조항

2.4: 문제 복습 - 수학

2.4: 문제 복습 - 수학



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1. 이러한 증대된 행렬에 대해 가우스 소거를 수행하는 동안 예 20에서와 같이 각 등가 기호 위의 이전 행과 관련하여 새 행을 설명하는 전체 방정식 시스템을 작성합니다.

[
left(egin{배열}{rr|r}
2 & 2 & 10 \
1 & 2 & 8 \
end{배열}오른쪽)
,~
left(egin{배열}{rrr|r}
1 & 1 & 0 & 5 \
1 & 1 & -1& 11 \
-1 & 1 & 1 & -5 \
end{배열}오른쪽)
]

2. ERO 행렬을 방정식의 각 변에 적용하여 벡터 방정식을 풀어 소거를 수행합니다. 예 23과 같이 각 행렬을 명시적으로 표시합니다.

egin{eqnarray*}
egin{pmatrix}
3 &6 &2 \ -3
5 &9 &4 \ 1
2 &4 &2 \ 0
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
x


end{pmatrix}
=
egin{pmatrix}
-3 \
1 \
0 \
end{pmatrix}
end{eqnarray*}

3. ((M|I)sim (I|M^{-1})) 을 통해 행렬의 역행렬을 찾은 다음 (M^{-1}) 를 둘 다에 적용하여 이 벡터 방정식을 풉니다. 방정식의 측면.

egin{eqnarray*}
egin{pmatrix}
2 &1 &1 \ 9
1 &1 &1 \ 6
1 &1 &2 \ 7
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
x


end{pmatrix}
=
egin{pmatrix}
9 \
6 \
7 \
end{pmatrix}
end{eqnarray*}

4. 예제 28 및 29의 방법에 따라 다음의 (LU) 및 (LDU) 인수분해를 찾습니다.

egin{eqnarray*}
egin{pmatrix}
3 &3 &6 \
3 &5 &2 \
6 &2 &5 \
end{pmatrix}
end{eqnarray*}

5. 동일한 행렬로 여러 행렬 방정식을 동시에 풀 수 있습니다.

a) 하나의 증대 행렬에 대해 소거를 수행하여 두 시스템을 모두 풉니다.

egin{eqnarray*}
egin{pmatrix}
2 &-1 &-1 \
-1 &1 &1 \
1 &-1 &0 \
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
x


end{pmatrix}
=
egin{pmatrix}
0\
1 \
0 \
end{pmatrix}
,~
egin{pmatrix}
2 &-1 &-1 \
-1 &1 &1 \
1 &-1 &0 \
end{pmatrix}
egin{pmatrix}



end{pmatrix}
=
egin{pmatrix}
2\
1 \
1 \
end{pmatrix}
end{eqnarray*}

b) ((M|I)sim (I|M^{-1}))에 있는 (M^{-1})의 열은 무엇입니까?

6. 어떻게 동료 학생들이 이런 실수를 하지 않도록 설득할 수 있습니까?

egin{eqnarray*}
left(egin{배열}{rrr|r}
1 & 0 & 2 & 3 \
0 & 1 & 2& 3 \
2 & 0 & 1 & 4 \
end{배열}오른쪽)
&
stackrel{R_1'=R_1+R_2}{
stackrel{R_2'=R_1-R_2}{
stackrel{ R_3'= R_1+2R_2}{sim}}}
&
left(egin{배열}{rrr|r}
1 & 1 & 4 & 6 \
1 & -1 & 0& 0 \
1 & 2 & 6 & 9
end{배열}오른쪽)
end{eqnarray*}

7. 행렬의 (LU) 인수분해는 고유합니까? 당신의 대답을 정당화하십시오.
(infty). 파란색에서 숫자를 선택하여 무작위로 행렬을 만드는 경우 제거 또는 인수분해를 수행하기 어려울 수 있습니다. 분수와 큰 숫자가 포함될 것입니다. 간단한 문제를 만들려면 간단한 대답으로 시작하는 것이 좋습니다.

