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9.4: 비교 테스트

9.4: 비교 테스트



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학습 목표

  • 수렴에 대한 계열을 테스트하려면 비교 테스트를 사용합니다.
  • 극한 비교 테스트를 사용하여 계열의 수렴을 확인합니다.

적분 테스트를 통해 계열을 관련된 부적절한 적분과 비교하여 수렴 또는 발산을 결정할 수 있음을 확인했습니다. 이 섹션에서는 수렴 또는 발산이 알려진 계열과 비교하여 계열의 수렴 또는 발산을 결정하기 위해 비교 테스트를 사용하는 방법을 보여줍니다. 일반적으로 이러한 테스트는 기하 급수 또는 (p)-계열과 유사한 급수의 수렴을 결정하는 데 사용됩니다.

비교 테스트

앞의 두 섹션에서 기하 급수와 (p)-급수라는 두 가지 큰 계열 클래스에 대해 논의했습니다. 우리는 이 급수가 수렴할 때와 발산할 때를 정확히 알고 있습니다. 여기서 우리는 이 급수의 수렴 또는 발산을 사용하여 다른 급수에 대한 수렴 또는 발산을 증명하는 방법을 보여줍니다. 비교 테스트.

예를 들어 시리즈를 고려하십시오.

[sum_{n=1}^∞dfrac{1}{n^2+1}.]

이 시리즈는 수렴 시리즈와 유사합니다.

[sum_{n=1}^∞dfrac{1}{n^2}]

각 급수의 항이 양수이므로 각 급수에 대한 부분합의 수열은 단조 증가합니다. 또한, 이후

[0

모든 양의 정수 (n)에 대해 (displaystyle sum^∞_{n=1}dfrac{1의 (k^{ ext{th}}) 부분합 (S_k) }{n^2+1}) 만족

[S_k=sum_{n=1}^kdfrac{1}{n^2+1}

(그림 (PageIndex{1a}) 및 표 (PageIndex{1}) 참조) 오른쪽의 계열이 수렴하므로 시퀀스 ({S_k})가 위쪽으로 제한됩니다. 우리는 ({S_k})가 위에 경계가 있는 단조 증가 시퀀스라는 결론을 내립니다. 따라서 Monotone Convergence Theorem에 의해 ({S_k})는 수렴하므로

[sum_{n=1}^∞dfrac{1}{n^2+1}]

수렴합니다.

마찬가지로 시리즈를 고려하십시오.

[sum_{n=1}^∞dfrac{1}{n−1/2}.]

이 시리즈는 다이버전트 시리즈와 유사합니다.

[sum_{n=1}^∞dfrac{1}{n}.]

각 계열에 대한 부분합의 시퀀스는 모노톤 증가 및

[dfrac{1}{n−1/2}>dfrac{1}{n}>0]

모든 양의 정수 (n)에 대해. 따라서 (k^{ ext{th}}) 부분합 (S_k)

[ sum^∞_{n=1}dfrac{1}{n−1/2}]

만족

[S_k=sum_{n=1}^kdfrac{1}{n−1/2}>sum_{n=1}^kdfrac{1}{n}.]

(그림 (PageIndex{1n}) 및 표 (PageIndex{1}) 참조). 급수 (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{1}{n})는 무한대로 발산하므로 부분합의 시퀀스 (displaystyle sum^k_{n=1} frac{1}{n})은 무한합니다. 결과적으로 ({S_k})는 무한 수열이므로 발산합니다. 우리는 결론

[sum_{n=1}^∞dfrac{1}{n−1/2}]

갈라진다.

테이블 (PageIndex{1}): 시리즈와 (p) 시리즈 비교((p = 2))
(케이)12345678
(displaystyle sum_{n=1}^kdfrac{1}{n^2+1})0.50.70.80.85880.89730.92430.94430.9597
(displaystyle sum_{n=1}^kdfrac{1}{n^2})11.251.36111.42361.46361.49141.51181.5274
표 (PageIndex{2}): 계열과 고조파 계열 비교
(케이)12345678

(displaystyle sum_{n=1}^kdfrac{1}{n−1/2})

22.66673.06673.35243.57463.75643.91034.0436
(displaystyle sum_{n=1}^kdfrac{1}{n})11.51.83332.09332.28332.452.59292.7179

비교 테스트

  1. 모든 (n≥N)에 대해 (0≤a_n≤b_n)인 정수 (N)가 있다고 가정합니다. (displaystyle sum^∞_{n=1}b_n) 수렴하면 (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) 수렴됩니다.
  2. 모든 (n≥N.)에 대해 (a_n≥b_n≥0)인 정수 (N)가 있다고 가정합니다. (displaystyle sum^∞_{n=1}b_n) , (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) 가 발산합니다.

증거

우리는 부분 i를 증명합니다. 파트 ii의 증거. 부분 i의 반대입니다. ({S_k})를 (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n)과 관련된 부분합의 시퀀스라고 하고 (displaystyle L=sum^∞_{n= 1}b_n). 항이 (a_n≥0,)이므로

[S_k=a_1+a_2+⋯+a_k≤a_1+a_2+⋯+a_k+a_{k+1}=S_{k+1}. 숫자]

따라서 부분합의 시퀀스가 ​​증가합니다. 또한 모든 (n≥N)에 대해 (a_n≤b_n)이므로

[sum_{n=N}^ka_n≤sum_{n=N}^kb_n≤sum_{n=1}^∞b_n=L. 숫자]

따라서 모든 (k≥1)에 대해,

[S_k=(a_1+a_2+⋯+a_{N−1})+sum_{n=N}^ka_n≤(a_1+a_2+⋯+a_{N−1})+L. 숫자]

(a_1+a_2+⋯+a_{N−1})는 유한 수이므로 시퀀스 ({S_k})가 위의 경계라고 결론을 내립니다. 따라서 ({S_k})는 위에 경계가 있는 증가하는 수열입니다. Monotone Convergence Theorem에 의해 ({S_k})가 수렴하므로 시리즈 (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n)가 수렴한다는 결론을 내립니다.

시리즈 (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n)의 수렴 또는 발산을 결정하기 위해 비교 테스트를 사용하려면 비교할 적절한 시리즈를 찾아야 합니다. 기하 급수와 (p)- 급수의 수렴 특성을 알고 있기 때문에 이러한 급수가 자주 사용됩니다. 모든 (n≥N)에 대해 각 항 an이 알려진 수렴 급수의 각 대응 항보다 작은 정수 (N)가 있으면 (displaystyle sum_{n=1}^ ∞a_n) 수렴합니다. 유사하게, 모든 (n≥N)에 대해 각 항 an이 알려진 발산 급수의 각 대응 항보다 큰 정수 (N)가 존재하면 (displaystyle sum_{n=1 }^∞a_n) 발산합니다.

예 (PageIndex{1}): 비교 테스트 사용

다음 계열 각각에 대해 비교 검정을 사용하여 계열이 수렴하는지 발산하는지 확인합니다.

  1. (displaystyle sum_{n=1}^∞=dfrac{1}{n^3+3n+1})
  2. (displaystyle sum_{n=1}^∞=dfrac{1}{2^n+1})
  3. (displaystyle sum_{n=2}^∞=dfrac{1}{ln ,n })

해결책

NS. (displaystyle sum_{n=1}^∞dfrac{1}{n^3})와 비교하십시오. (displaystyle sum_{n=1}^∞dfrac{1}{n^3})는 (p=3)인 (p) 급수이므로 수렴합니다. 더 나아가,

[dfrac{1}{n^3+3n+1}

모든 양의 정수 (n)에 대해. 따라서 (displaystyle sum^∞_{n=1}dfrac{1}{n^3+3n+1}) 수렴한다는 결론을 내릴 수 있습니다.

