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6.2: 슬라이싱으로 볼륨 결정하기

6.2: 슬라이싱으로 볼륨 결정하기



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학습 목표

  • 단면을 통합하여 고체의 부피를 결정합니다(슬라이싱 방법).
  • 원반법을 사용하여 회전체의 부피를 구합니다.
  • 와셔법을 사용하여 캐비티가 있는 회전체의 부피를 구합니다.

이전 섹션에서 두 곡선 사이의 면적을 찾기 위해 한정적분을 사용했습니다. 이 섹션에서는 한정적분을 사용하여 3차원 입체의 부피를 찾습니다. 우리는 고체의 특성에 따라 이러한 부피를 찾기 위해 슬라이싱, 디스크 및 와셔의 세 가지 접근 방식을 고려합니다.

부피와 슬라이싱 방법

면적이 2차원 영역의 수치적 척도인 것처럼 부피는 3차원 입체의 수치적 척도입니다. 우리 대부분은 기본 기하학적 공식을 사용하여 솔리드의 부피를 계산했습니다. 예를 들어 직사각형 솔리드의 체적은 길이, 너비 및 높이를 곱하여 계산할 수 있습니다. (V=lwh.) 다음의 체적에 대한 공식은 다음과 같습니다.

  • 구체

[V_{구}=dfrac{4}{3}πr^3,]

  • 원뿔

[V_{원뿔}=dfrac{1}{3}πr^2h]

  • 그리고 피라미드

[V_{피라미드}=dfrac{1}{3}아]

도 도입되었습니다. 이러한 공식 중 일부는 기하학만 사용하여 파생되었지만 이러한 모든 공식은 적분을 사용하여 얻을 수 있습니다.

실린더의 부피도 계산할 수 있습니다. 우리 대부분은 원통을 수프 캔이나 금속 막대와 같이 원형 바닥이 있는 것으로 생각하지만 수학에서 원통이라는 단어는 보다 일반적인 의미를 갖습니다. 이 보다 일반적인 맥락에서 실린더를 논의하려면 먼저 몇 가지 어휘를 정의해야 합니다.

우리는 정의 교차 구역 평면과 솔리드의 교차점이 되는 솔리드. 원통은 원통의 축이라고 하는 영역에 수직인 선을 따라 평면 영역을 변환하여 생성할 수 있는 모든 솔리드로 정의됩니다. 따라서 실린더의 축에 수직인 모든 단면은 동일합니다. 그림 (PageIndex{1})에 표시된 솔리드는 밑면이 원형이 아닌 실린더의 예입니다. 실린더의 부피를 계산하려면 단면적에 실린더의 높이를 곱하면 됩니다. (V=A⋅h.) 오른쪽 원형 실린더(수프 캔)의 경우, 이것은 (V=πr^2h.)가 됩니다.

고체의 단면이 일정하지 않은 경우(그리고 다른 기본 고체 중 하나가 아닌 경우) 부피에 대한 공식이 없을 수 있습니다. 이 경우 정적분을 사용하여 고체의 부피를 계산할 수 있습니다. 고체를 조각으로 자르고, 각 조각의 부피를 추정한 다음, 추정된 부피를 함께 더함으로써 이를 수행합니다. 슬라이스는 모두 서로 평행해야 하며 모든 슬라이스를 모으면 전체 솔리드가 되어야 합니다. 예를 들어 그림 (PageIndex{2})에 표시된 솔리드 S가 (x)-중심선.

(S)를 (x)에 수직인 조각으로 나누고 싶습니다.-중심선. 이 장의 뒷부분에서 볼 수 있듯이, 예를 들어 (y) 축에 수직인 슬라이스로 솔리드를 다른 방향으로 슬라이스하려는 경우가 있습니다. 솔리드를 슬라이스하는 방법의 결정은 매우 중요합니다. 잘못된 선택을 하면 계산이 매우 복잡해질 수 있습니다. 이 장의 뒷부분에서 이러한 상황 중 일부를 자세히 조사하고 솔리드를 슬라이스할 방법을 결정하는 방법을 살펴봅니다. 그러나 이 섹션의 목적을 위해 (x)-중심선.

단면적이 일정하지 않기 때문에 (A(x))는 점 x에서의 단면적을 나타냅니다. 이제 (P={x_0,x_1…,X_n})를 ([a,b])의 일반 파티션이라고 하고 (i=1,2,…n)에 대해 (S_i ) (x_{i−1}) 에서 (x_i) 까지 늘어나는 (S) 조각을 나타냅니다. 다음 그림은 (n=3)인 슬라이스 솔리드를 보여줍니다.