  1. RREF의 모든 증대 행렬로 시작하십시오. ERO를 수행하여 대부분의 구성 요소를 0이 아닌 값으로 만듭니다. 결과를 별도의 종이에 써서 친구에게 주십시오. 그 친구에게 당신이 그들에게 준 증강 행렬의 RREF를 찾도록 요청하십시오. 그들이 당신이 시작한 것과 동일한 증강 행렬을 얻는지 확인하십시오.
  2. 대각선에 (1)만 있는 상부 삼각 행렬 (U) 및 하부 삼각 행렬 (L)을 만듭니다. 결과를 친구에게 주어 (LU) 형식으로 인수분해하십시오.
  3. (LDU) 인수분해로 동일한 작업을 수행하십시오.

2.4: 문제 복습 - 수학

문제 1
B의 어떤 값에 대해 x=2에서 연속적인 다음 함수는 무엇입니까?
f(x)=3x^3-x^2+Bx x>1이면 x<= 1이면 Bx-2입니다.

해결책 에 의해 제출 된
마이클 판돌포

문제 2
x-2y=2 선에 평행하고 곡선 y=(x-1)/(x+1)에 대한 접선의 방정식을 찾으십시오.

해결책 에 의해 제출 된
마이클 판돌포

문제 3
점 (1/2, 2)에서 ln(xy)+2x-y+1=0 방정식으로 정의된 곡선에 접하는 선을 찾습니다.

해결책 에 의해 제출 된
마이클 판돌포

해결책에 의해 제출 된
매튜 도베르

해결책에 의해 제출 된
매튜 도베르

문제 10
450피트의 울타리가 있는 농부는 직사각형 영역의 네 면을 둘러싸고 직사각형의 한 면에 평행한 울타리가 있는 네 개의 우리로 영역을 나누려고 합니다. 네 개의 펜 중에서 가능한 가장 큰 면적은 얼마입니까?

  • 함수 A의 영역은 [0,90]입니다(5개의 x가 있고 총 450피트의 울타리만 있기 때문에). 그러나 A(0)=0 및 A(90)=0이므로 최대값은 A(45)=5062.5입니다.
  • A'(x)는 x<45에 대해 양수이고 x>45에 대해 음수이므로 A(45)는 함수의 최대값이어야 합니다.
  • A''(45)=-10/2<0, 따라서 A(x)는 x=45에서 아래로 오목하므로 A(x)는 x=45에서 최대값을 갖습니다.

문제 7
함수 f(x)의 도함수에 대한 형식적 정의를 기술하십시오. 정의를 사용하여 f(x)=sqrt(3-5x)에 대한 f'(x)를 계산합니다.

해결책에 의해 제출 된
메건 브런디지

문제 11
13피트 길이의 사다리가 벽에 기대어 있습니다. 바닥이 벽에서 떨어져 바닥을 따라 미끄러지기 시작합니다. 베이스가 벽에서 12피트 떨어져 있을 때 베이스는 5피트/초의 속도로 이동합니다. 그러면 사다리의 꼭대기가 벽 아래로 얼마나 빨리 미끄러질까요? 이때 사다리, 벽, 바닥이 이루는 삼각형의 넓이는 얼마나 빨리 변하는가?

해결책에 의해 제출 된
매튜 도베르

문제 12
f(x)=3x/(x^2-1)라고 하자. 함수의 영역, f(x)가 증가하거나 감소하는 구간, 최대 및 최소, 오목 및 변곡점, f(x) 그래프의 수평 및 수직 점근선을 찾습니다. 그런 다음 f(x)의 그래프를 스케치합니다.

해결책 주요 힌트는 다음과 같습니다. 단풍 명령
플롯(3*x/(x^2-1),x=-5..5,y=-10..10,discont=true) 그만큼 불연속 = 사실 허용 단풍 멀리 떨어져 있을 때 점 연결을 건너뛰려면 . 사진은 여기에 링크되어 있습니다.