NS. (displaystyle sum^∞_{n=1}left(dfrac{1}{2} ight)^n)와 비교하십시오. (displaystyle sum_{n=1}^∞left(dfrac{1}{2} ight)^n) 은 (r=dfrac{1}{2} ) 및 (left|dfrac{1}{2} ight|<1), 수렴합니다. 또한,

[dfrac{1}{2^n+1}

모든 양의 정수 (n)에 대해. 따라서 (displaystyle sum^∞_{n=1}dfrac{1}{2^n+1}) 수렴하는 것을 볼 수 있습니다.

씨. (displaystyle sum^∞_{n=2}dfrac{1}{n})와 비교하십시오. 부터

[dfrac{1}{ln n }>dfrac{1}{n} onumber]

모든 정수 (n≥2) 및 (displaystyle sum^∞_{n=2}dfrac{1}{n}) 발산에 대해 (displaystyle sum^∞_{ n=2}dfrac{1}{ln n}) 발산합니다.

운동 (PageIndex{1})

비교 테스트를 사용하여 계열 (displaystyle sum^∞_{n=1}dfrac{n}{n^3+n+1})이 수렴하는지 발산하는지 확인합니다.

힌트

(dfrac{n}{n^3+n+1}≤dfrac{1}{n^p})와 같은 값 (p)를 찾습니다.

답변

시리즈가 수렴합니다.

한계 비교 테스트

비교 테스트는 테스트 가설을 만족하는 비교 가능한 시리즈를 찾을 수 있으면 잘 작동합니다. 그러나 때때로 적절한 시리즈를 찾는 것이 어려울 수 있습니다. 시리즈를 고려하십시오

[sum_{n=2}^∞dfrac{1}{n^2−1}.]

이 계열을 수렴 계열과 비교하는 것은 당연하다.

[sum_{n=2}^∞dfrac{1}{n^2}.]

그러나 이 계열은 비교 검정을 사용하는 데 필요한 가설을 충족하지 못하기 때문에

[dfrac{1}{n^2−1}>dfrac{1}{n^2}]

모든 정수 (n≥2)에 대해. (displaystyle sum^∞_{n=2}frac{1}{n^2−1},) 비교할 다른 시리즈를 찾을 수도 있지만 대신 한계 비교 테스트 비교하기 위해서

[sum_{n=2}^∞frac{1}{n^2−1}]

그리고

[sum_{n=2}^∞frac{1}{n^2}.]

극한 비교 테스트의 이면에 있는 아이디어를 살펴보겠습니다. 두 시리즈 (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) 및 (displaystyle sum^∞_{n=1}b_n)을 고려하십시오. 긍정적인 용어 (a_n) 및 (b_n)로 평가하고

[lim_{n→∞}frac{a_n}{b_n}.]

만약에

[lim_{n→∞}frac{a_n}{b_n}=L≠0,]

그러면 충분히 큰 (n)에 대해 (a_n≈Lb_n)입니다. 따라서 두 계열이 모두 수렴하거나 두 계열이 모두 발산합니다. 시리즈 (displaystyle sum^∞_{n=2}frac{1}{n^2−1}) 및 (displaystyle sum^∞_{n=2}dfrac{1 }{n^2}), 우리는

[lim_{n→∞}dfrac{1/(n^2−1)}{1/n^2}=lim_{n→∞}dfrac{n^2}{n^2−1 }=1.]

(displaystyle sum^∞_{n=2}frac{1}{n^2}) 가 수렴하므로 다음과 같은 결론을 내립니다.

[sum_{n=2}^∞dfrac{1}{n^2−1}]

수렴합니다.

한계 비교 테스트는 다른 두 가지 경우에 사용할 수 있습니다. 가정하다

[lim_{n→∞}dfrac{a_n}{b_n}=0.]

이 경우 ({a_n/b_n})은 제한된 시퀀스입니다. 그 결과, (a_n≤Mb_n)와 같은 상수 (M)가 존재합니다. 따라서 (displaystyle sum^∞_{n=1}b_n) 수렴하면 (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) 수렴됩니다. 한편,

[lim_{n→∞}dfrac{a_n}{b_n}=∞.]

이 경우 ({a_n/b_n})은 무한 시퀀스입니다. 따라서 모든 상수 (M)에는 모든 (n≥N.)에 대해 (a_n≥Mb_n)이 되는 정수 (N)가 존재합니다. 따라서 (displaystyle sum^∞_ {n=1}b_n)이 발산한 다음 (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n)도 발산합니다.

한계 비교 테스트

모든 (n≥1.)에 대해 (a_n,b_n≥0)

  1. (displaystyle lim_{n→∞}frac{a_n}{b_n}=L≠0,)이면 (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) 및 (displaystyle sum^∞_{n=1}b_n) 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산합니다.
  2. (displaystyle lim_{n→∞}frac{a_n}{b_n}=0) 및 (displaystyle sum^∞_{n=1}b_n) 가 수렴하면 (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) 수렴합니다.
  3. (displaystyle lim_{n→∞}frac{a_n}{b_n}=∞) 및 (displaystyle sum^∞_{n=1}b_n) 가 발산하면 (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) 발산합니다.

(dfrac{a_n}{b_n}→0) 및 (displaystyle sum^∞_{n=1}b_n) 가 발산하면 극한 비교 테스트는 정보를 제공하지 않습니다. 마찬가지로 (dfrac{a_n}{b_n}→∞) 및 (displaystyle sum^∞_{n=1}b_n) 가 수렴하면 테스트도 정보를 제공하지 않습니다. 예를 들어, (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{sqrt{n}}) 및 (displaystyle sum_{n=1}^∞frac {1}{n^2}). 이 시리즈는 각각 (p=frac{1}{2}) 및 (p=2)인 (p) 시리즈입니다. (p=frac{1}{2}<1,)이므로 급수 (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{sqrt{n}})는 발산합니다. 반면 (p=2>1)이므로 급수 (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n^2})는 수렴합니다. 그러나 수렴을 사용하여 극한 비교 테스트를 적용하려고 시도했다고 가정합니다. (p)-계열 (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n^3}) 비교 시리즈입니다. 첫째, 우리는 그것을 본다

[dfrac{1/sqrt{n}}{1/n^3}=dfrac{n^3}{sqrt{n}}=n^{5/2}→∞; ext{ as } ;n→∞.]

유사하게, 우리는 그것을 본다

[dfrac{1/n^2}{1/n^3}=n→∞; ext{ as } ;n→∞.]

따라서 (dfrac{a_n}{b_n}→∞) 가 (displaystyle sum_{n=1}^∞b_n) 수렴하면 ( displaystyle sum_{n=1}^∞a_n).

예 (PageIndex{2}): 한계 비교 테스트 사용

다음 계열 각각에 대해 극한 비교 검정을 사용하여 계열이 수렴하는지 발산하는지 확인합니다. 테스트가 적용되지 않으면 그렇게 말하십시오.

  1. (displaystyle sum^∞_{n=1}dfrac{1}{sqrt{n}+1})
  2. (displaystyle sum^∞_{n=1}dfrac{2^n+1}{3^n})
  3. (displaystyle sum^∞_{n=1}dfrac{ln(n)}{n^2})

해결책

NS. 이 계열을 (displaystyle sum^∞_{n=1}dfrac{1}{sqrt{n}})와 비교하십시오. 계산하다

(displaystyle lim_{n→∞}dfrac{1/(sqrt{n}+1)}{1/sqrt{n}}=lim_{n→∞}dfrac{sqrt{n }}{sqrt{n}+1}=lim_{n→∞}dfrac{1/sqrt{n}}{1+1/sqrt{n}}=1.)

극한 비교 테스트에서는 (displaystyle sum^∞_{n=1}dfrac{1}{sqrt{n}}) 가 발산하므로 (displaystyle sum^∞_{n= 1}dfrac{1}{sqrt{n}+1}) 발산합니다.