마지막으로 (i=1,2,…n,)에 대해 (x^*_i)를 ([x_{i−1},x_i])의 임의의 점이라고 하자. 그러면 슬라이스 (S_i)의 부피는 (V(S_i)≈A(x^*_i),Δx)로 추정할 수 있습니다. 이러한 근사치를 함께 추가하면 전체 솔리드 (S)의 부피가 다음과 같이 근사될 수 있음을 알 수 있습니다.

[V(S)≈sum_{i=1}^nA(x^*_i),Δx.]

이제 우리는 이것을 리만 합으로 인식할 수 있으며 다음 단계는 극한을 (n→∞.)로 취하는 것입니다.

[V(S)=lim_{n→∞}sum_{i=1}^nA(x^*_i),Δx=∫_a^b A(x),dx.]

방금 설명한 기술을 슬라이싱 방법이라고 합니다. 이를 적용하기 위해 다음 전략을 사용합니다.

문제 해결 전략: 슬라이싱 방법으로 볼륨 찾기

  1. 고체를 조사하고 고체의 단면 모양을 결정하십시오. 그림이 제공되지 않는 경우 그림을 그리는 것이 도움이 되는 경우가 많습니다.
  2. 단면적의 공식을 결정하십시오.
  3. 부피를 구하기 위해 적절한 간격에 걸쳐 면적 공식을 적분합니다.

이 섹션에서 슬라이스가 (x)-중심선. 따라서 면적 공식은 x로 표시되고 적분 한계는 (x)-중심선. 그러나 여기에 표시된 문제 해결 전략은 솔리드를 슬라이스하는 방법에 관계없이 유효합니다.

예 (PageIndex{1}): 피라미드 부피 공식 도출

피라미드의 부피 공식은 (V=dfrac{1}{3}Ah)라는 기하학을 통해 알 수 있습니다. 피라미드의 밑변이 정사각형이면 (V=dfrac{1}{3}a^2h)가 됩니다. 여기서 a는 밑변의 한 변의 길이를 나타냅니다. 이 공식을 유도하기 위해 슬라이싱 방법을 사용할 것입니다.

해결책

정사각형 밑면이 있는 피라미드에 슬라이싱 방법을 적용하려고 합니다. 적분을 설정하려면 그림 (PageIndex{4})에 표시된 피라미드를 고려하십시오.-중심선.

먼저 피라미드의 단면 모양을 결정하고 싶습니다. 우리는 밑변이 정사각형이라는 것을 알고 있으므로 횡단면도 정사각형입니다(1단계). 이제 우리는 이러한 횡단면 사각형 중 하나의 면적에 대한 공식을 결정하려고 합니다. 그림 (PageIndex{4}) (b)를 보고 비율을 사용하면 유사한 삼각형이므로

[dfrac{s}{a}=dfrac{x}{h}]

또는

[s=dfrac{ax}{h}.]

따라서 단면 정사각형 중 하나의 면적은

[A(x)=s^2=left(dfrac{ax}{h} ight)^2 quadquad ext{(2단계)}]

그런 다음 (0)에서 (h)로 적분하여 피라미드의 부피를 찾습니다(3단계).

[V=∫_0^hA(x),dx=∫_0^hleft(dfrac{ax}{h} ight)^2,dx=dfrac{a^2}{h^2 }∫_0^hx^2,dx=left.Big[dfrac{a^2}{h^2}left(dfrac{1}{3}x^3 ight)Big] 오른쪽|^h_0=dfrac{1}{3}a^2h.]

이것이 우리가 찾던 공식입니다.

운동 (PageIndex{1})

슬라이싱 방법을 사용하여 원뿔의 부피에 대한 공식 [V=dfrac{1}{3}πr^2h]를 유도합니다.

힌트

예제 (PageIndex{1})에서와 같이 유사한 삼각형을 사용하십시오.

혁명의 고체

평면의 영역이 해당 평면의 선을 중심으로 회전하면 결과로 생성되는 솔리드를 a 견고한 혁명, 다음 그림과 같이.

회전 고체는 선반으로 생산되는 기계 부품과 같은 기계 응용 분야에서 일반적입니다. 이 섹션의 나머지 부분에서는 이러한 유형의 솔리드를 살펴봅니다. 다음 예에서는 슬라이싱 방법을 사용하여 회전하는 솔리드의 부피를 계산합니다.