에 의해 제출 된
아직 아무도!

문제 18
f(x)=3x^7 - 2x^2 + x -1이라고 합시다. f(x)는 [0,1]에 실수근이 있어야 함을 보여줍니다.

해결책에 의해 제출 된
지산 농부

문제 22
[0,2]에서 f(x)=x/(x^2+1)의 절대 최대값과 절대 최소값을 찾습니다.


2.4: 문제 복습 - 수학

배경이 이 색상인 문자의 문제는 다음과 같습니다.
여기에 답변이 있습니다. 이 색상의 배경을 가진 사람들은 그렇지 않습니다.

문제를 일으켰습니까?

이자형 에프
에이 나는 제이 케이
미디엄 영형
일기장에서
아르 자형
에스 V
가) 만
엑스

조언

섹션에서 제공한 답변
5678910
64122.51



제공자 로버트 J. 코미토섹션 5:

구면 좌표로 기술된 영역을 0<=phi<=Pi/3 및 0<=rho cos(phi)<=2 및 0<=<=2Pi로 스케치합니다.


제공자 치라그 왈라왈카르섹션 9:

f(x,y)=1/x+1/y+xy라고 하자. 참인가 거짓인가? 간단히 설명:
a) f는 (1,1)에서 극대값을 갖는다.
b) f는 (1,-1)에 ​​안장점이 있습니다.

ㅏ. (1, 1)은 로컬 최대입니까?
먼저 x에 대해 1차 도함수를 취한 다음 y에 대해 도함수를 취합니다.
에프엑스(x,y)=-1/x^2+y f엑스(1,1)=0
에프와이(x,y)=-1/y^2+x f와이(1,1)=0
따라서 (1,1)은 임계점입니다.
이제 2차 미분 검정(S.D.T)을 수행합니다.
에프더블 엑스(x,y)=2/x^3, f(x,y)=2/y^3 fxy(x,y)=1
H=에프더블 엑스(1,1)f(1,1)-[fxy(1,1)^2]
H=(2)(2)-1
H=3
H>0 및 f 이후 S.D.T에 의해더블 엑스(1,1)>0 f는 (1,1)에서 국소 최소값을 가지므로 답은 False입니다.

나) 에프엑스=-1/x 2 +y ==> f엑스(1,-1)=-1+-1=-2는 0이 아닙니다.
그것은 임계점이 아니므로 진술 b)도 거짓이다.


제공자 슈바 사로데섹션 6:

원 G(x,y)=x 2 +y 2 =4에서 f(x,y)=x 2 +2x+2y 2 의 절대 최대값과 최소값을 구합니다.

라그랑주 승수를 사용하여 방정식 F=G를 풉니다.
에프엑스=2x+2, G엑스=2x, F와이=4y 및 G와이=2년
2x+2=2x
4y=2y 참고: 2 또는 y=0일 수 있음
2이면 이 값을 방정식 2x+2=2x에 대입하면 2x+2=4x가 됩니다. 이 방정식을 풀면 x=1이 됩니다. 이 값을 G(x,y)=4에 연결하면 y=+/-sqrt(3)이 됩니다.
따라서 가능한 최대/최소값은 (1,sqrt(3)) 및 (1,-sqrt(3))에서 발생할 수 있습니다. 값을 보려면 F(x,y)에서 이러한 점을 평가해야 합니다. 두 점 세트를 모두 연결하면 9의 값을 얻습니다.
이제 y=0인 경우 가능한 점이 무엇인지 확인해야 합니다. 방정식 x 2 +y 2 =4에 y=0을 대입하면 +2와 -2의 x 값을 얻습니다. 따라서 가능한 점은 (2,0) 및 (-2,0)입니다. 이 점에서 F(x,y)를 평가하면 각각 8과 0이 됩니다.
그래서:
(1,sqrt(3)) 및 (1,-sqrt(3))는 F=9를 제공합니다. 이것이 최대값입니다.
(2,0)은 8을 제공합니다.
(-2,0)은 0을 제공합니다. 이것은 최소값입니다.