NS. 이 계열을 (displaystyle sum^∞_{n=1}left(dfrac{2}{3} ight)^n)와 비교하십시오. 우리는 그것을 본다

(displaystyle lim_{n→∞}dfrac{(2^n+1)/3^n}{2^n/3^n}=lim_{n→∞}dfrac{2^n+ 1}{3^n}⋅dfrac{3^n}{2^n}=lim_{n→∞}dfrac{2^n+1}{2^n}=lim_{n→∞} left[1+left( frac{1}{2} ight)^n ight]=1.)

그러므로,

(displaystyle lim_{n→∞}dfrac{(2^n+1)/3^n}{2^n/3^n}=1.)

(displaystyle sum^∞_{n=1}left(dfrac{2}{3} ight)^n) 가 수렴하므로 (displaystyle sum^∞_{n= 1}dfrac{2^n+1}{3^n}) 수렴합니다.

씨. (ln n

(displaystyle lim_{n→∞}dfrac{ln n/n^2}{1/n}=lim_{n→∞}dfrac{ln n}{n^2}⋅dfrac {n}{1}=lim_{n→∞}dfrac{ln n}{n}.)

(displaystyle lim_{n→∞}ln n/n)을 계산하려면 실수값 함수 (ln(x)/x)의 (x→∞)로 극한을 평가하십시오. ). 이 두 한계는 동일하며 이 변경을 통해 L'Hôpital의 규칙을 사용할 수 있습니다. 우리는 얻는다

(displaystyle lim_{x→∞}dfrac{lnx}{x}=lim_{x→∞}dfrac{1}{x}=0.)

따라서 (displaystyle lim_{n→∞}frac{ln n}{n}=0), 그리고 결과적으로,

(displaystyle lim_{n→∞}dfrac{(ln n)/n^2}{1/n}=0.)

극한은 (0)이지만 (displaystyle sum^∞_{n=1}dfrac{1}{n}) 발산하므로 극한 비교 테스트에서는 정보를 제공하지 않습니다.

대신 (displaystyle sum^∞_{n=1}dfrac{1}{n^2})와 비교하십시오. 이 경우,

(displaystyle lim_{n→∞}dfrac{(ln n)/n^2}{1/n^2}=lim_{n→∞}dfrac{ln n}{n^2 }⋅dfrac{n^2}{1}=lim_{n→∞}ln n=∞.)

극한은 (∞)이지만 (displaystyle sum^∞_{n=1}dfrac{1}{n^2}) 수렴하므로 테스트는 여전히 어떤 정보도 제공하지 않습니다.

이제 우리는 이미 시도한 두 가지 사이의 시리즈를 시도합니다. (displaystyle sum^∞_{n=1}dfrac{1}{n^{3/2}}) 계열을 선택하면

(displaystyle lim_{n→∞}dfrac{(ln n)/n^2}{1/n^{3/2}}=lim_{n→∞}dfrac{ln n} {n^2}⋅dfrac{n^{3/2}}{1}=lim_{n→∞}dfrac{ln n}{sqrt{n}}).

위와 같이 (displaystyle lim_{n→∞}frac{ln n}{sqrt{n}})를 계산하기 위해 극한을 실수의 (x→∞)로 평가한다. 가치 함수 (frac{ln n}{sqrt{n}}). 로피탈의 법칙을 이용하여,

(displaystyle lim_{x→∞}dfrac{ln x}{sqrt{x}}=lim_{x→∞}dfrac{2sqrt{x}}{x}=lim_{ x→∞}dfrac{2}{sqrt{x}}=0).

극한은 (0)이고 (displaystyle sum^∞_{n=1}dfrac{1}{n^{3/2}}) 수렴하므로 (displaystyle sum^∞_{n=1}dfrac{ln n}{n^2}) 수렴합니다.

운동 (PageIndex{2})

극한 비교 검정을 사용하여 (displaystyle sum^∞_{n=1}dfrac{5^n}{3^n+2}) 계열이 수렴하는지 발산하는지 확인합니다.

힌트

기하 급수와 비교하십시오.

답변

시리즈가 갈라집니다.

주요 컨셉

  • 비교 테스트는 양수 항이 있는 계열의 수렴 또는 발산을 결정하는 데 사용됩니다.
  • 비교 테스트를 사용할 때 시리즈 (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n)는 종종 기하 또는 (p) 시리즈와 비교됩니다.

용어 사전

비교 테스트
모든 (n≥N) 및 (displaystyle sum^∞_{n=1}b_n)에 대해 (0≤a_n≤b_n)이 수렴하면 (displaystyle sum^∞_{ n=1}a_n) 수렴합니다. 모든 (n≥N) 및 (displaystyle sum^∞_{n=1}b_n)에 대해 (a_n≥b_n≥0)이 발산하면 (displaystyle sum^∞_{ n=1}a_n) 분기합니다.
한계 비교 테스트
모든 (n≥1)에 대해 (a_n,b_n≥0)이라고 가정합니다. (displaystyle lim_{n→∞}a_n/b_n→L≠0)이면 (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) 및 (displaystyle sum^∞_ {n=1}b_n) 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산합니다. (displaystyle lim_{n→∞}a_n/b_n→0) 및 (displaystyle sum^∞_{n=1}b_n) 수렴하면 (displaystyle sum^∞_{ n=1}a_n) 수렴합니다. (displaystyle lim_{n→∞}a_n/b_n→∞) 및 (displaystyle sum^∞_{n=1}b_n) 가 발산하면 (displaystyle sum^∞_ {n=1}a_n) 분기합니다.

콘텐츠 미리보기

지금까지 우리의 모든 예는 단일 인구 비율이 NS 어떤 값 (p_0)과 같습니다. 이제 하나의 모집단 비율 (p_1)이 두 번째 모집단 비율 (p_2)과 같은지 여부를 테스트하는 데 잠시 주의를 돌려 보겠습니다. 또한 지금까지의 대부분의 예는 대립 가설이 (H_A colon p < p_0)를 포함하는 왼쪽 꼬리 검정 또는 대립 가설이 (H_A colon p > p_0)을 포함하는 오른쪽 꼬리 검정을 포함했습니다. . 여기에서 두 비율이 같지 않은 대안에 대해 두 비율의 동등성을 테스트하는 예를 살펴보겠습니다. 통계 표기법을 사용하여 다음을 테스트합니다.

(H_0 콜론 p_1 = p_2) 대 (H_A 콜론 p_1 e p_2)


C++는 소수 테스트에서 Python보다 9.4배 빠릅니다.

소수는 흥미로운 연구 분야입니다. NS 소수, 라고도 한다. 초기 간단히 말해서, 는 두 개의 작은 자연수의 곱이 아닌 1보다 큰 자연수(양의 정수)입니다. 숫자가 소수가 아니면 a라고 합니다. 구성된 번호. 아직 풀리지 않은 소수에 관한 몇 가지 수학적 질문이 있습니다. 그것들과 관계, 다른 기능에 미치는 영향, 그래픽을 찾는 것은 수학 현상에서 정말 흥미로울 것입니다.