예 (PageIndex{2}): 슬라이싱 방법을 사용하여 회전하는 솔리드의 부피 찾기

슬라이싱 방법을 사용하여 (f(x)=x^2−4x+5,x=1) 및 (x=4,)의 그래프에 의해 경계가 지정되고 회전된 회전 솔리드의 부피를 찾습니다. (x) 축에 대해.

해결책

문제 해결 전략을 사용하여 먼저 다음 그림과 같이 구간 ([1,4])에 대한 이차 함수의 그래프를 스케치합니다.

그런 다음 다음 그림과 같이 (x) 축을 중심으로 영역을 회전합니다.

(x)를 중심으로 영역을 회전하여 솔리드가 형성되었으므로-중심선, 단면은 원입니다(1단계). 단면의 면적은 원의 면적이고 원의 반지름은 (f(x))로 표시됩니다. 원의 면적에 대한 공식을 사용하십시오.

[A(x)=πr^2=π[f(x)]^2=π(x^2−4x+5)^2quadquad ext{(2단계).}]

볼륨은 다음과 같습니다(3단계).

[egin{정렬*} V &=∫_a^b A(x),dx &=∫^4_1π(x^2−4x+5)^2,dx &=π∫^ 4_1(x^4−8x^3+26x^2−40x+25),dx &=왼쪽. πleft(dfrac{x^5}{5}−2x^4+dfrac{26x^3}{3}−20x^2+25x ight) ight|^4_1 &=dfrac{ 78}{5}π end{정렬*}]

부피는 (78π/5, ext{units}^3.)입니다.

운동 (PageIndex{2})

함수 (f(x)=1/x)의 그래프와 (x) 사이의 영역을 회전하여 형성되는 회전 입체의 부피를 찾기 위해 슬라이싱 방법을 사용합니다.-중심선 (x) 주변의 ([1,2]) 간격 동안-중심선. 다음 그림을 참조하십시오.

힌트

앞에서 제시한 문제 해결 전략을 사용하고 예제 (PageIndex{2})를 따라 2단계를 돕습니다.

대답

(dfrac{π}{2} , ext{단위}^3)

디스크 방식

회전하는 다면체로 슬라이싱 방법을 사용할 때 회전하는 다면체의 경우 솔리드의 부피를 과도하게 근사하는 데 사용되는 슬라이스가 디스크이기 때문에 종종 디스크 방법이라고 합니다. 이를 보기 위해 함수 (f(x)=(x−1)^2+1)의 그래프와 (x) 사이의 영역을 회전하여 생성된 회전 입체를 고려하십시오.-중심선 (x) 주위의 간격 ([−1,3]) 동안-중심선. 함수의 그래프와 대표적인 디스크는 그림 (PageIndex{8}) (a)와 (b)에 나와 있습니다. 회전 영역과 결과 솔리드는 그림 (PageIndex{8}) (c) 및 (d)에 나와 있습니다.

그림 (PageIndex{8}): (e) CalcPlot3D를 사용하여 생성된 이 회전 솔리드의 동적 버전.

슬라이싱 방법을 개발할 때 볼륨 공식의 형식적인 리만 합 전개를 이미 사용했습니다. [∫_a^b A(x),dx. onumber]

디스크 방법과의 유일한 차이점은 단면적에 대한 공식을 미리 알고 있다는 것입니다. 원의 면적입니다. 이것은 다음 규칙을 제공합니다.

디스크 방식

(f(x)) 가 연속적이고 음이 아니라고 하자. (R)을 (f(x))의 그래프에 의해 위쪽으로 경계가 지정된 영역으로 정의하고 아래에서 (x)-중심선, 왼쪽에는 (x=a) 줄, 오른쪽에는 (x=b) 줄입니다. 그러면, (x)를 중심으로 (R)를 회전시켜 형성된 회전체의 부피-중심선 에 의해 주어진다

[V=∫^b_ari[f(x)]^2,dx.]

우리가 연구한 고체의 부피(그림 (PageIndex{8}))는 다음과 같습니다.