b) 디스크 x 2 +y 2 에서 4보다 작거나 같은 최대값과 최소값을 찾으려면 디스크 내부 임계점의 F 값을 경계점의 값과 비교하기만 하면 됩니다.
중요한 점은 다음과 같습니다.
에프엑스=2x+2 따라서 x=-1 F와이=2y 따라서 y=0입니다.
(-1,0)에서 F(x,y)의 값은 -1입니다.

따라서 -1은 절대 최소값이 되고 9(위부터)는 절대 최대값으로 유지됩니다.

논평 이 솔루션에서 모든 대안(일부 변수가 0인 경우 발생하는 상황 포함)을 추적하는 것은 필요한 답을 얻으려면. 0이 아닌 관련 변수의 전부 또는 일부를 가정할 수는 없습니다.


제공자 제니퍼 응섹션 22 2008년 가을: 여기를 참조하십시오.
에 의해 오류가 발견되었습니다. S. 스페이츠 (2010년 4월 11일). 구면 좌표에 대한 야코비 행렬은 &rho 2 sin(&phi)이어야 하므로 솔루션은 &rho의 또 다른 거듭제곱을 가져야 하므로 최종 답은 (4/15)&P여야 합니다.

이자형
제공자 소남 파텔섹션 5:

F(x,y)=x^2-4xy+y^3-3y의 모든 임계점을 찾고 각 임계점의 유형을 기술하십시오.

이제 임계점을 찾기 위해 두 방정식을 모두 0으로 설정합니다.
x=2y 및 -4x+3y^2-3=0을 대입하면 -4(2y)+3y^2-3=0을 얻습니다. 이는 3y^2-8y-3=0으로도 쓸 수 있습니다. 인수분해하면 (3y+1)(y-3)=0이므로 y=-1/3 또는 y=3이 됩니다.
y=3, x=6일 때. 따라서 첫 번째 임계점은 (6,3)입니다. y=-1/3,x=-2/3일 때 두 번째 임계점은 (-2/3,-1/3)입니다.

그것들을 분류하기 위해 이차 편도함수를 취하십시오. 에프더블 엑스=2, 에프xy=-4, F=6년, Fyx=-4 D=D(a,b)=F더블 엑스(a,b)F(a,b)-[Fxy(a,b)] 2 =12y-16이므로 D(6,3)=20 및 F엑스(6,3)=2. D(a,b)>0 및 F일 때엑스(a,b)>0이면 F(a,b)는 국소 최소값입니다. 따라서 (6,3)은 F의 국소 최솟값입니다.
D(-2/3,-1/3)=-20. D(-2/3,-1/3) 소남 파텔 ~에 도착했다 2006년 4월 1일 토 15:24:14. 동일한 답변을 가진 유사한 솔루션 데메트리 콜로세우스-가뇽 ~에 도착했다 2006년 4월 1일 토 15:34:33. 경쟁이 가열되고 있습니다! 이 두 분 덕분입니다.

에프
제공자 아담 스크리프자크섹션 10:

(x,y,z)가 타원체 x 2 +y 2 +5z 2 =1에 있다는 제약 조건에 따라 x-4y+2z의 최대값과 최소값을 찾습니다.

