조항

3.8: 연습(탐색) - 수학


  1. 미국에서는 선거인단을 대통령 선거에 사용합니다. 각 주는 하원에 있는 하원의원(인구 기준) 및 상원의원(주당 2명)과 동일한 수의 선거인을 받습니다. 대부분의 주에서는 해당 주의 모든 선거인단 투표에서 인기 있는 투표의 승자를 수여하기 때문에 선거인단은 가중 투표 시스템 역할을 합니다. 선거인단이 어떻게 작동하는지 알아보기 위해 4개 주가 있는 작은 국가를 살펴보겠습니다. 다음은 가상 선거의 결과입니다.

(egin{배열}{|l|l|l|l|l|}
hline extbf { State } & extbf { Smalota } & extbf { Medigan } & extbf { Bigonia } & extbf { Hugodo }
hline ext { 인구 } & 50,000 & 70,000 & 100,000 & 240,000
hline ext { A에 대한 투표 } & 40,000 & 50,000 & 80,000 & 50,000
hline ext { B에 대한 투표 } & 10,000 & 20,000 & 20,000 & 190,000
hline
end{배열})

  1. 이 나라가 선거인단을 사용하지 않았다면 어느 후보가 선거에서 승리할 것입니까?
  2. 각 주가 10,000명당 1명의 선거인단을 얻는다고 가정합니다. 이 시나리오에 대해 가중 투표 시스템을 설정하고 각 주에 대한 Banzhaf 전력 지수를 계산한 다음, 각 주가 해당 주의 선거에서 승리한 사람에게 모든 선거인단 표를 부여하면 승자를 계산합니다.
  3. 각 주가 10,000명당 1명의 선거인단을 얻고 추가로 2표를 얻는다고 가정합니다. 이 시나리오에 대해 가중 투표 시스템을 설정하고 각 주에 대한 Banzhaf 전력 지수를 계산한 다음, 각 주가 해당 주의 선거에서 승리한 사람에게 모든 선거인단 표를 부여하면 승자를 계산합니다.
  4. 각 주가 10,000명당 1명의 선거인단을 얻고 각 후보자에게 투표한 사람들의 수에 따라 수여한다고 가정합니다. 또한, 그들은 주에서 다수의 승자에게 수여되는 2표를 얻습니다. 이 조건에서 승자를 계산하십시오.
  5. 개별 국가가 c 부분 또는 d 부분의 투표 분배에 따라 선거인단에서 더 많은 권한을 갖는 것처럼 보입니까?
  6. 선거인단의 역사를 조사하여 대중 투표를 사용하는 대신 시스템이 도입된 이유를 알아보세요. 귀하의 연구와 경험을 바탕으로 선거인단 제도가 공정한지 아닌지에 대한 귀하의 의견을 진술하고 변호하십시오.
  1. 현대 선거에서 선거인단의 가치(개요는 이전 문제 참조)는 종종 논쟁거리입니다. 선거인단을 찬성하거나 반대하는 논거를 제공하는 기사나 논문을 찾으십시오. 출처를 평가하고 기사를 요약한 다음 작성자의 관점에 동의하거나 동의하지 않는 이유에 대한 의견을 제시하십시오. 수업시간에 했다면 모둠을 만들고 토론을 한다.

연습 3.8: 나눗셈 방법으로 다항식의 제곱근 찾기


2. 표현식의 제곱근 찾기


3. 값 찾기 NS 그리고 NS 다음 다항식이 완전제곱수인 경우

(i) 4NS 4 − 12NS 3 + 37NS 2 + bx +NS

(ii) 도끼 4 + bx 3 + 361NS 2 + 220NS + 100


4. 값 찾기 그리고 NS 다음 식이 완전제곱수인 경우

(나는)

(ii) NS 4 − 8NS 3 + MX 2 + 엔엑스 + 16


대답:

1.(i) | NS 2 − 6NS + 3| (ii) | 2NS 2 - 7NS – 3| (iii) | 4NS 2 + 1| (iv) | 11NS 2 - 9NS - 12 |


솔루션 설명

순서쌍( 2 , 6 )은 두 방정식을 모두 충족하는 경우에만 선형 방정식 시스템의 솔루션입니다. < x + y = 8 3 x − y = 0.