오늘날 프로그래밍 세계에서 Python은 매우 인기 있고 사용하기 쉽습니다. 대기업(예: Google)의 지원과 AI 기술에 대한 성공적인 라이브러리 및 프레임워크로 인해 인기를 얻었습니다. 그것은 훌륭한 객체 지향, 해석 및 대화식 프로그래밍 언어입니다. 그것은 종종 C/C++, Delphi, Lisp, Tcl, Perl, Ruby, C#, Visual Basic, Visual Fox Pro, Scheme 또는 Java와 비교됩니다. Python은 매우 명확한 구문을 가지고 있으며 몇 가지 실용적인 요소가 있습니다. 여기에는 모듈, 클래스, 예외, 매우 높은 수준의 동적 데이터 유형 및 동적 유형이 있습니다. 다양한 윈도우 시스템뿐만 아니라 많은 시스템 호출과 라이브러리에 대한 인터페이스가 있습니다. 새로운 내장 모듈은 C 또는 C++로 쉽게 작성됩니다. Python은 사용하기 쉬운 다른 언어로 작성된 다른 응용 프로그램의 확장 언어로도 사용할 수 있습니다. Python은 무료로 사용할 수 있으며 자세한 정보는 공식 웹 페이지 https://www.python.org/에서 찾을 수 있습니다.

C와 C++는 가장 빠르고 가장 강력한 프로그래밍 언어 중 하나이며 가능한 한 빨리 소수를 계산하는 것이 쉽습니다. 이 테스트에서는 Win32, Win64, Android 및 iOS용 컴파일러가 포함된 훌륭한 IDE가 있는 C++ Builder를 사용합니다. C++Builder에는 CLANG Enhanced C/C++ Compiler와 Embarcadero의 새로운 Bcc C/C++ 컴파일러가 있습니다. 또한 최신의 생산성이 높은 RAD Studio IDE, 디버거 도구 및 엔터프라이즈 연결을 제공하여 플랫폼 간 UI 개발을 가속화합니다. 고성능 네이티브 Windows 앱을 위한 수상 경력에 빛나는 VCL 프레임워크와 크로스 플랫폼 UI를 위한 강력한 FMX(FireMonkey) 프레임워크가 함께 제공되므로 GUI 기반 애플리케이션을 쉽게 개발할 수 있습니다. 학생, 초보자 및 제한이 있는 스타트업이 사용할 수 있는 무료 C++ Builder Community Edition이 있습니다.

https://www.embarcadero.com/products/cbuilder/starter에서 무료 C++ 빌더 커뮤니티 에디션을 다운로드할 수 있습니다. 전문 개발자는 C++ Builder의 Professional, Architect 또는 Enterprise 버전을 사용할 수 있습니다. https://www.embarcadero.com/products/cbuilder를 방문하십시오.

Python은 Delphi 프로젝트 내에서 사용할 수 있으며 이 소수 함수는 이전에 Delphi와 Python에서 테스트되었습니다(https://www.youtube.com/watch?v=aCz5h96ObUM with Kiriakos Vlahos). 여기에서 우리는 이 비디오에서 영감을 얻었고 C++의 동일한 기능에 대해 동일한 테스트를 수행하려고 합니다. C++에서 소수 찾기는 이 문서에 자세히 설명되어 있습니다. 현대 C++에서 소수를 찾는 법을 쉽게 배우십시오 여기에 게시하십시오.

여기서는 C++ Builder 10.4와 Python 3.9.1에서 소수 함수의 속도를 비교했습니다.


9.4: 비교 테스트

신장 이식 환자에 대한 데이터 세트를 폐기하고 이식 후 여러 신장 질환 간의 생존 시간 차이를 보고 있습니다.

- 그룹 1: 66명의 환자, 20개의 이벤트

- 그룹 2: 83명의 환자, 8개의 이벤트

- 그룹 3: 702명의 환자, 53개의 이벤트

이벤트가 아닌 것은 오른쪽 중도절단됩니다.

다음 'proc lifetest'를 실행하면 다음과 같은 생존 플롯이 완성됩니다.

proc 수명 테스트 데이터=DATASET 플롯=생존
시간 시간*죽음(0)
지층병 / 조정=터키
운영

모든 그룹 간에 유의미한(p<0.0001) 로그 순위 테스트와 유의미한 사후 비교를 발견했습니다. 따라서 그림이 시사하는 것과는 대조적으로 질병 2와 질병 3 사이에 상당한 차이가 있음을 발견했습니다(Tukey 조정 후 p=0.0257).

survminer 패키지를 사용하여 R에서 동일한 분석을 실행했으며 두 그룹 간에 큰 차이가 없음을 발견했습니다. 실제로 R의 사후 테스트는 관심 그룹만 포함하는 Log-Rank 테스트를 기반으로 하는 것으로 나타났습니다. 그리고 실제로 질병 2와 3만 포함하는 데이터 세트에 대해 proc 수명 테스트를 실행하면 동일하고 유의하지 않은 p-값(p=0.58)이 발견되었습니다.

다중 비교 테스트 통계 'z²jl'에 풀링된 샘플에 대한 데이터가 포함되어 있음을 확인했습니다. 따라서 질병 2와 질병 3을 비교할 때 질병 1에 대한 데이터가 알고리즘에 암묵적으로 포함됩니다. 이는 '순위 통계'와 '공분산 행렬' 간의 차이에 반영됩니다. 보다:

- 2개의 그룹만 사용하는 로그 순위 통계 및 공분산 행렬

- 3개 그룹을 사용한 로그 순위 통계 및 공분산 행렬

이러한 종류의 사후 로그 순위 테스트가 ANOVA에서 사후 테스트의 이론적 근거를 기반으로 한다고 가정해 보겠습니다. 여기서 사후 테스트는 별도의 t-검정과 다른 결과를 제공할 수 있습니다. 그러나 우리의 경우 p-값이 크게 다르며 무엇보다도 앞서 표시된 KM-plot을 기반으로 질병 2와 3이 유의하게 다른 생존을 나타낸다고 주장하기가 다소 어렵습니다.

나는 SAS 문서의 많은 부분이 Klein and Moeschberger, 1997의 작업을 참조한다는 것을 알아차렸습니다. 그러나 이 작업을 검사할 때 다중 테스트에 대해 거의 언급되지 않습니다. 내가 추론할 수 있는 유일한 관련 발언은 다음과 같습니다.

(p.237) "K 그룹을 쌍으로 동시에 비교하는 데 관심이 있으면 다중 테스트에 대한 조정이 이루어져야 합니다. 사용할 수 있는 방법 중 하나는 다중 비교의 Bonferroni 방법입니다."

(p.241) "로그 순위 검정을 사용하여 가설의 세 쌍별 검정을 수행 [. ] 각 검정에 대해 질병의 j 또는 j +1 단계를 가진 개체만 사용하십시오. 임계값을 조정하십시오. 여러 테스트를 위해 대략적인 0.05 레벨 테스트를 제공합니다."

또한 풀링된 샘플을 사용하는 것과 관련된 사후 Log-Rank 테스트 통계에 대한 문헌을 찾지 못했습니다.

2012년에 이 포럼에서 유사한 토론이 시작되었습니다.

통계적 유의성은 표본 크기 때문이라는 대답은 그다지 만족스럽지 않다. 내 표본 크기가 매우 다양하다는 것을 알고 있지만 이것이 문제라고 생각하지 않습니다.

나에게 더 큰 문제는 다른 테스트 간에 일관성이 없는 것 같고 SAS가 문서를 찾을 수 없는 테스트 통계를 사용한다는 것입니다.


9.9마력의 선외기 엔진을 시험하다

오늘날의 9.9마력 4행정은 휴대용 소형 엔진에 적합한 펀치를 제공합니다. 단점은 짐작할 수 있듯이 무거운 무게입니다. 테스트를 거친 세 가지 Practical Sailor의 무게는 82~92파운드입니다. 모두 2기통 수냉식 엔진으로 약 1쿼트의 오일을 소모하며 모두 풀스타트 모델로 엔진이 차가울 때만 사용해야 하는 초크가 있습니다. 모두 표준 3.1갤런 플라스틱 연료 탱크, 연료 호스 및 알루미늄 프로펠러와 함께 제공됩니다. 추진 면에서 이러한 휴대용 선외기 엔진 중 어느 것도 모든 것을 갖추고 있지 않습니다. 따라서 각 엔진의 작동, 운송, 보관 및 유지 관리가 얼마나 쉬운지 평가한 후 권장 사항을 기반으로 각 엔진의 장단점을 측정했습니다.