F(x,y,z) =x-4y+2z 및 G(x,y,z)=x 2 +y 2 +5z 2 =1 F=G(차이 함수 x, y, z의 경우) 4개의 방정식을 얻습니다.
1. 1=(2x)
2. -4=(2년)
3. 2=(10z)
4. x 2 +y 2 +5z 2 =1
첫 번째 방정식은 1=0이 되므로 0이 될 수 없습니다.
각 변수를 풀고 제약 방정식에 삽입하여 다음을 얻습니다.
1/(4 2 )+4/( 2 )+1/(5 2 )=1 따라서 =sqrt(89/20).
그런 다음 eq의 1부터 3까지 다시 연결하고 x,y,z에 대한 값을 찾습니다.
x=(+/-)1/[2sqrt(89/20)] 및 y=(+/-)-2/sqrt(89/20) 및 z=(+/-)1/[5sqrt(89/20) )]
두 가지 포인트를 제공합니다.
(1/2sqrt(89/20),-2/sqrt(89/20),1/5sqrt(89/20)) 및 (-1/2sqrt(89/20),2/sqrt(89/20), -1/5sqrt(89/20)) 그런 다음 F(x,y,z)에 다시 연결하면 최대값과 최소값을 찾을 수 있습니다! 최대는 (1/2sqrt(89/20),-2/sqrt(89/20),1/5sqrt(89/20))에서 발생하며 sqrt(89/20)([1/2]+8+[ 2/5]).
최소는 (-1/2sqrt(89/20),2/sqrt(89/20),-1/5sqrt(89/20))에서 발생하고 -sqrt(89/20)([1/2]+8 +[2/5]).


제공자 데메트리 콜로세우스-가뇽섹션 6:

통합 순서 변경 1 2 0 ln y f(x,y) dx dy.

논평 확실히 대답은 정확합니다. 그러나 답변만으로는 전체 크레딧을 받지 못할 수 있습니다. 이 경우 약간의 설명이 필요합니다. 아마도 대수학과 함께 그림이 가장 좋을 것입니다. 예를 들어, 문제 설명의 한 경계 곡선은 y=e x 로 변하는 x=ln(y)입니다. 통합 영역의 오른쪽에 있는 그림은 문제 해결의 독자가 학생이 문제를 이해하고 있다고 확신할 만큼 충분히 보여야 합니다.

에이
제공자 로버트 J. 코미토섹션 5: 적분 변경 0 3 0 제곱근(9-y 2 ) 제곱(x 2 +y 2 ) sqrt(18-x 2 -y 2 ) (x 2 +y 2 +z 2 ) dz dx dy를 구면 좌표로 변환합니다. 적분을 평가하지 마십시오.


논평 이것은 오늘(2006년 4월 5일)에서 보낸 이메일의 결과로 수정되었습니다. 카린 젠슨 이전 제한 중 하나가 잘못되었습니다. 이 "솔리드"는 xy 평면의 첫 번째 사분면에 있는 1/4 원(1/4 디스크!) 위의 첫 번째 8분원에만 있습니다. 자세히 읽어주신 Jensen 선생님께 감사드립니다!
다음과 같이 피적분 함수에도 오류가 있습니다. 마이클 복서 섹션 6 통지의. rho 2 =xs 2 +y 2 +z 2 이므로 피적분 함수는 rho 4 여야 합니다. 죄송합니다. 박서 씨에게 감사드립니다.

나는
제공자 로버트 J. 코미토섹션 5:

a) 계산 2 3 1/x x 2 x 2 y-2x dy dx.
b) 이 반복 적분을 ``dx dy'' 순서로 작성하십시오. 이중 적분이 평가되는 영역을 스케치하는 것으로 시작할 수 있습니다. 너는 아니 하나 이상의 반복된 적분일 수 있는 dx dy 결과를 평가하도록 요청받았습니다.


논평 아주 깔끔한 답변입니다. 감사합니다.
물론 dx dy 버전을 계산하고 답이 a)에 대한 답과 같은지 확인하거나 입력하고 읽을 수 있습니다.
>int(int(x^2*y-2*x,x=1/y..3),y=1/3..1/2) + int(int(x^2*y-2*x ,x=2..3),y=1/2..4) + int(int(x^2*y-2*x,x=sqrt(y)..3),y=4..9 )

케이
제공자 세잘쿠마리 파텔섹션 7:

계산하다 y dA 여기서 D는 y=x-1 및 y 2 =2x+6으로 제한됩니다.

