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4.2: 복소수 선 적분

4.2: 복소수 선 적분



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선 적분은 경로 적분 또는 윤곽 적분이라고도 합니다. 성분이 주어지면 복소수 선적분 (int_{gamma} f(z) dz)를 다음과 같이 정의합니다.

[int_{gamma} f(z) dz := int_{a}^{b} f(감마 (t)) 감마 ' (t) dt. 라벨{4.2.1}]

이 표기법은 실제 변수의 적분처럼 보입니다. (R^2)에서 선형 적분의 벡터와 내적은 필요하지 않습니다. 또한 (f(gamma (t)) gamma '(t)) 곱은 복소수의 곱이라는 것을 이해해야 합니다.

대체 표기법은 (dz = dx + idy)를 사용하여

[int_{gamma} f(z) dz = int_{gamma} (u + iv) (dx + idy) label{4.2.2}]

방정식 ef{4.2.1}와 ef{4.2.2}가 같은지 확인합시다. 방정식 ef{4.2.2}는 실제로 다변수 미적분식 표현이므로 (gamma (t))를 ((x(t), y(t)))로 생각하면 다음과 같이 됩니다.

[int_{gamma} f(z) dz = int_a^b [u(x(t), y(t)) + iv (x(t), y(t)] (x'(t) ) + iy'(t))dt]

그러나

[u(x(t), y(t)) + iv (x(t), y(t)) = f(감마(t))]

[x'(t) + iy'(t) = 감마 '(t)]

따라서 방정식 ef{4.2.2}의 우변은

[int_{a}^{b} f(감마 (t)) 감마 '(t) dt.]

즉, 방정식 ef{4.2.1}의 표현식과 정확히 동일합니다.

예 (PageIndex{1})

0에서 (1 + i)까지의 직선을 따라 (int_{gamma} z^2 dz)를 계산합니다.

해결책

곡선을 (0 le t le 1)로 (gamma (t) = t(1 + i))로 매개변수화합니다. 따라서 (gamma '(t) = 1 + i)입니다. 선 적분은

[int z^2 dz = int_{0}^{1} t^2 (1 + i)^2 (1 + i) dt = dfrac{2i(1 + i)}{3} . 숫자]

예 (PageIndex{2})

0에서 (1 + i)까지의 직선을 따라 (int_{gamma} overline{z} dz)를 계산합니다.

해결책

이전 예에서와 동일한 매개변수화를 사용할 수 있습니다. 그래서,

[int_{gamma} overline{z} dz = int_{0}^{1} t(1 - i) (1 + i) dt = 1. onumber]

예 (PageIndex{3})

단위원을 따라 (int_{gamma} z^2 dz)를 계산합니다.

해결책

단위 원을 (gamma ( heta) = e^{i heta})로 매개변수화합니다. 여기서 (0 le heta le 2pi)입니다. (gamma '( heta) = ie^{i heta})가 있습니다. 따라서 적분은

[int_{gamma} z^2 dz = int_{0}^{2pi} e^{2i heta} ie^{i heta} d heta = int_{0}^ {2pi} ie^{3i heta} d heta = dfrac{e^{3i heta}}{3} vert_{0}^{2pi} = 0. onumber]

예 (PageIndex{4})

단위원을 따라 (int overline{z} dz)를 계산합니다.

해결책

(C) 매개변수화: (gamma (t) = e^{it}), (0 le t le 2pi). 따라서 (gamma '(t) = ie^{it}). 이것을 적분에 넣으면

[int_{C} overline{z} dz = int_{0}^{2pi} overline{e^{it}} ie^{it} dt = int_{0}^{ 2pi} i dt = 2pi i. onumber]


오일러 공식을 사용한 적분

적분 미적분에서 복소수에 대한 오일러 공식은 삼각 함수와 관련된 적분을 평가하는 데 사용할 수 있습니다. 오일러의 공식을 사용하여 모든 삼각 함수는 복잡한 지수 함수, 즉 e i x > 및 e − i x > 그런 다음 통합됩니다. 이 기술은 종종 삼각 항등식을 사용하거나 부분에 의한 적분을 사용하는 것보다 더 간단하고 빠르며 삼각 함수와 관련된 모든 합리적인 표현을 통합하기에 충분히 강력합니다. [1]


푸리에 시리즈 스펙트럼의 속성

신호의 푸리에 시리즈 스펙트럼 케이 흥미로운 속성을 가지고 있습니다.