일부 순항 선원은 거의 움직이지 않는 작은 배에 만족할 수 있습니다. 하나는 근육과 한 쌍의 노로 추진되거나 초소형 선외 실용 선원 2006년 12월). 그러나 몇 명의 사람과 보급품으로 작은 배를 꾸릴 때 이 정도의 전력은 사람이든 말이든 상관없이 충분합니다. 더 큰 선외기는 선원과 상품을 보트에서 해안으로 이동하고 적시에 안전한 패션을 유지하는 데 필요한 웅장함을 전달합니다.

오늘날의 9.9마력 4스트로크는 적절한 양의 펀치를 제공합니다. 8마력 4행정( 실용 선원 2004년 1월 15일)는 완전히 적재된 보트로 여전히 어려움을 겪을 수 있지만 15마력 모터는 과잉과 경계할 수 있습니다. 많은 팽창식 및 강체 선체 팽창식(RIB)이 너무 빨리 밀면 다람쥐가 되고 제어하기 어려울 수 있기 때문입니다.

예상할 수 있듯이 단점은 이러한 엔진의 무게입니다.

실용 선원 테스트 모터의 트리오 범위는 82~92파운드이므로 일부 제조업체에서 이를 &ldquo휴대용&rdquo로 분류하는 이유가 확실하지 않았습니다. 이 거대하고 거대한 배를 배 위에서 안팎으로 씨름하는 것은 힘든 경험이었습니다.

Mercury 9.9, Honda 9.9, Tohatsu 9.8&emdashall 15인치 숏샤프트 모델의 3가지 딩기용 엔진을 확보했습니다. Suzuki 9.9를 찾을 수 없었지만 앞으로 몇 달 안에 테스트할 계획입니다. Yamaha는 재설계된 9.9가 나온다고 말했기 때문에 이 테스트 참여를 거부했습니다. 다시 말하지만, 이 엔진을 사용할 수 있게 되면 테스트하고 보고할 계획입니다.

트리오를 딩기 엔진으로 테스트했지만 짧은 샤프트 및 시동, 스로틀 제어, 유지 보수 액세스, 보증 등에 관한 많은 발견 사항 및 앰프 대시는 보조(긴 샤프트) 모델을 찾는 선원에게 유용해야 합니다.

이 모든 2기통 수냉식 엔진에는 약 1쿼트의 오일이 필요합니다. 모두 풀스타트 모델로 초크는 엔진이 차가울 때만 사용해야 합니다. 모두 표준 3.1갤런 플라스틱 연료 탱크, 연료 호스 및 알루미늄 프로펠러와 함께 제공됩니다. Tohatsu와 Mercury는 3년 보증으로 엔진을 지원합니다. Honda는 최근 보증을 5년으로 늘렸습니다. 모든 엔진은 최고 배출 등급인 별 3개를 받았습니다.

Honda, Mercury 및 Tohatsu도 전기 시동 및/또는 동력 기울기 제어 기능이 있는 이러한 모터를 제공합니다. Honda는 표준 6암페어 교류 발전기가 있는 테스트 그룹의 유일한 엔진입니다. 교류 발전기는 Tohatsu에서 선택 사항이며 Mercury Big Foot 9.9 모델에는 6암페어 용량의 교류 발전기가 함께 제공됩니다.

Honda는 지금까지 그룹에서 가장 무겁고 가장 비싼 엔진으로, 무게는 90파운드가 조금 넘고 소매 가격은 $3,003입니다. Tohatsu는 가장 가볍고(81.5파운드) 가장 저렴합니다(소매 $2,067). Mercury는 84파운드, MSRP는 2,595달러입니다.

거리 가격은 어떻습니까? 소형 아웃보드를 전문으로 하는 Defender Industries는 Mercury를 2,086달러, Tohatsu를 1,773달러, Honda를 2,337달러에 판매합니다.

시프터 및 정지 버튼

Honda 및 Tohatsu 기어 시프트는 엔진의 전방 섹션에 있지만 Mercury는 시프터를 틸러 핸들에 통합합니다. 이것은 우리의 의견으로는 좋은 기능입니다. Mercurys &ldquoshift in the handle&rdquo 기능에는 한 가지 사소한 단점이 있습니다.

실용 선원 기술 컨설턴트 Erik Klockars. &ldquo손이 기름이나 자외선 차단제를 바르면 미끌미끌해지면 스로틀을 멈춤쇠 안팎으로 움직이기 어려워진다고 말하는 주인도 있습니다.&rdquo 손이 자외선 차단제에 흠뻑 젖어 있던 한 테스터는 문제가 없었습니다.

머큐리는 스로틀 페이스에 엔진 정지 버튼을 장착한 유일한 엔진이기도 하다. Tohatsus 정지 버튼은 엔진 전면의 후미에 있으며 Hondas는 틸러 아래로 약 1/3입니다. 3개 모두 트랜섬에서 18인치 연장되는 틸러가 있습니다.

대부분의 4행정과 마찬가지로 테스트 엔진 3개 모두의 엔진 오일은 처음 20시간 작동 후, 그 다음에는 100시간 작동 후에 교체해야 합니다. Mercury와 Tohatsu에는 오일 필터가 없습니다. Honda는 그렇게 하고 그것에 접근하려면 우현 쪽의 패널 덮개를 제거해야 합니다.

이러한 모든 엔진은 엔진 오일이 실린더에 들어가는 것을 방지하기 위해 특정 위치에 보관해야 합니다. Mercury와 Tohatsu는 경운기의 팔꿈치 부분의 경운기(항구) 면에 보관해야 하므로 비경운(우현) 쪽에 보관되는 Honda보다 보관 시 안정성이 떨어집니다.

세 엔진 모두 카울링에 &ldquo범프&rdquo가 있습니다. 그 범프를 고무로 덮어 보호하고 보관 중 움직임을 방지하면 좋을 것입니다.

이러한 엔진을 깨끗한 물로 세척하는 것은 장기적인 내구성에 중요한 역할을 합니다. 세 제조업체 모두 플러싱 부착물을 제공합니다. Honda는 파워 헤드에 플러시 포트가 있고 Mercury와 Tohatsu의 플러시 포트는 하단 장치에 있습니다.

Honda는 무게와 엔진 전면에 있는 운반 손잡이의 위치 때문에 운반하기 가장 힘든 엔진입니다. 이 플라스틱 손잡이는 두 개의 클램프 나사 손잡이 사이의 트랜섬 브래킷 상단에 장착됩니다. 회전 브래킷은 가장 단단한 위치에 있더라도 핸들로 엔진을 들어올릴 때 여전히 움직일 수 있습니다.

우리는 Tohatsu와 Mercury의 알루미늄 전면 운반 손잡이를 선호합니다. 왜냐하면 그것들이 더 크고 엔진의 움직이지 않는 부분에 용접되기 때문입니다.

플러스 측면에서 Honda 후미 카울링 래치는 Mercury 또는 Tohatsus 플라스틱 래치보다 훨씬 더 강력합니다.

테스터들은 Honda가 더 큰 무게로 인해 다른 두 엔진보다 들어 올리기가 더 어렵고 더 낮출 수 있다고 말했습니다. 우현 측면의 틸트 레버는 크고 찾기 쉽습니다. 엔진 회전 장력을 조정하는 레버는 더 쉽게 도달하고 조정할 수 있도록 앞으로 더 확장해야 합니다. 플러스 측면에서 측면 장착 플러시 포트는 배에 있는 동안 플러시가 가장 쉽습니다.