따라서 첫 번째 대입 ( x , y ) = ( 2 , 6 ) 방정식 x + y = 8 ,

마지막 문이 참이므로 ( 2 , 6 ) 은 방정식 x + y = 8 을 충족합니다.

이제 방정식 3 x − y = 0 에서 ( x , y ) = ( 2 , 6 )을 대입합니다.

&emsp&emsp 3 x − y = 0 3 ( 2 ) − 6 = 0 6 − 6 = 0 0 = 0

마지막 문장이 참이므로 ( 2 , 6 ) 은 방정식 3 x − y = 0 을 충족합니다.

따라서 ( 2 , 6 )은 선형 연립방정식의 해입니다. < x + y = 8 3 x − y = 0

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질문 1.
합성 나눗셈을 사용하여 다음 다항식을 각각 분해합니다.
(i) x 3 – 3x 2 – 10x + 24
(ii) 2x 3 – 3x 2 – 3x + 2
(iii) -7x + 3 + 4x 3
(iv) x 3 + x 2 – 14x – 24
(v) x 3 – 7x + 6
(vi) x 3 – 10x 2 – x + 10
해결책:
(i) x 3 – 3x 2 – 10x + 24
p(x) = x 3 – 3x 2 – 10x + 24
모든 계수의 합 = 1 – 3 – 10 + 24 = 25 – 13 = 12 ≠ 0
따라서 (x – 1)은 요인이 아닙니다.
상수 = -3 + 24 = 21인 짝수 거듭제곱의 계수 합
홀수 거듭제곱의 계수 합 = 1 – 10 = – 9
21 ≠ -9
따라서 (x + 1)은 인수가 아닙니다.
p (2) = 2 3 – 3 (2 2 ) – 10 × 2 + 24 = 8 – 12 – 20 + 24
= 32 – 32 = 0 ∴(x – 2)는 인수입니다.
이제 우리는 합성 분할을 사용하여 다른 요소를 찾습니다.

Thqs (x – 2) (x + 3) (x – 4)는 인수입니다.
∴ x 3 – 3x 2 – 10x + 24 = (x – 2) (x + 3) (x – 4)

(ii) 2x 2 – 3x 2 – 3x + 2
p(x) = 2x3 – 3x2 – 3x + 2라고 합시다.
모든 계수의 합은
2 – 3 – 3 + 2 = 4 – 6 = -2 ≠ 0
∴(x – 1)은 인수가 아닙니다.
상수 = -3 + 2 = – 1인 x의 짝수 거듭제곱의 계수 합
x의 홀수 거듭제곱 계수의 합 = 2- 3= -1
(-1) = (-1)
∴ (x + 1)은 인수
합성 나눗셈을 이용하여 다른 요인들을 찾아보자

몫은 2x 2 – 5x + 2 = 2x – 4x – x + 2 = 2x (x – 2) – 1 (x – 2)입니다.
= (x – 2) (2x – 1)
∴ 2x 3 – 3x 2 – 3x + 2 = (x + 1) (x – 2) (2x – 1)

(iii) -7x + 3 + 4x 3
p(x) = 4x 3 + 0x 2 – 7x + 3
계수의 합은 = 4 + 0 – 7 + 3입니다.
= 7 – 7 = 0
∴(x-1)은 인수
상수 = 0 + 3 = 3인 x의 짝수 거듭제곱의 계수 합
상수 = 4 – 7 = -3인 x의 홀수 거듭제곱 계수의 합
-3 ≠ -3
∴(x + 1)은 인수가 아닙니다.
합성 나눗셈을 이용하여 다른 요인들을 찾아보자.


몫은 4x 2 + 4x – 3입니다.
= 4x ​​2 + 6x – 2x – 3
= 2x(2x + 3) – 1(2x + 3)
= (2x + 3) (2x – 1)
∴ 인수는 (x – 1), (2x + 3) 및 (2x – 1)입니다.
∴ -7x + 3 + 4x 3 = (x + 1) (2x + 3) (2x – 1)

(iv) x 3 + x 2 – 14x – 24
p(x) = x 3 + x 2 – 14x – 24
계수의 합은 = 1 + 1 – 14 – 24 = -36 ≠ 0입니다.
∴(x – 1)은 인수가 아닙니다.
상수 = 1 – 24 = -23인 x의 짝수 거듭제곱의 계수 합
x의 홀수 거듭제곱 계수의 합 = 1 – 14 = -3
-23 ≠ -13
∴ (x + 1)도 요인이 아닙니다.
p(2) = 2 3 + 2 2 – 14 (2) – 24 = 8 + 4 – 28 – 24
= 12 – 52 ≠ 0, (x – 2)는 인수가 아님
p (-2) = (-2) 3 + (-2) 2 – 14 (-2) – 24
= -8 + 4 + 28 – 24 = 32 – 32 = 0
∴ (x + 2)는 인수
다른 요인을 찾기 위해 합성 분할을 사용합시다.

