이의 거리 P(z1) 및 Q(z2)에 의해 주어진다
PQ = |z2 –z1|
= |Q의 접미사 – P의 접미사|

섹션 공식:
Re(z)가 P(z)를 연결하는 선분을 나누는 경우1) 및 Q(z2) 비율 m1 : 미디엄2 (미디엄1, 미디엄2 > 0)
그때,
(a) 내부 나눗셈의 경우 z = (frac z_<2>+m_ <2>z_<1>>+m_<2>>)
(b) 외부 나눗셈의 경우 z = (frac z_<2>-m_ <2>z_<1>>-m_<2>>)

(c) 중심 형태의 원 방정식은 |z –z0| = r 여기서 z0 는 중심이고 r은 제곱에 대한 원의 반경입니다. 우리는 다음을 얻습니다.
|z –z0| 2 = r 2 ⇒ (z –z0) (왼쪽(바-바_<0>오른쪽)) = r 2

(d) 원의 일반 방정식:
(z 바+a 바_<0>-z ar_<0>-바 z_<0>) = r 2 여기서 b ∈ R 및 a는 고정 복소수입니다. 이 원의 경우 중심은 점이고 반지름 = (sqrt<|a|^<2>-b>)

11. z1, z2 복잡한 평면에 두 개의 복잡한 번호가 있습니다.

(i) |z1 –z2| 는 두 개의 복잡한 번호 사이의 거리입니다.’s

(ii) 그런 다음 z = (frac ight) pm nleft(z_<1> ight)>) 내부 부문의 경우 “+”, 외부 부문의 경우 “-”

(iii) “z”을 임의의 변수 점이라고 하면 |z – z1| + |z –z2| = 2a 여기서 |z1 –z2| < 2a 그러면 z의 궤적은 타원, z1, z2 두 개의 초점이다.

(iv) |z –z인 경우1| – |z –z2| = 2a 여기서 |z1 –z2| > 2a 다음 z는 쌍곡선을 나타냅니다. 여기서 z는1, z2 두 개의 초점이다.

(v) (left|frac>> ight|) = k는 k ≠ 1이면 원이고 k = 1이면 선입니다.

(viii) 원은 다음 방법 중 하나로 주어질 수 있습니다.

(ix) (frac-z_<3>>-z_<2>>=frac-z_<3> ight|>-z_<2> ight|>) e iα .

(x) |z|의 최대값과 최소값 만약 (left|z+frac<1> ight|) = a는
(frac<>+4>><2>) 및 (frac<-a+sqrt+4>><2>)

복소수 공식에 대한 FAQ

1. 복소수 표현식은 어떻게 풀나요?

포뮬러를 사용하여 복소수 표현식을 쉽게 풀고 그에 따라 단순화할 수 있습니다.

2. 복소수 공식 모음은 어디서 얻나요?

Onlinecalculator.guru에서 복소수 공식 모음을 얻을 수 있습니다.

3. 복소수 공식이 어떻게 도움이 됩니까?

복소수 공식은 복소수의 어려운 문제를 너무 쉽게 풀고 작업을 쉽게 하도록 도와줍니다.

4. 복소수 공식을 암기하는 방법?

복소수 공식을 암기하는 가장 좋은 방법은 복소수 공식을 잘 이해할 수 있는 유일한 방법이므로 일관된 연습을 하는 것입니다.


2.4: 복소수 - 수학

모든 복소수의 집합은  으로 표시됩니다. 제곱근 연산은 [8]에 대해 닫힙니다. 실수의 경우와 마찬가지로 닫힌 제곱근 연산을 사용하는 것은 복소수의 중요성에 대해 부분적으로만 책임이 있습니다.

각 복소수는 실수 쌍으로 지정할 수 있습니다.

단순 동형이 있기 때문에 ,

복소수 계산 알고리즘은 실수 알고리즘보다 복잡합니다. 더 복잡한 알고리즘을 사용하더라도 이 숫자 체계는 실수 체계의 인기 있는 속성을 많이 가지고 있습니다. 덧셈과 곱셈은 역수(곱셈의 경우 부분)를 가지며 결합 및 가환성이고 함께 분배 법칙을 충족합니다. 대부분의 일반 운영자는 단지에 대해 폐쇄됩니다. 그러나 복소수에는 자연스러운 순서 관계가 없습니다.

실수로부터 복소수를 구성하는 것은 요소가 실수의 튜플로 표현되는 수 체계를 생성하는 절차인 일반적인 "2배 절차"의 적용으로 볼 수 있습니다. 이 동일한 절차를 사용하여 쿼터니언 및 Cayley 수 시스템을 구성할 수 있습니다[33].