테스터들은 또한 Tohatsu의 변속 레버가 Honda보다 더 부드럽게 움직인다고 생각했습니다.

엔진이 시동 또는 가속 설정에 있는지 여부를 알려주는 스로틀의 표시기가 더 두드러져야 한다고 생각합니다.

물 위에서 Honda는 우리 작은 배를 15노트의 최고 속도로 밀어냈는데, 이는 Tohatsu와 Mercury보다 2노트 느린 속도였습니다. 그러나 Honda는 공회전에서 62데시벨, 10노트에서 87데시벨만 등록하여 전체적으로 가장 조용한 엔진이었습니다.

Honda는 최고의 연료 연소 수치도 기록했습니다.

무겁고 일부 사용하기 쉬운 영역에서 흔들리지만 표준 교류 발전기를 갖춘 조용하게 달리는 Honda는 보조 엔진으로 고려해야 합니다.

84파운드의 Mercury는 우리 테스트 그룹의 미들급입니다. 전면의 큰 운반용 손잡이와 후면의 카울링 아래에 오목한 부분이 있어 운반할 때 잘 잡을 수 있습니다. Mercury는 항구 쪽 보관을 위해 Honda와 같은 더 큰 범프를 사용할 수 있습니다.

Mercury에서 틸트 해제 잠금 장치를 작동하는 방법을 파악하는 데 약간의 어려움이 있었습니다. 엔진을 올리거나 내리려면 스로틀이 앞쪽 위치에 있고 잠금 해제 버튼이 잠금 해제 위치에 있는지 확인해야 합니다. 엔진을 낮추려면 버튼을 잠금 해제 위치로 다시 이동해야 하며 엔진을 완전히 위로 기울이면 잠금이 해제되고 모터가 떨어질 수 있습니다.

머큐리는 물 위에서 잘 지냈습니다. 최고의 최고 속도(17노트)를 위해 Tohatsu를 묶었고 소음 수준은 Honda와 같거나 매우 가깝습니다.

머큐리에는 많은 것이 있습니다. 우리는 스로틀의 기어 변속 장치와 쉽게 접근할 수 있는 정지 버튼을 좋아합니다. Tohatsu만큼 가벼우며 접이식 스로틀이 있어 보관이 더 쉽습니다. 그것의 실용선원 최고의 선택.

Tohatsu는 Mercury보다 몇 파운드 가벼우며 9.9마리가 아닌 9.8마리의 말이 있지만 전력 차이는 무시할 수 있습니다. Tohatsu와 Mercury는 본질적으로 동일한 엔진이지만 Tohatsu에는 핸들의 시프터와 같이 Mercury를 더 쉽게 작동할 수 있도록 하는 일부 기능이 부족합니다. But it also suffers from the same shortcomings that we cited about the Mercury (flimsy aft cowling latch and tiller-side storage).

Another difference between the two is the design of the tilt-release mechanism. The Tohatsus lever is located on the starboard side. The lever should be bigger, but

Practical Sailor testers had no problem releasing and locking the engine.

The Tohatsu was the loudest engine of the three, with a wide-open-throttle decibel level of 92 and 90 decibels at 10 knots. At idle, it was in the same ballpark as its competitors. Fuel usage and top speed were identical to the Mercury.

The Tohatsu lacks some of the attractive features found on the Mercury, but its significantly less expensive than the other two engines. Its our Budget Buy.

None of these engines has it all, so our recommendations are based on weighing their pluses and minuses.

We would not recommend the Honda for those who anticipate having to mount and remove the engine from the dinghy frequently&emdasheven if you plan to use a halyard and winch for muscle. Its too heavy and cumbersome&emdashand that plastic handle makes it even more difficult to move around. Wed recommend the Honda for permanent installation, however. Its quiet, fuel-efficient, has standard charging capability, a five-year warranty. And don&rsquot forget about Hondas reputation for durability.

If you anticipate using your dinghy a great deal, wed seriously consider the Mercury, our Best Choice. Its the most user-friendly engine in our group, provides peppy performance, and runs quietly.

If you want to save some money and don&rsquot care about the location of the shift or stop button, the inexpensive Tohatsu is a no-brainer.


Octane Shootout

Ever since high-octane leaded gasoline vanished from the scene, theres been an undercurrent of concern among hot rodders every time they fill up at the pump. For the most part, daily driven hot rods have adapted to greatly reduced fuel quality by embracing stroker kits, nitrous oxide, specialized camshaft grinds, aluminum heads, and lower static compression ratios. It must be working cars just keep getting faster.

To explore the impact of fuel quality on engine performance, we stuck a 10.4:1-compression-ratio 360 Mopar on the DTS dyno at Joe Jills Superior Automotive. Then we beat it up, making 40 power pulls to see if octane rating has a significant impact on power and if ignition timing can be effectively manipulated to ward off detonation without heavily penalizing output. Does fuel additive really increase the octane of pump gas? And does boosting the fuels octane really make more power on a typical street engine? The results are surprising.

87-Octane Unleaded: 396.0 hp/401.3 lb-ft

You pull up to the pump in your hot street whip the needles on E. Youve only got 20 bucks, and you have to make it count. Premium is 30 cents a gallon more expensive than the cheap stuff. You roll the dice, grab the nozzle marked Regular, and start filling.

Approximating this scenario, we filled our 2-gallon fuel cell with a dose of 87 octane and set the total ignition timing at 31 degrees BTDC. Despite the sleazy gas and heavy dyno loading, the smooth power curves indicated no sign of detonation. Then we tried 34 degrees and still no sign of detonation. Yet another counter-clockwise twist of the Accel Billetproof electronic distributor gave the Mopar 36 degrees total despite the lousy gas, the motor liked the additional timing.

Could it take more? Pushing the envelope further, we dialed it up to 38. Detonation had found us. The most telling evidence of detonation was seen in the 300-rpm drop where peak horsepower was made and in the way the smooth power curves of the previous tests had become a jagged mess at 4,200 rpm all the way up to our self-imposed 6,000-rpm limit. The peaks and valleys on the dyno chart reveal uncontrolled combustion causing fluctuations in peak cylinder pressure and, as a result, hiccups in the force delivered to the business end of the crankshaft. See Test 1 in the sidebar below.

87-Octane Unleaded With 104+ Octane Booster: 397.9 hp/403.1 lb-ft

The rent is due and the kid needs new sneakers, so youre running the cheap stuff again. You add one 16-ounce bottle of octane boost to your 20-gallon tank, cross your fingers and hit the road.

To see if we could turn sows-ear 87- octane into silk-purse go-juice, we shut off the dynos fuel pump and let the test motor drain the Edelbrock 750s bowl dry at idle. Then we added 2 ounces of Super 104+ additive to the 2 gallons of 87 in the fuel cell. With timing set at a conservative 31 degrees, we saw no appreciable difference, but wed only just begun. Twisting the sparker up to 34 degrees BTDC delivered 6 hp, and we were still far from the motors likely detonation zone. At 36 degrees we noted that more peak horsepower was made at a higher engine speed, a clear sign that the chemical enhancement was keeping detonation at bay. Further proof of the benefit came when we cranked it well into what should have been rattle city with 38 degrees of timing. Power readings were on their way down due to mechanical factors related to the efficiency limits of the heads, cam, and induction rather than fuel quality. Despite this, the motor still made peak power at 5,800 rpm, a full 400 rpm more than without booster. Convincing proof that the Super 104+ was thwarting detonation.

If some is good, then more must be better, right? Doubling the dose of octane booster to 4 ounces in the 2-gallon fuel cell (like putting two 16-ounce bottles in a 20-gallon tank), and leaving the timing set at 38, we gained 1.5 hp. While power wasnt improved significantly, the 5,700-rpm horsepower peak and smooth torque and horsepower curves indicated continued protection against abnormal combustion. Octane booster works, but double-dosing an engine like ours wasnt worth the added expense. See Test 2 in the sidebar below..