[egin{align*} V &=∫^b_arπleft[f(x) ight]^2,dx
&=∫^3_{−1}πig[(x−1)^2+1ig]^2,dx=π∫^3_{−1}ig[(x−1)^4+ 2(x−1)^2+1ig]^2,dx
&=πleft.큰[frac{1}{5}(x−1)^5+frac{2}{3}(x−1)^3+xBig] ight|^3_ {−1}
&=πleft[left(frac{32}{5}+frac{16}{3}+3 ight)−left(−frac{32}{5}−frac{16} {3}−1오른쪽)오른쪽]
&=frac{412π}{15}, ext{단위}^3. end{정렬*}]

몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예 (PageIndex{3}): 디스크 방법을 사용하여 회전하는 솔리드 1의 부피 찾기

디스크법을 사용하여 (f(x)=sqrt{x}) 그래프와 (x) 사이의 영역을 회전하여 생성된 회전체의 부피를 구합니다.-중심선 (x) 주변의 ([1,4]) 간격 동안-중심선.

해결책

함수의 그래프와 회전의 솔리드는 다음 그림에 나와 있습니다.

우리는

[ egin{align*} V&=∫^b_ariig[f(x)ig]^2,dx
&=∫^4_1πleft[sqrt{x} ight]^2,dx=π∫^4_1x,dx
&=dfrac{π}{2}x^2igg|^4_1=dfrac{15π}{2} end{align*}]

부피는 ((15π)/2 , ext{units}^3.)

운동 (PageIndex{3})

디스크 방법을 사용하여 (f(x)=sqrt{4−x}) 그래프와 (x) 사이의 영역을 회전하여 생성된 회전 솔리드의 부피를 찾습니다.-중심선 (x) 주변의 ([0,4]) 간격 동안-중심선.

힌트

예제 (PageIndex{3})의 절차를 사용하십시오.

대답

(8π , ext{단위}^3)

지금까지 우리의 예에는 (x)-중심선, 그러나 수평 또는 수직선을 중심으로 평면 영역을 회전하여 회전의 ​​입체를 생성할 수 있습니다. 다음 예에서는 (y)-중심선. 디스크 방식의 메커니즘은 (x)-중심선 는 회전축이지만 (y)로 함수를 표현하고 y에 대해서도 적분합니다. 이것은 다음 규칙에 요약되어 있습니다.

규칙: (y) 축을 중심으로 회전하는 솔리드에 대한 디스크 방법

(g(y))가 연속적이고 음이 아니라고 하자. (Q)를 (g(y))의 그래프에 의해 오른쪽으로 경계가 지정된 영역으로 정의하고 왼쪽에 (y)-중심선, 아래에서 (y=c) 줄로, 위로 (y=d) 줄로. 그러면, (y)를 중심으로 (Q)를 회전시켜 형성된 회전체의 부피-중심선 에 의해 주어진다

[V=∫^d_cπig[g(y)ig]^2,dy.]

다음 예는 이 규칙이 실제로 어떻게 작동하는지 보여줍니다.

예 (PageIndex{4}): 디스크 방법을 사용하여 회전하는 솔리드 2의 부피 찾기

(R)을 (g(y)=sqrt{4−y})의 그래프와 (y)-중심선 (y) 이상-중심선 간격 ([0,4]). 원반법을 사용하여 (y)를 중심으로 (R)를 회전하여 생성된 회전체의 부피를 구합니다.-중심선.

해결책

그림 (PageIndex{10})는 함수와 볼륨 추정에 사용할 수 있는 대표적인 디스크를 보여줍니다. (y)-중심선, 디스크는 수직이 아닌 수평입니다.

회전할 영역과 회전의 전체 솔리드가 다음 그림에 표시됩니다.

볼륨을 찾기 위해 (y)에 대해 적분합니다. 우리는 얻는다

[V=∫^d_cπig[g(y)ig]^2,dy=∫^4_0πleft[sqrt{4−y} ight]^2,dy=π∫^4_0( 4−y),dy=πleft.left[4y−frac{y^2}{2} ight] ight|^4_0=8π.]

부피는 (8π , ext{units}^3)입니다.

운동 (PageIndex{4})

원반법을 사용하여 (g(y)=y) 그래프와 (y) 사이의 영역을 회전하여 생성된 회전체의 부피를 구합니다.-중심선 (y) 주위의 ([1,4]) 간격 동안-중심선.

힌트

예제 (PageIndex{4})의 절차를 사용하십시오.