∴ 인수는 (x + 2), (x + 3), (x + 4)
∴ x 3 + x 2 – 14x – 24 = (x + 2) (x + 3) (x – 4)

(v) x 3 – 7x + 6
p(x) = x 3 + 0x 2 – 7x + 6
계수의 합은 = 1 + 0 – 7 + 6 = 7 – 7 = 0입니다.
∴(x-1)은 인수
상수 = 0 + 6 = 6인 x의 짝수 거듭제곱의 계수 합
x = 1 – 7 = -7의 홀수 거듭제곱 계수의 합
6 ≠ -7
∴(x + 1)은 인수가 아님
다른 요인을 찾기 위해 합성 나눗셈을 사용합시다.

∴ 인수는 (x – 1), (x – 2), (x + 3)
∴ x 3 + 0x 2 – 7x + 6 = (x – 1) (x – 2) (x + 3)

(vi) x 3 – 10x 2 – x + 10
p(x) = x 3 – 10x 2 – x + 10
계수의 합 = 1 – 0 – 1 + 10
= 11 – 11 = 0
∴(x – 1)은 인수입니다.
상수 = -10 + 10 = 0인 x의 짝수 거듭제곱의 계수 합
= 1 – 1 = 0의 홀수 거듭제곱 계수의 합
∴(x + 1)은 인수
합성 부문

∴ x 3 + 10x 2 – x + 10 = (x – 1) (x + 1) (x – 10)


질문 1.
나누기 방법으로 다음 다항식의 제곱근 찾기
(i) x 4 – 12x 3 + 42x 2 – 36x + 9
(ii) 37x 2 – 28x 3 + 4x 4 + 42x + 9
(iii) 16x4 + 8x2 + 1
(iv) 121x 4 – 198x 3 – 183x 2 + 216x + 144
해결책:
다항식의 제곱근을 구하는 긴 나눗셈 방법은 다항식의 차수가 높을 때 유용합니다.


질문 2.
식 (frac의 제곱근을 찾습니다.>>-10 frac+27-10 frac+frac>>)
해결책:

질문 3.
다음 다항식이 완전제곱식이면 a와 b의 값을 구하십시오.
(i) 4x 4 – 12x 3 + 37x 2 + bx + a
(ii) 축 4 + bx 3 + 361ax 2 + 220x + 100
해결책:
(나는)

완전제곱수이기 때문입니다.
나머지 = 0
⇒ b + 42 = 0, a – 49 = 0
b = -42, a = 49

(ii) 축 4 + bx 3 + 361ax 2 + 220x + 100

나머지는 0이므로
a = 144
b = 264

질문 4.
다음 식이 완전제곱식이면 m과 n의 값을 구하십시오.
(i) (frac<1>>-frac<6>>+frac<13>>+frac+n)
(ii) x 4 – 8x 3 + mx 2 + nx + 16
해결책:
(나는)

(ii)

나머지는 0이므로,
m = 24, n = -32


수학적 조사란 무엇입니까?

수학적 조사는 수학적 상황에 대한 지속적인 탐구를 의미합니다. 그것은 개방형이기 때문에 문제 해결과 구별됩니다.

나는 1990년 호주에서 대학원 과정에 참석했을 때 수학 조사에 대해 처음 들었습니다. 나는 즉시 그것을 사랑하고 그들의 첫 번째 조사를 마쳤을 때 자신을 자랑스럽게 생각하는 내 학생들을 위해 내가 가장 좋아하는 수학 활동 중 하나가 되었습니다.