91-Octane Unleaded: 402.1 hp/409.4 lb-ft

The bills are paid and youve got a few extra coins rolling around in your pockets, so you give your motor what it should have had in the first placethe good stuff: 91 octane.

While some parts of the country can brag about as much as 94 octane, left-coasters must make do with 91. With the timing set conservatively at 31 degrees BTDC, the sturdy 360 surpassed the best 87-octane numbers by 2 hp and 5 lb-ft. At 34 degrees, the numbers dipped, but recovered when we bumped timing to 36 degrees, delivering our highest numbers yet and breaking the 400hp mark.

There was no doubt that the higher octane fuel was good for a few extra ticks on both the torque and horsepower charts, but would it finally allow us to advance timing to 38 degrees BTDC without losing power? No dice: At 38 degrees, the numbers fell by 8.2 hp and 11.9 lb-ft, illuminating the reality that there is a difference between chemical potential and mechanical potential. If testing reveals that an engine is most efficient with timing set at 36 degrees BTDC, it will not necessarily produce more power even if high-octane fuel allows the use of more ignition advance. Still, our testing was far from over. See Test 3 in the sidebar below.

91-Octane Unleaded With 104+ Octane Booster: 399.8 hp/403.6 lb-ft

Youre off to the local bracket races. You know your pump-gas motor will be flogged pretty hard, so for insurance, you pour a bottle of octane booster in the tank and roll into the staging lanes.

Once again, Jill shut off the dyno fuel pump and let the 360 idle itself dry. Then the customary 2 ounces of Super 104+ were added to 2 gallons of 91-octane, and the torture test resumed. Starting again at 31 degrees of timing, the motor dropped a few points. It recovered some ground at 34 degrees, and just like the other tests, made best power at 36 degrees total. Going further, we advanced timing to 38 and lost a little more power double-dosing the booster with the timing set at 38 brought a slight improvement. The power numbers generated with the boosted 91-octane are lower than those made with non-boosted 91, an indication that the fuel additive may have slowed the burn speed and reduced cylinder pressure. One thing is certain, there was no detonation present or wed have seen it on the dyno charts and in reduced peak crank speed numbers. See Test 4 in the sidebar below.

100-Octane Unleaded: 403.5 hp/407.5 lb-ft

Youve heard some of the local street rats whisper about 100-octane unleaded being sold straight from the pump. Its like some flashback to the 60s, but is it too good to be true? You just have to try some.

Even though we were pretty sure detonation wouldnt be a problem with so much octane coursing through our 10.4:1 360s veins, we began with the 31-degree setting to maintain consistency and to see if any noteworthy patterns emerged.

The dyno video monitor flashed just over 400 hp. Moving up to 34 degrees BTDC delivered virtually identical results, and 36 degrees bought almost 3 hp while torque remained nearly constant. At 38 degrees, the numbers were largely unaffected. The motor seemed indifferent to the increased timing, but in contrast to previous cycles run using the lower fuel grades, the amount of power sacrificed with timing set at 38 was negligible. To see if more timing would translate into more power, we did the unthinkable and moved up to 40 BTDC and let it rip. The results amazed and confounded us. Testing thus far confirmed that this particular motor combination really liked 36 degrees total, regardless of fuel quality. Any more or any less cost powernot much, but the numbers consistently fell. But now with 100-octane, the power seemed to remain stable despite the substantial 4-degree jump in timing. Whats more impressive is the fact that the 100-octane fuel was the only grade tested thus far producing maximum torque and horsepower numbers that never fell below the 400 mark. Our conclusion was that octane was not the sole factor at play, and that the 100-octane had superior burn characteristics to the MTBE-laden pump gas available here in California. See Test 5 in the sidebar below.

114-Octane Leaded: 408.3 hp/414.7 lb-ft

You love to watch professional drag racing on TV and jump with joy when the Pro Stockers run. So why shouldnt you also jump at the chance to run the very same gasoline in your hot rod? Its gotta run faster, right?

Taking our motor through its now well-established paces, we rang up our highest numbers yet at the 31-degree setting. We couldnt wait to get to the 36-degree sweet spot, but exercised restraint and followed the plan, dialing in 34 degrees. What? Power was dropping? A backup run at 34 BTDC confirmed it. Gotta be some kind of fluke. Well get it all back and then some at 36 degrees. Or so we thought. We saw another drop at 36 degrees, and crumbs of no significance at 38 degrees. Through it all there were no signs of detonation. To rule out the possibility of error, we restored the timing to 31 degrees and watched the output jump back up to 406.6 hp at 5,700 and 413.7 lb-ft at 4,500. Further exploring the apparent benefit of retarded timing, Jill cranked in a mere 29-degree setting and output began sliding downward, losing 5.1 hp and 4.2 lb-ft. Why hadnt more timing increased power? Probably because the 114 had even better burn characteristics than the 100. Its hydrocarbons vaporized and burned more readily, releasing energy sooner and accounting for why it required less spark lead to reach complete combustion. The octane level was not the operative hererather it was the superior hydrocarbon content and vaporization characteristics of the racing fuel. See Test 6 in the sidebar below.

Frankly, the results of our test were a bit confounding. We consulted the chemists at Super 104+ and our pal Tim Wusz at 76 to help figure out what had happened. Heres what we learned:

First, the octane booster did work. However, we saw that octane alone does not deliver horsepower it only allows more complete utilization of the hard parts in the engine. Wusz said, An engine does not know what the octane rating of the fuel is, unless it is too low note that we made less power by adding booster to 91-octane fuel. The lower the octane of the base fuel, the more benefit youll get from octane booster.

Also, the Edelbrock heads on our test motor have high-efficiency combustion chambers that are very tolerant of low octane levels, and their aluminum construction helps, too. Older chamber designs may not be as efficient and may succumb to abnormal combustion more easily.

But most of all, we discovered that our presumption that higher-octane fuels burn slower than lower-octane fuels (and therefore require more ignition lead) is largely incorrect. There are too many other fuel-formulation issues at work to assign a general rule about octane. Race fuel tends to have a more powerful formulation than pump gas, regardless of octane rating, because it is denser and can release more power and heat. (Note that we made the best power with 114 octane with the least ignition lead, indicating it had the fastest burn time.) California pump gas is blended with methyl tertiary-butyl ether (MTBE), alcohol, and other ingredients damaging to performance. Knowing what we know now, well always experiment with ignition timingboth higher and lower settingswhen we change fuels rather than presuming that more power can be made with more octane due to more timing.


9.4: Comparison Tests

I dispose of a dataset on kidney transplant patients and I am looking at the survival time difference between several kidney diseases after transplantation.

- group 1: 66 patients, 20 events

- group 2: 83 patients, 8 events

- group 3: 702 patients, 53 events

Non-events are being right-censored.

After running the following 'proc lifetest', we end up with this survival plot:

proc lifetest data=DATASET plots=survival
time time*Death(0)
strata disease / adjust=tukey
운영

We found a significant (p<0.0001) Log-Rank test and significant post-hoc comparisons between all the groups. So, in contrast to what the figure suggests, we found a significant difference between disease 2 and 3 (p=0.0257 after Tukey adjustement).