만약 성) 진짜다,

실수 값 주기 신호에는 켤레 대칭 스펙트럼이 있습니다.

이 결과는 다음을 계산하는 적분에서 나옵니다. 케이 신호에서. 또한 이 결과는 다음을 의미합니다.

실수 값 신호에 대한 푸리에 계수의 실수 부분은 짝수입니다. 비슷하게,

푸리에 계수의 허수 부분은 홀수 대칭을 갖습니다. 결과적으로 양의 지수와 0에 대한 푸리에 계수가 주어지고 신호가 실수 값이라고 말하면 음의 지수 계수, 따라서 전체 스펙트럼을 찾을 수 있습니다. 이런 대칭,

로 알려져 있다 켤레 대칭 .

만약 s(-t) = s(t), 이는 신호가 원점에 대해 균일한 대칭을 가지고 있음을 나타냅니다.

실수 값 신호에 대한 이전 속성이 주어지면 짝수 신호의 푸리에 계수는 실수 값입니다. 실수 값 푸리에 확장은 짝수 신호의 가장 간단한 예인 코사인만 확장한 것과 같습니다.

만약 s(-t) = - s(t), 이는 신호가 홀수 대칭을 가지고 있음을 나타냅니다.

따라서 푸리에 계수는 순전히 허수입니다. 구형파는 홀수 대칭 신호의 좋은 예입니다.

주기 신호에 대한 스펙트럼 계수는 다음과 같이 지연됩니다. &타우, s(t-&tau), 다음과 같습니다.

어디 케이 의 스펙트럼을 나타냅니다. 성).

신호 지연 &타우 초는 다음을 갖는 스펙트럼을 생성합니다. 선형 위상 편이 [-frac<2pi k au >] 지연되지 않은 신호의 스펙트럼과 비교합니다. 스펙트럼 크기는 영향을 받지 않습니다. 이 속성을 표시하는 것은 쉽습니다.

적분 범위는 적분 기간에 걸쳐 확장됩니다. 결과적으로 일정 기간 동안 통합하는 방법은 중요하지 않습니다. 이는 다음을 의미합니다.

복소 푸리에 급수는 다음을 따릅니다. 파르세발의 정리 , 신호 분석에서 가장 중요한 결과 중 하나입니다. 이 일반적인 수학적 결과는 시간 영역이나 주파수 영역에서 신호의 전력을 계산할 수 있다고 말합니다.


수학 통찰력

스칼라 선적분에 대한 소개에서 우리는 $slint$에 대한 공식, $a에 대해 $dllp(t)$로 매개변수화된 곡선에 대해 $f$ 함수의 선적분을 도출했습니다. le t le b$: 시작 slint =int_a^b dlsi(dllp(t))| dllp,'(t) | dt. 종료

그러나 이 적분 값은 특정 매개변수 $dllp$에 의존해서는 안 됩니다. 밀도가 $dlsi$인 와이어의 총 질량과 같은 양을 캡처하도록 설계되었기 때문입니다. 적분은 밀도 함수 $dlsi(vc)$ 및 $dlc$로 표시되는 이미지 곡선은 $[a,b]$ 구간에서 $t$의 모든 값에 대한 점 $dllp(t)$의 집합입니다.

이러한 이유로 우리는 $dllp(t)$에 의해 주어진 특정 매개변수가 아니라 곡선 $dlc$ 위에 있는 선형 적분을 생각할 수 있습니다. 이 관점을 반영하기 위해, 우리는 슬링키의 질량을 제공하는 적분을 다음과 같이 쓸 수 있습니다. dslint = pslint, end 여기서 위의 유일한 차이점은 $dllp$를 $dlc$로 대체했다는 것입니다.

$dslint$ 표기법은 선 ​​적분이 매개변수화 $dllp(t)$와 무관함을 명시합니다(결국 표기법은 $dllp(t)$를 언급하지 않습니다). 동일한 곡선 $dlc$가 많은 함수에 의해 매개변수화될 수 있음을 기억할 수 있습니다. 예를 들어, 우리는 단위 원의 두 가지 다른 매개변수화를 제공했습니다. 위에서 우리는 slinky를 $dllp(t) = (cos t, sin t, t)$로 매개변수화했으며, 이는 le t le 2pi$입니다. le t le pi$에 대해 $adllp(t) = (cos 2t, sin 2t, 2t)$로 동일한 슬링키를 똑같이 잘 매개변수화할 수 있었습니다. (만약 $dllp(t)$와 $adllp(t)$가 슬링키를 따라 이동하는 두 입자의 시간 $t$에서의 위치라면, $adllp(t)$에 의해 주어진 입자는 두 배 빠르게 이동하여 $dllp(t)$에 의해 주어진 입자와 비교하여 절반의 시간에 슬링키.)