복소수는 일부 현상을 모델링하는 데 매우 유용합니다. 실수로 계산할 때와 마찬가지로 복소수를 사용하여 직접 계산할 때도 동일한 어려움이 있습니다. 실수는 복소수와 동형이고 반대로 복소수는 매우 간단한 방식으로 실수로부터 만들어지기 때문에 이것은 분명합니다. 2배 절차의 응용 프로그램에 의해 구축된 모든 숫자 체계는 기본 숫자 체계로 실수를 사용하여 직접 에뮬레이션될 수 있습니다.


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통합의 윤곽을 옮기다

Cauchy&rsquos 정리는 매우 중요한 결과를 낳습니다. 예를 들어, 복소 평면에서 (z_a)에서 (z_b)로의 적분의 경우 함수가 해석적인 영역에서 윤곽선을 이동해도 결과에 영향을 미치지 않습니다. 원래 윤곽에 대한 적분과 이동된 윤곽에 대한 적분 간의 차이는 폐쇄 회로 주변의 적분이므로 함수가 닫힌 영역에서 분석적이라면 0입니다.

닫힌 윤곽선 주위의 적분의 경우 윤곽선으로 둘러싸인 유일한 특이점이 극점인 경우 윤곽선이 축소되어 각 극 주위에 하나씩 별도의 작은 윤곽선의 합이 될 수 있으며 원래 윤곽선 주위의 적분은 합입니다. 극의 잔류물.


A급 수학/OCR/FP1/복소수

복소수를 이해하기 전에 허수 단위인 i에 대해 알아야 합니다. i는 음수의 제곱근을 계산할 수 있어야 할 필요성에서 발생합니다.

모든 논리는 아무 것도 자체적으로 곱하여 음수를 얻을 수 없다고 말하며 이는 사실입니다. 그래서 우리는 i 값을 줍니다.

이것으로부터 우리는 다음과 같은 사실을 알 수 있습니다.

여기에서 다음을 도출할 수 있습니다.

유용한 힌트!
i 의 거듭제곱을 다룰 때 어떤 사람들은 i 를 쌍으로 처리하는 것이 유용하다고 생각합니다. 예를 들어, i 4 > 를 i 2 ⋅ i 2 cdot i^<2>> 로 생각합니다.
i 4 = 1 =1>

-1 제곱은 1과 같습니다.

이것으로 우리는 매우 귀중한 도구를 갖게 되었고 이제 음수의 제곱근을 할 수 있습니다.

복소수는 실수와 허수로 구성된 숫자입니다. x + y i 형식으로 제공됩니다. (x 및 y 는 실수이고 i 는 허수 단위).

그들은 당신이 상상하는 것처럼 매우 많이 추가됩니다. 두 개의 복소수(2+3i)와 (3+4i)를 취합니다. 이 둘을 더하는 것은 실수 부분을 더하고(이 경우: 2 + 3 = 5) 허수 부분을 더하면(3i + 4i = 7i) 최종 복소수 (5 + 7i)를 얻는 것처럼 간단합니다.

빼기에도 동일하게 적용됩니다. (2+3i)와 (3+4i)의 복소수를 예로 들어보겠습니다. 실수 부분(2 - 3 = -1)을 빼고 허수 부분(3i - 4i = -i)을 빼서 새로운 복소수(-1-i)를 얻습니다.

곱셈은 ​​2차 및 3차 방정식을 확장하는 것과 같습니다. 간단히 말해서, 두 개의 복소수를 가져와 나란히 놓고 곱하면 됩니다. 복소수를 예로 들면 다음을 수행합니다.

( 2 + 3 i ) ( 3 + 4 i ) = ( 2 ⋅ 3 ) + ( 2 ⋅ 4 i ) + ( 3 i ⋅ 3 ) + ( 3 i ⋅ 4 i ) = 6 + 8 i + 9 i + 12 나는 2 = 12 나는 2 + 17 나는 + 6 <디스플레이 스타일 (2+3i)(3+4i)=(2cdot 3)+(2cdot 4i)+(3icdot 3)+(3icdot 4i)=6+8i+9i+12i^<2>=12i^<2>+17i+6>

그만큼 계수 복소수의 는 Argand 다이어그램의 원점과 복소수를 나타내는 점을 연결하는 선의 길이이며 다음과 같이 지정됩니다.

그만큼 논의 복소수의 는 시계 반대 방향으로 측정한 실수 축(x축)에서 복소수 점의 라디안 단위 각도입니다. arg(z)로 표시된 복소수 z에 대한 인수는 다음과 같이 지정됩니다.