대답

(21π , ext{단위}^3)

와셔 방식

일부 혁명의 고체에는 중간에 구멍이 있습니다. 그들은 혁명의 축까지 견고하지 않습니다. 때때로 이것은 회전 축을 기준으로 회전 영역이 형성되는 방식의 결과일 뿐입니다. 다른 경우에는 회전 영역이 두 함수의 그래프 사이의 영역으로 정의될 때 캐비티가 발생합니다. 이것이 일어날 수 있는 세 번째 방법은 (x)-중심선 또는 (y)-중심선 선택됩니다.

회전체의 솔리드 중간에 공동이 있는 경우 볼륨을 근사화하는 데 사용되는 슬라이스는 디스크가 아니라 와셔(중앙에 구멍이 있는 디스크)입니다. 예를 들어, 구간 (f(x)=sqrt{x})의 그래프에 의해 위쪽으로 경계가 지정된 영역과 구간 에 대해 함수 (g(x)=1)의 그래프로 경계가 지정된 영역을 고려하십시오. ([1,4]). 이 영역이 (x)를 중심으로 회전할 때-중심선, 결과는 중간에 공동이 있는 솔리드이고 슬라이스는 와셔입니다. 함수의 그래프와 대표적인 와셔는 그림 (PageIndex{12}) (a)와 (b)에 나와 있습니다. 회전 영역과 결과 솔리드는 그림 (PageIndex{12}) (c) 및 (d)에 나와 있습니다.

그림 (PageIndex{12}): (e) CalcPlot3D를 사용하여 생성된 이 회전 솔리드의 동적 버전.

단면적은 외부 원의 면적에서 내부 원의 면적을 뺀 것입니다. 이 경우,

(A(x)=πleft(sqrt{x} ight)^2−π(1)^2=π(x−1).)

그러면 고체의 부피는

[V=∫^b_a A(x),dx=∫^4_1π(x−1),dx=πleft.left[frac{x^2}{2}−x ight] 오른쪽|^4_1=frac{9}{2}π, ext{단위}^3.]

이 과정을 일반화하면 와셔 방식.

규칙: 와셔 방법

(f(x)) 및 (g(x))가 ([a,b])보다 (f(x)≥g(x))인 연속적이고 음이 아닌 함수라고 가정합니다. (R) 을 (f(x)) 의 그래프로 위쪽에 경계 영역을 표시하고, 아래쪽에 (g(x)) 의 그래프로 경계를 지정하고, 왼쪽에 라인 (x=a)를 표시합니다. ), 오른쪽에 (x=b) 줄 옆에 있습니다. 그러면, (x)를 중심으로 (R)를 회전시켜 형성된 회전체의 부피-중심선 에 의해 주어진다

[V=∫^b_arπleft[(f(x))^2−(g(x))^2 ight],dx.]

예 (PageIndex{5}): 워셔 방법 사용

구간에 걸쳐 (f(x)=x)의 그래프와 아래의 (g(x)=1/x) 그래프로 경계를 이루는 영역을 회전하여 형성된 회전체의 부피를 구합니다. ([1,4]) (x)-중심선.

해결책

함수의 그래프와 회전의 입체는 다음 그림에 나와 있습니다.

우리는

[egin{align*} V &=∫^b_arπig[(f(x))^2−(g(x))^2ig],dx=π∫^4_1left[x^ 2−left(frac{1}{x} ight)^2 ight],dx
&=πleft.left[frac{x^3}{3}+frac{1}{x} ight] ight|^4_1
&=dfrac{81π}{4}, ext{단위}^3. end{정렬*}]

그림 (PageIndex{13}): (c) CalcPlot3D를 사용하여 생성된 이 회전 솔리드의 동적 버전.

운동 (PageIndex{5})

구간 ( [1,3]) 주변 (x)-축.

힌트

함수를 그래프로 표시하여 상한을 형성하는 그래프와 하한을 형성하는 그래프를 결정한 다음 (PageIndex{5}) 예제의 절차를 사용하십시오.

대답

(dfrac{10π}{3} , ext{단위}^3)

디스크 방법과 마찬가지로 와셔 방법을 (y) 축을 중심으로 한 영역을 회전하여 발생하는 회전 솔리드에도 적용할 수 있습니다. 이 경우 다음 규칙이 적용됩니다.