밀도 $dlsi(vc)$는 변경되지 않으며, 어떤 매개변수를 사용하든 상관없이 슬링키의 질량은 동일해야 합니다. 따라서 질량은 둘 다 dslint = int_ dlsi , dals = pslint<0><2pi> end 그리고 시작 dslint = int_ dlsi , dals = pslint<0>. 종료

$dllp(t)$ 및 $adllp(t)$ 매개변수화에 대해 적분이 동일한 이유, 즉 egin pslint<0><2pi> = pslint<0>? 종료

첫 번째 경우에는 두 배의 간격(0에서 $2pi$ 대 0에서 $pi$)에 걸쳐 통합하지만 속도는 $| dllp'(t)|$는 속도의 절반입니다. $| adllp'(t) |$. 두 효과가 취소되고 적분이 동일합니다.

곡선에 대한 벡터 필드 $dlvf$의 선적분은 스칼라 함수 $f = dlvf cdot vc의 선적분을 기반으로 하기 때문에$, 여기서 $vc$는 곡선의 단위 접선 벡터이며 벡터 필드의 선 적분도 매개변수화 $dllp(t)$와 무관해야 합니다. 사실 이것은 한 가지 중요한 예외를 제외하고는 사실입니다. $vc 이후 = dllp'(t)/dllp(t)$, 단위 접선 벡터, 따라서 적분 $dlint$는 매개변수화의 속도 $|dllp'(t)|$와 무관합니다. . 단위 접선 벡터는 이름에서 알 수 있듯이 항상 길이가 1입니다. 그러나 곡선을 따라 있는 임의의 지점에는 반대 방향을 가리키는 두 개의 단위 접선 벡터가 있습니다. 그 중 하나를 $vc라고 하면$, 다른 하나는 $-vc$. 이러한 단위 접선 벡터의 선택은 $t$가 증가함에 따라 $dllp(t)$가 $dlc$ 곡선을 가로지르는 방향에 따라 달라집니다.

우리는 단위 접선 벡터의 선택, 또는 동등하게 $dlc$를 가로지르는 방향의 선택을 곡선의 방향으로 참조합니다. 모든 단순 곡선에는 두 가지 방향이 있습니다. 하나는 하나의 단위 접선 벡터 $vc에 해당합니다.$ 및 반대의 $-vc에 해당하는 다른 것$. 스칼라 선 적분은 곡선 방향과 무관하지만 곡선 방향을 전환하면 벡터 선 적분은 부호를 전환합니다. 이것은 슬링키의 질량이 변하지 않아야 하기 때문에 직관적으로 이해가 되지만, 반대 방향으로 이동하면 역장에 의해 수행된 작업의 부호가 바뀝니다.

스칼라 함수 및 벡터 필드의 선적분의 예에는 다른 매개변수화를 사용한 동일한 선적분 계산이 포함됩니다.


SLI 4.2

전체 대역폭을 보존하는 고품질 트랜스포머와 트랜스포머가 소스와 증폭기 사이에 갈바닉 분리를 제공하므로 전기적 간섭을 완전히 제거하는 STOP NOISE 기술 덕분에 변환이 달성되었습니다.

견고하고 컴팩트한 차폐 알루미늄 섀시는 하단에 연결 다이어그램이 있고 한쪽에는 연결 패널이 있어 후면 대시보드에도 쉽게 설치할 수 있습니다.

오래 지속되고 쉬운 연결을 위해 찢어지지 않는 플라스틱 스트립이 특징인 Molex* 커넥터로 레이블이 지정되고 종단 처리된 배선입니다.

4. 완전한 OEM 통합

DSR(더블 스텝다운 비율)

고전력(8:1) 및 저전력(4:1) 스텝다운 변환 비율은 기존 OEM 소스(저전력) 또는 OEM과의 올바른 인터페이스를 위해 전면 및 후면의 각 입력에 대해 독립적으로 DIP 스위치를 통해 선택 가능 최대 35V RMS의 고전압 출력(고출력)을 특징으로 하는 증폭기.