첫 번째 사분면에 있는 경우.

Argand 다이어그램에서 복소수를 나타낼 때 다음을 알 수 있습니다.

복소수 z는 x+iy로 나타낼 수 있으므로,

복소수는 데카르트 또는 극좌표 형식으로 나타낼 수 있습니다. 극형은 다음과 같습니다.

z = r ( cos ⁡ ( θ ) + i sin ⁡ ( θ ) )

복소수의 극형은 벡터를 표현하는 방법과 매우 유사합니다. 따라서 복소수의 모듈러스는 x 및 y 구성요소의 결과와 유사하고 인수는 결과 벡터의 방향입니다.

복소수를 극좌표 형식으로 대입하면 복소수 z를 쓰는 또 다른 방법이 다음과 같다는 것을 알 수 있습니다.

켤레는 Argand 다이어그램의 좌표를 반영한 ​​것일 뿐입니다. 그것들은 실제 축을 가로질러 반사되어 허수 좌표만 변경됩니다(예: 2 + 2i에서 2 - 2i로). 즉, 허수부의 부호가 변경됩니다(음수에서 양수 또는 그 반대로).

복소 켤레는 분모의 복소 켤레로 분수의 상단과 하단을 곱하여 분모가 실수가 될 수 있으므로 복소수를 나눌 때 유용합니다. 예: 2 + 4 i 1 + i = ( 2 + 4 i ) ( 1 − i ) ( 1 + i ) ( 1 − i ) = 2 + 2 i + 4 1 + 1 = 6 + 2 i 2 = 3 + i <1+i> >=<(1+i)(1-i)>>=<1+1>>=< frac <6+2i><2>>=3+i>

이것을 분모 실현(합리화의 복소수 버전)이라고 합니다.

켤레는 실수 계수로 방정식을 풀 때도 유용합니다. 이러한 방정식에 복소수가 있는 경우 복소수의 켤레도 방정식의 근이 되므로 시험에서 대부분의 경우 방정식을 완전히 인수분해할 수 있습니다.

x 3 + 4 x 2 + 9 x + 10 = ( x − b ) ( x − ( − 1 + 2 i ) ) ( x − ( − 1 − 2 i ) ) +4x^ <2>+9x+10=(xb)(x-(-1+2i))(x-(-1-2i))> .

= ( x − b ) ( x 2 + x + 2 xi + x + 1 + 2 i − 2 xi − 2 i − 4 i 2 ) +x+2xi+ x+1+2i-2xi-2i-4i^<2>)>


이제 복소수에 대해 알았으므로 행렬식이 음수인 2차 방정식(즉, 데카르트 그래프에서 x축을 교차하거나 접촉하지 않는 2차 방정식)을 풀기 시작할 수 있습니다.

예: 방정식 x 2 − 2 x + 5 = 0 -2x+5=0> 을 풉니다.

모든 복소수에는 두 개의 복소수 제곱근이 있습니다. 일반 복소수 x+yi에 대한 답을 찾기 위해 답을 p+iq로 표시하고 다음과 같습니다.

예를 들어 2+4i의 제곱근을 찾으려고 하면 다음과 같이 됩니다.

이차 공식 사용:

q는 실수이므로 u의 양수 값의 제곱근과 같아야 합니다.

이것은 A-레벨 수학 텍스트의 FP1(Further Pure Mathematics 1) 모듈의 일부입니다.


섹션 2.4 복소수 - PowerPoint PPT 프레젠테이션

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복소수

음수의 제곱근을 찾는 것은 양수의 제곱근을 찾는 것과 유사합니다. 유일한 변경 사항은 음수 기호로 수행할 작업입니다. 음수의 제곱근입니다. , 나는 는 -1의 제곱근으로 정의됩니다.

양변을 제곱하면,

"상상"이라는 이름은 다소 나쁜 이름입니다. 그들은 "실제"숫자의 모든 규칙을 따릅니다. 그것들은 그냥 만들어지는 것이 아니라 수학 문제를 푸는 것에서 나옵니다. 이름이 당신을 속이게 하지 마십시오.

결합된 실수 집합과 허수 집합입니다. 그들은 다음과 같은 형식으로 실제 부분과 허수 부분으로 작성됩니다. + 바이 아래 숫자와 같은. 파란색 부분이 실제이고 빨간색 부분이 나는 상상이다.

허수 및 복소수:

A는 형식의 숫자입니다. + 바이 어디

  • 복소수의 실수 부분입니다.
  • 바이 복소수의 허수 부분입니다.

만약 = 0 그러면 + 바이 는 실수입니다. 만약 = 0 및 &ne 0, 복소수는 허수.