규칙: (y)-축을 중심으로 회전하는 솔리드에 대한 워셔 방법

(u(y)) 및 (v(y))가 (y∈[c,d])에 대해 (v(y)≤u(y))와 같은 음이 아닌 연속 함수라고 가정합니다. . (Q)가 (u(y))의 그래프에 의해 오른쪽에 경계가 지정된 영역을 표시하고 (v(y))의 그래프에 의해 왼쪽에, 아래에 선 (y= c), 위는 (y=d) 줄입니다. 그러면, (y)를 중심으로 (Q)를 회전시켜 형성된 회전체의 부피-중심선 에 의해 주어진다

[V=∫^d_cπleft[(u(y))^2−(v(y))^2 ight],dy.]

(y) 로 워셔 방식의 예를 보기 보다는-중심선 회전축으로 회전축이 두 좌표축 중 하나가 아닌 선인 예를 고려합니다. 동일한 일반적인 방법이 적용되지만 볼륨의 단면적을 설명하는 방법을 시각화해야 할 수도 있습니다.

예 (PageIndex{6}):

위쪽은 (f(x)=4−x)이고 아래쪽은 (x)인 영역을 회전하여 형성된 회전체의 부피를 구합니다.-중심선 라인 (y=−2.) 주위의 간격 ([0,4]) 동안

해결책

영역과 회전체의 그래프는 다음 그림과 같습니다.

회전축이 좌표축 중 하나가 아니기 때문에 이 문제에 체적 공식을 직접 적용할 수 없습니다. 그러나 단면적은 외부 원의 면적에서 내부 원의 면적을 뺀 것임을 여전히 알고 있습니다. 함수의 그래프를 보면 바깥쪽 원의 반지름이 (f(x)+2,)로 주어지며 다음과 같이 단순화됩니다.

(f(x)+2=(4−x)+2=6−x.)

내부 원의 반지름은 (g(x)=2.)이므로,

[egin{align*} V &=∫^4_0πleft[(6−x)^2−(2)^2 ight],dx
&=π∫^4_0(x^2−12x+32),dx=πleft.left[frac{x^3}{3}−6x^2+32x ight] ight|^4_0
&=dfrac{160π}{3}, ext{단위}^3.end{정렬*}]

그림 (PageIndex{14}): (c) CalcPlot3D를 사용하여 생성된 이 회전 솔리드의 동적 버전.

운동 (PageIndex{6})

위로는 (f(x)=x+2), 아래로는 (x)-중심선 라인 (y=−1.) 주위의 간격 ([0,3]) 동안

힌트

예제 (PageIndex{6})의 절차를 사용하십시오.

대답

(60π) 단위3

주요 컨셉

  • 유한 적분을 사용하여 고체의 부피를 찾을 수 있습니다. 슬라이싱 방법을 사용하여 단면적을 통합하여 볼륨을 찾을 수 있습니다.
  • 회전 솔리드의 경우 볼륨 슬라이스는 종종 디스크이고 단면은 원입니다. 원반의 방법은 단면이 원인 특별한 경우에 슬라이스 방법을 적용하고 원의 면적 공식을 사용합니다.
  • 회전하는 솔리드의 중심에 공동이 있는 경우 볼륨 슬라이스는 와셔입니다. 와셔 방법을 사용하면 적분하기 전에 외부 원의 면적에서 내부 원의 면적을 뺍니다.

주요 방정식

  • (x) 축을 따른 디스크 방법

(디스플레이 스타일 V=∫^b_ariig[f(x)ig]^2,dx)

  • (y) 축을 따른 디스크 방법

(디스플레이 스타일 V=∫^d_cπig[g(y)ig]^2,dy)

  • 와셔 방식

(displaystyle V=∫^b_arileft[(f(x))^2−(g(x))^2 ight],dx)

용어 사전

교차 구역
평면과 입체 물체의 교차점
디스크 방식
슬라이스가 디스크일 때 회전하는 솔리드와 함께 사용되는 슬라이스 방법의 특별한 경우
슬라이싱 방법
고체를 조각으로 자르고 각 조각의 부피를 추정한 다음 이러한 추정치를 추가하여 총 부피의 추정치를 얻는 것을 포함하는 고체의 부피를 계산하는 방법; 조각의 수가 무한대가 되면 이 추정치는 부피의 정확한 값을 제공하는 적분이 됩니다.
견고한 혁명
평면의 선을 중심으로 평면의 영역을 회전하여 생성된 솔리드
와셔 방식
슬라이스가 와셔일 때 회전하는 솔리드와 함께 사용되는 슬라이스 방법의 특별한 경우


비디오 보기: Chapter 06. 데이터 분석 - Section 03 필터와 통합으로 데이터 추출하기 (팔월 2022).