USS(범용 스피커 시뮬레이터)

출력에 연결된 원래 스피커 부하(임피던스)를 감지하는 OEM 소스와의 인터페이스의 완전한 호환성을 위해 4개의 입력 채널(전면 및 후면)에서 스피커의 부하를 시뮬레이션합니다.

미술 TM (자동 원격 켜기)**

최신 세대 소스를 포함하여 모든 OEM 소스와 호환되는 기능으로, SLI에 전원이 공급될 때 앰프의 원격 제어를 위해 12V 출력을 생성합니다.

*Molex는 미국 Molex, LLC 소유의 등록 상표입니다.
** 전자파 적합성에 관한 법률이 ECE/UN 규정 no. 10/5


양성자 NMR에 통합

  • 제공: Chris Schaller
  • University of Saint Benedict/Saint John's University 교수(화학)

일반적으로 13 C NMR 분광법에서 얻을 수 없는 1 H NMR 분광법에서 얻은 추가 정보가 있습니다. 화학적 이동은 분자 통합에서 얼마나 많은 다른 유형의 수소가 발견되는지 보여줄 수 있으며 각 유형의 수소 수를 알 수 있습니다. 적분기 트레이스(또는 적분 트레이스)는 유기 화합물의 다양한 환경에서 수소 원자 수의 비율을 찾는 데 사용할 수 있습니다.

적분기 추적은 proton NMR 스펙트럼에 중첩되는 컴퓨터 생성 라인입니다. 다이어그램에서 적분기 추적은 빨간색으로 표시됩니다.

적분기 트레이스는 스펙트럼의 다양한 피크 아래 상대적인 면적을 측정합니다. 적분기 트레이스가 피크 또는 피크 그룹을 가로지르면 높이가 높아집니다. 얻은 높이는 피크 또는 피크 그룹 아래의 면적에 비례합니다. 위의 다이어그램에서 녹색으로 표시된 거리를 측정하여 각 피크 또는 피크 그룹에서 얻은 높이를 측정한 다음 그 비율을 찾습니다.

예를 들어 높이가 0.7cm, 1.4cm, 2.1cm인 경우 피크 면적의 비율은 1:2:3이 됩니다. 이것은 차례로 세 가지 다른 환경에서 수소 원자의 비율이 1:2:3임을 보여줍니다.

그림 NMR16. 고체 적분선이 있는 에탄올의 1 H NMR 스펙트럼. 출처: CDCl에서 찍은 스펙트럼3 300MHz 옥스포드 자석이 있는 Varian Gemini 2000 분광계에서.

에탄올의 스펙트럼을 보면 분자에 세 가지 다른 종류의 수소가 있음을 알 수 있습니다. 또한 적분을 통해 CH에 해당하는 한 유형의 수소 3개, 두 번째 유형의 2개, 세 번째 유형의 하나가 있음을 알 수 있습니다.3 또는 메틸기이고, CH2 또는 메틸렌기 및 OH 또는 히드록실기이다. 그 정보는 샘플의 가능한 구조의 수를 줄이는 데 도움이 되므로 미지의 샘플의 구조를 훨씬 쉽게 설명할 수 있습니다.

적분 데이터는 다양한 형태로 제공될 수 있습니다. 당신은 그들 모두를 알고 있어야합니다. 원시 형태에서 적분은 스펙트럼을 가로질러 왼쪽에서 오른쪽으로 이어지는 수평선입니다. 선이 피크의 주파수와 교차하는 지점에서 피크의 면적이 측정됩니다. 이 측정은 직선이 상승하는 수직 거리는 피크의 면적에 비례하여 적분선에서 위로 점프하거나 위로 단계로 표시됩니다. 면적은 그 주파수에서 흡수된 전파의 양과 관련이 있으며, 흡수된 전파의 양은 전파를 흡수하는 수소 원자의 수에 비례합니다.

때때로 적분선은 서로 더 쉽게 비교할 수 있도록 각 피크에 대해 별도의 적분으로 절단됩니다.

그림 NMR17. 파선 적분선이 있는 에탄올의 1 H NMR 스펙트럼. 출처: CDCl에서 찍은 스펙트럼3 300MHz 옥스포드 자석이 있는 Varian Gemini 2000 분광계에서.

종종 원시 데이터를 표시하는 대신 적분을 측정하고 그 높이가 스펙트럼에 표시됩니다.

그림 NMR18. 수치 적분이 있는 에탄올의 1 H NMR 스펙트럼.

출처: CDCl에서 찍은 스펙트럼3 300MHz 옥스포드 자석이 있는 Varian Gemini 2000 분광계에서.