복소수를 표준 형식으로 표현하기

예 1: 음수의 제곱근 계산

해결책

정사각형을 (sqrtsqrt<-1>)로 표현하는 것으로 시작하십시오.

(sqrt<-1>)를 다음으로 바꿉니다. 나는.

그것을 시도 1
대답

2. 일반적인 예

2.1. 이진 푸리에 분석

일부 양의 정수를 보자. 그래서 우리는 이진 값을 받아들이는 함수를 고려하고 있다. 그런 다음 함수는 -차원 벡터 공간을 형성하고 내부 형식을 부여합니다.

is the average of the squares this establishes also that is positive definite.

In that case, the multilinear polynomials form a basis of , that is the polynomials

Thus our frequency set is actually the subsets . Thus, we have a decomposition

실시예 2 (An example of binary Fourier analysis)

Let . Then binary functions have a basis given by the four polynomials

For example, consider the function which is at and elsewhere. Then we can put

So the Fourier coefficients are for each of the four ‘s.

This notion is useful in particular for binary functions for these functions (and products thereof), we always have .

It is worth noting that the frequency plays a special role:

2.2. Fourier analysis on finite groups

This is the Fourier analysis used in this post and this post. Here, we have a finite abelian group , and consider functions this is a -dimensional vector space. The inner product is the same as before:

Now here is how we generate the characters. We equip with a non-degenerate symmetric bilinear form

Experts may already recognize this as a choice of isomorphism between and its Pontryagin dual. This time the characters are given by

In this way, the set of frequencies is also , but the play very different roles from the “physical” . (It is not too hard to check these indeed form an orthonormal basis in the function space , since we assumed that is non-degenerate.)

실시예 4 (Cube roots of unity filter)

Suppose , with the inner form given by . Let be a primitive cube root of unity. Note that

Then given with , , , we obtain

In this way we derive that the transforms are

Olympiad contestants may recognize the previous example as a “roots of unity filter”, which is exactly the point. For concreteness, suppose one wants to compute

In that case, we can consider the function

such that but . By abuse of notation we will also think of as a function . Then the sum in question is

In our situation, we have , and we have evaluated the desired sum. More generally, we can take any periodic weight and use Fourier analysis in order to interchange the order of summation.

실시예 6 (Binary Fourier analysis)

Suppose , viewed as an abelian group under pointwise multiplication hence isomorphic to . Assume we pick the dot product defined by

We claim this coincides with the first example we gave. Indeed, let and let which is at positions in , and at positions not in . Then the character form the previous example coincides with the character in the new notation. In particular, .

Thus Fourier analysis on a finite group subsumes binary Fourier analysis.

2.3. Fourier series for functions

Now we consider the space of square-integrable functions , with inner form

Sadly, this is 아니 a finite-dimensional vector space, but fortunately it is a Hilbert space so we are still fine. In this case, an orthonormal basis must allow infinite linear combinations, as long as the sum of squares is finite.

Now, it turns out in this case that

is an orthonormal basis for . Thus this time the frequency set is infinite. So every function decomposes as

This is a little worse than our finite examples: instead of a finite sum on the right-hand side, we actually have an infinite sum. This is because our set of frequencies is now , which isn’t finite. In this case the need not be finitely supported, but do satisfy .

Since the frequency set is indexed by , we call this a Fourier series to reflect the fact that the index is .

Often we require that the function satisfies , so that becomes a periodic function, and we can think of it as .

2.4. 요약

We summarize our various flavors of Fourier analysis in the following table.

In fact, we will soon see that all these examples are subsumed by Pontryagin duality for compact groups .


  • 2.1 Pre Notes
  • 2.1 Post Notes
  • 2.2 Pre Notes
  • 2.2 Post Notes
  • 2.3 Pre Notes
  • 2.3 Post Notes
  • 2.4 Pre Notes
  • 2.4 Post Notes
  • 2.5 Pre Notes
  • 2.5 Post Notes
  • 2.6 Pre Notes
  • 2.6 Post Notes

(Note: This corresponds with Chapter 7 in the book we referenced for these videos.)

  • 4.1 Pre Notes
  • 4.1 Post Notes
  • 4.2 Pre Notes
  • 4.2 Post Notes
  • 4.3 Pre Notes
  • 4.3 Post Notes
  • 4.4 Pre Notes
  • 4.4 Post Notes
  • 4.5 Pre Notes
  • 4.5 Post Notes
  • 4.6 Pre Notes
  • 4.6 Post Notes


비디오 보기: 지식inEng sub 허수 i 와 복소수 imaginary u0026 complex number (팔월 2022).