문제 해결은 수렴 활동입니다. 문제 해결을 위한 확실한 목표가 있습니다. 반면에 수학적 조사는 더 다양한 활동입니다. 수학적 조사에서 학생들은 수학적 상황의 초기 탐색 후에 자신의 문제를 제기해야 합니다. 상황의 탐색, 문제의 공식화 및 해결은 독립적인 수학적 사고를 개발하고 데이터 구성 및 기록, 패턴 탐색, 추측, 추론, 정당화 및 추측 및 일반화 설명과 같은 수학적 프로세스에 참여할 수 있는 기회를 제공합니다. 개인이 더 많은 수학을 배우고 다른 학문과 일상 상황에서 수학을 적용하고 수학적(그리고 비수학적) 문제를 해결할 수 있게 하는 것은 이러한 사고 과정입니다.

수학적 조사를 통한 교수법은 학생들이 수학, 특히 수학적 활동과 사고의 본질에 대해 배울 수 있도록 합니다. 또한 수학 학습에는 기존 절차를 암기하고 따르는 것이 아니라 직관, 체계적인 탐색, 추측 및 추론 등이 포함된다는 것을 깨닫게 됩니다. 수학적 탐구의 궁극적인 목표는 학생들의 수학적 사고 습관을 개발하는 것입니다.

학생들이 동일한 수학적 조사를 할 수 있지만, 모든 학생들이 특정 출발점에서 동일한 문제를 고려할 것으로 예상되지는 않습니다. 많은 조사의 “개방형” 또한 학생들이 전체 상황을 완전히 다루지 못할 수도 있음을 의미합니다. 그러나 적어도 학생 자신의 만족을 위해서는 조사에 대한 몇 가지 특정 결과의 달성이 바람직합니다. 중요한 것은 학생들이 수학적 조사의 강조점인 다음과 같은 수학적 과정을 경험하게 된다는 것입니다.

  • 주어진 상황에 대한 체계적인 탐색
  • 문제 및 추측 공식화
  • 추측에 대한 수학적 정당성을 제공하려고 시도합니다.

이러한 종류의 활동과 교육에서 학생들은 자신의 학습 경험을 지도할 더 많은 기회를 갖게 됩니다. 예를 들어 조건 중 하나를 변경하여 문제를 확장하여 문제 해결 작업을 조사 작업으로 전환할 수 있습니다. 문제 해결에 대해 더 알고 수학 조사와 어떻게 다른지 알아보려면 연습 문제, 문제 해결 및 수학 조사에 대한 내 게시물을 읽으십시오.

일부 학부모와 교사는 학생들이 이런 종류의 활동에서 수학을 배우지 않는다고 불평합니다. 실제로 교사가 조사 결과에 대해 논의하지 않고, 잘못된 개념을 강조 및 수정하고, 학생들의 발견을 종합하고, 학생들이 조사에서 다루는 수학 개념을 연결하도록 도와주지 않는다면 그렇게 하지 않을 것입니다. 이것은 교사가 학생에게 조사를 제공하기 전에 먼저 조사를 시도해야 한다는 것은 말할 필요도 없습니다.

나는 수학적 탐구가 최고의 구성주의적 가르침이라고 생각한다. 샘플 강의를 보려면 다각형 및 대수식을 읽으십시오.

아래 책은 대학생을 위한 조사 “스타트업”입니다.


특정 항목을 찾고 계십니까? 아마도 현재 학교에서 공부하고 있는 주제를 보완하기 위한 운동입니다. 수학 지도를 사용하여 탐색하여 주제별로 그룹화된 연습 문제, 퍼즐 및 수학 수업 시작 항목을 찾으십시오.

이 활동이 유용하다고 생각되면 작업 계획 또는 학습 관리 시스템에 기록하는 것을 잊지 마십시오. 복사하여 붙여넣을 준비가 된 짧은 URL은 다음과 같습니다.

또는 Google 클래스룸을 사용하는 경우 아래의 녹색 아이콘을 클릭하기만 하면 수업 중 하나에 이 활동을 추가할 수 있습니다.

어떤 이유에서든 Transum.org가 오프라인으로 전환되어야 하는 경우 Transum.org에서 사용할 수 있는 대부분의 리소스가 포함된 Transum.com 및 Transum.info에 미러 사이트가 있다는 것을 기억할 가치가 있습니다.

수업에서 기술을 사용할 계획이라면 항상 플랜 B를 가지고 있어야 합니다!

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비디오 보기: 정석 고등수학하 연습문제21, 21-1번 21-14번 (12 월 2021).