I ran the same analysis in R with the package survminer and found no significant difference between the two groups. In fact, it appeared that the post-hoc testing in R is based on the Log-Rank test including only the groups of interest. And indeed, if we would run a proc lifetest on a dataset including only disease 2 and 3, the same, non-significant p-value (p=0.58) was found.

we saw that the multiple comparisons test statistic 'z²jl' includes data on the pooled sample. So, when comparing diseases 2 versus 3, data on disease 1 is implicitly involved in the algorithm. This is reflected in the difference between the 'Rank Statistics' and their 'Covariance matrix'. See:

- log-rank statistic and covariance matrix using 2 groups only

- log-rank statistic and covariance matrix using 3 groups

Let's say this kind of post-hoc Log-Rank testing is based on the rationale of post-hoc testing in ANOVA, where it is possible that a post-hoc test provides different results than the separate t-tests. However, in our case the p-values differ hugely and, above all, it is rather difficult to argue that disease 2 and 3 show a significantly different survival based on the KM-plot shown earlier.

I noticed that large parts of the SAS documentation refer to the work of Klein and Moeschberger, 1997 . Yet, when inspecting this work, very little is being said about multiple testing. The only relevant remarks I could deduce were:

(p.237) "If one is interested in comparing K groups in a pairwise simultaneous manner then an adjustment for multiple tests must be made. One such method that can be used is the Bonferroni method of multiple comparisons."

(p.241) "Using the log-rank test, perform the three pairwise tests of the hypothesis [. ] For each test, use only those individuals with stage j or j +1 of the disease. Make an adjustment to your critical value for multiple testing to give an approximate 0.05 level test."

Also, I have found no literature on a post-hoc Log-Rank test statistic that involves using the pooled sample.

In 2012 a similar discussion was started on this forum:

The answer that the statistical significance is caused by the sample size is not really satisfying to me. I know my sample size are varying greatly, but I don't believe this is the problem.

The larger issue for me, is that there seems to be no consistency across different tests and that SAS makes use of a test statistic of which I cannot find any documentation.


2010 Mazda CX-9 AWD

The CX-9 is Mazda&rsquos largest offering&mdasha three-row, seven-seat SUV that&rsquos powered by a sweet 3.7-liter V-6 that makes 273 hp and 270 lb-ft of torque. CX-9s are offered in front- and all-wheel-drive configurations. The vehicle received an extensive refresh for the 2010 model year that included new front and rear lights and the &ldquoMazda family face,&rdquo which is the polite way of saying it got a gaping maw planted across its front bumper. Pretty it ain&rsquot. Inside, there are enhanced seating surfaces and richer materials, as well as the liberal use of chrome accents. Active headrests are now fitted to all models. Finally, there are a few changes to the list of available features, among them a redesigned climate-control system for the rear seats and a new, 4.3-inch LCD that provides a more intuitive interface for the audio and phone systems.

For a biggish SUV, the CX-9 offers the most enjoyable driving experience in its class. Mazda seems to take the view that just because a vehicle has to haul humans and cargo around, it doesn&rsquot have to be a fun-free zone. The CX-9 has communicative steering, really good body control for an SUV, and actually seems to like corners, which isn&rsquot always the case with this type of vehicle. The ride quality is surprisingly supple in view of this athleticism.

Performance is solid, too. Even though the mechanicals carry over unchanged from 2009, we thought we&rsquod see if the big smiley face up front added a spring to the CX-9&rsquos step. We&rsquove now tested a number of CX-9s, and this latest all-wheel-drive Grand Touring model was right in the same accelerative ballpark: 0 to 60 mph in 7.8 seconds and a standing quarter-mile time of 16.0 at 88 mph. Skidpad grip was 0.77 g, slightly down on the best CX-9 number of 0.81 g but still commendable for such a large SUV. We&rsquove always been impressed by the vehicle&rsquos braking performance, and this example managed to stop from 70 mph in 176 feet, stellar for a large crossover SUV and just shy of the CX-9&rsquos 173-foot record set by our long-term 2008 model.

Fuel consumption isn&rsquot the strongest suit, however. The EPA says the CX-9 is good for urban and highway mileage of 15 and 21 mpg, but we only managed 15 mpg combined in our time with the vehicle. This was probably because there was a large portion of urban mileage, as we averaged 19 mpg on a past comparison test that involved a lot more highway driving. Even so, the CX-9&rsquos mileage was midpack on that comparo.

The refined interior finishes&mdashchrome accents and piano black trim pieces&mdashenhance what is already a classy space. The larger information screen is easy to use, and a keyless access fob is more grown up than the silly key card Mazda used to offer. Externally, we&rsquore not sure about the front end, but it&rsquos, um, certainly distinctive. The CX-9 is a solidly competitive proposition in this class, finishing second in a six-way comparison test in November 2008, where it ultimately lost out to our perennial favorite, the Honda Pilot.

There are three versions of the CX-9: Sport, Touring, and Grand Touring. The base CX-9 comes pretty well equipped at $29,385 add about $1400 for all-wheel drive. A GT version like our tester ($33,395 base with front-wheel drive) adds fog lights a memory-equipped power driver&rsquos seat keyless start and rain-sensing windshield wipers. The GT also gets 20-inch wheels and a blind-spot-warning system. Leather seating that&rsquos standard on the Touring model is carried over.

One advantage of the GT model is that it&rsquos possible to specify some desirable goodies that aren&rsquot available on lesser versions. The only way to get a rear-seat entertainment system, a towing package, or a navigation system is to buy the GT model. Our tester came equipped with all-wheel drive ($1400) a navigation system ($1665) a rear-bumper step plate ($150) a power rear liftgate ($400) and a package that bundles a sunroof with an uplevel Bose audio system and Sirius satellite radio ($2255). Grand total: $39,265. True sybarites would add the rear-seat entertainment system for an additional $3055, but you don&rsquot need that&mdashor any other extras, really&mdashto enjoy driving this big Mazda.


Presenting the results of a t-test

When reporting your t-test results, the most important values to include are the NS-value, the p-value, and the degrees of freedom for the test. These will communicate to your audience whether the difference between the two groups is statistically significant (a.k.a. that it is unlikely to have happened by chance).

You can also include the summary statistics for the groups being compared, namely the mean and standard deviation. In R, the code for calculating the mean and the standard deviation from the data looks like this:

flower.data %>%
group_by(Species) %>%
summarize(mean_length = mean(Petal.Length),
sd_length = sd(Petal.Length))

In our example, you would report the results like this:


How Much Of The Disease Are We Finding Through Tests?

This graph shows the total daily number of virus tests conducted in each state and of those tests, how many were positive each day. The trend line in blue shows the average percentage of tests that were positive over the last 7 days. The rate of positivity is an important indicator because it can provide insights into whether a community is conducting enough testing to find cases. If a community’s positivity is high, it suggests that that community may largely be testing the sickest patients and possibly missing milder or asymptomatic cases. A lower positivity may indicate that a community is including in its testing patients with milder or no symptoms. The WHO has said that in countries that have conducted extensive testing for COVID-19, should remain at 5% or lower for at least 14 days.

This initiative relies upon publicly available data from multiple sources. States are not consistent in how and when they release and update their data, and some may even retroactively change the numbers they report. This can affect the percentages you see presented in these data visualizations. We are taking steps to account for these irregularities in how we present the information, but it is important to understand the full context behind these data.

7-Day Averages: The CRC calculates the rolling 7-day average separately for daily cases and daily tests, and then for each day calculate the percentage over the rolling averages. Some states may be calculating the positivity percentage for each day, and then doing the rolling 7-day average. The reason why we use our approach is because testing capacity issues and uneven reporting cadences create a lot of misleading peaks and valleys in the data. Since we want to give a 7-day average, it is more fair to average the raw data and then calculate the ratios. Otherwise, days when a large number of negative tests are released all at once—and positivity is going to be very low—will have the same weight as days when data was steadily released, and the overall result is going to be lower. Our approach is applied to all our testing data to correct for these uneven data release patterns.

Johns Hopkins experts in global public health, infectious disease, and emergency preparedness have been at the forefront of the international response to COVID-19.

This website is a resource to help advance the understanding of the virus, inform the public, and brief policymakers in order to guide a response, improve care, and save lives.


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