때때로 높이가 "정규화"됩니다. 비율을 더 쉽게 비교할 수 있도록 가장 낮은 공통 요소로 축소됩니다. 이 숫자는 수소의 수 또는 단순히 가장 낮은 공통 요소에 해당할 수 있습니다. 1H:2H 비율의 두 피크는 1개 및 2개의 수소에 해당하거나 2개 및 4개의 수소에 해당할 수 있습니다.

그림 NMR19. 정규화된 정수가 있는 에탄올의 1 H NMR 스펙트럼.

출처: CDCl에서 찍은 스펙트럼3 300MHz 옥스포드 자석이 있는 Varian Gemini 2000 분광계에서.


4.2: 복소수 선 적분

다음 함수에 대한 설명에서 z는 복소수 x + i y 이며, 여기서 i는 sqrt(-1)로 정의됩니다.

z 의 크기를 계산합니다.

크기는 | z | = 제곱미터(x^2 + y^2) .

: 인수 ( z ) : 각도 ( z )

인수, 즉 z 의 각도를 계산합니다.

이것은 라디안으로 theta = atan2 ( y , x ) 로 정의됩니다.

z 의 복소수 켤레를 반환합니다.

복소수 켤레는 conj(z) = x - i y 로 정의됩니다.

: cplx 쌍 ( z ) : cplx 쌍 ( z , 톨 ) : cplx 쌍 ( z , 톨 , 희미함 )

실수 부분을 증가시켜 정렬된 복소수 켤레 쌍으로 숫자 z를 정렬합니다.

음의 허수 복소수는 각 쌍 내에서 맨 처음에 배치됩니다. 모든 실수(abs(imag ( z ) / z ) < tol )가 있는 실수는 복소수 쌍 뒤에 배치됩니다.

tol은 일치 허용 오차를 결정하는 가중 요소입니다. 기본값은 100이고 주어진 복소수 쌍에 대한 결과 허용오차는 100 * eps (abs ( z (i))) 입니다.

기본적으로 복소수 쌍은 z 의 첫 번째 비단원자 차원을 따라 정렬됩니다. dim이 지정되면 복소수 쌍이 이 차원을 따라 정렬됩니다.

일부 복소수가 짝을 이룰 수 없는 경우 오류 신호를 보냅니다. 모든 복소수가 정확한 켤레(tol 이내)가 아닌 경우 오류 신호를 보냅니다. 실수부는 동일하지만 허수부는 다른 쌍에 대해 정의된 순서가 없습니다.


통합 세그먼트 제한

통합 방법에서 사용하는 끝점에 따라 열다 또는 닫은 규칙이 구별됩니다.

열린 규칙 끝점을 사용하지 마십시오. 일부 지점에서 적분 함수가 정의되지 않은 경우 개방형 통합 방법을 사용할 수 있습니다.
예를 들어 직사각형 방법을 사용하여 ln(0)이 정의되지 않았음에도 불구하고 (0,1) 선분에서 ln(x) 한정 적분 값을 근사할 수 있습니다.

반대로, 닫힌 규칙 피적분 함수 값을 평가하기 위해 끝점과 중간점을 사용합니다.

반개방 규칙(예: 왼쪽 직사각형 규칙 또는 오른쪽 직사각형 규칙)은 한쪽에서만 열린 선분의 근사 적분에도 사용할 수 있습니다.


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표현식 작성기는 패키지별 요소가 포함된 폴더와 표현식 언어가 제공하는 함수, 유형 캐스트 ​​및 연산자가 포함된 폴더를 제공합니다. 패키지별 요소에는 시스템 변수와 사용자 정의 변수가 포함됩니다. 에서 조건부 분할 변환 편집기파생 열 변환 편집기 대화 상자에서 데이터 열을 볼 수도 있습니다. 변환에 대한 표현식을 작성하기 위해 폴더에서 항목을 끌어다 놓을 수 있습니다. 질환 또는 표현 열 또는 열에 직접 표현식을 입력할 수 있습니다. 표현식 작성기는 변수 이름에 @ 접두사와 같은 필요한 구문 요소를 자동으로 추가합니다.

사용자 정의 및 시스템 변수의 이름은 대소문자를 구분합니다.

변수에는 범위가 있으며 변수 표현식 작성기의 폴더에는 범위 내에 있고 사용할 수 있는 변수만 나열됩니다. 자세한 내용은 Integration Services(SSIS) 변수를 참조하세요.