선 y=x-1은 두 지점에서 곡선 y 2 =2x+6과 교차하므로 두 점 (-1,-2)와 (5,4)가 될 수 있습니다. x=y+1의 값을 y 2 =2x+6 공식에 대입하면 이 두 점을 찾을 수 있습니다. 이것은 y 2 =2(y+1)+6=2y+8이 되므로 y 2 -2y-2=0 및 (y+2)(y-4)=0이 됩니다.

x와 y의 한계는 다음과 같습니다.
(y 2 -6)/2<=x<=y+1 및 -2<=y<=4.
이중 적분은 반복 적분이 됩니다.
-2 4 (y 2 -6)/2 y+1 y dx dy=-2 4 XY ] (y 2 -6)/2 y+1 .
약간의 대수학 후에 이것은 -2 4 -2(y 2 -y 3 /2+4y)dy= -2(y 3 /3-y 4 /8+2y 2 ) ] -2 4 =18.

논평 불신이 아니라 순전히 모두가 입어야하기 때문에 양자 모두 멜빵과 벨트, 나는 선물:


제공자 치 웬섹션 6:

허락하다 에프(x,y)=e 2y 나는+(1+2xe 2년 제이. f=와 같은 함수 f(x,y) 찾기에프 평가하는 데 사용합니다. F미드닷(&M)아르 자형 어디 아르 자형(t)=제곱미터(t)나는+(1+t 3 )제이, 및 0=<t<=1.

에프엑스=e 2년
에프엑스dx=e 2y dx=xe 2y +g(y)
[xe 2y +g(y)]/y=2x e 2y +g´(y).
에 대한 원래 기능 제이 구성 요소는 1+2x e 2y이므로 g'(y)는 1이고 g(y)=y입니다.
f(x,y)=xe 2y +y

때문에 아르 자형(t)=제곱미터(t)나는+(1+t 3 )제이 및 0<=t<=1. 따라서 시작점과 끝점은 (0,1)과 (1,2)입니다.
F미드닷(&M)아르 자형=f(x2,와이2)-f(x1,와이1) 및 f(x2,와이2)-f(x1,와이1)=f(1,2)-f(0,1) 및 f(1,2)-f(0,1)=e 4 +1.

영형
제공자 스티브 스웨른섹션 8:

이 문제에서 H는 R 3 의 단위 구의 상반부입니다. x 2 +y 2 +z 2 <1 및 z>=0인 (x,y,z)입니다. 꼭짓점이 (0,0,0)이고 대칭축이 양의 z축인 오른쪽 원형 원뿔이 있습니다. 이 원뿔은 H의 부피를 동일한 두 부분으로 나눕니다. 이 원뿔을 결정하는 각도 알파를 찾으십시오. 다이어그램은 양의 z축이 정점을 통과하는 원뿔의 선과 이루는 각도인 알파를 정의합니다.


제공자 스티브 스웨른섹션 8:

D가 (1,2)에서 (4,-3)으로, 다음으로 (4,-3)에서 (2,6)으로, 그 다음 (2,6)에서 세 개의 직선 세그먼트로 구성된 경로라고 가정합니다. (3,4)까지. 계산 (2xy 3 ) dx+(3x 2 y 2 +4y 3 ) dy.

분명히 다른 함수의 기울기인 벡터 필드에 대한 작업 라인 적분을 계산하고 있기 때문입니다. 우리는 그것을보고 잠재력이 무엇인지 알아낼 수 있습니다.

3(x 2 )y 2 +4y 3 dy ==> 약간의 반미분 ==> f(x,y)=x 2 (y 3 )+y 4
이것은 f 때문에 dx 쪽도 확인합니다.엑스=2xy 3 .
공식 시트에 주어진 것은 다음과 같습니다.
"포텐셜 f가 있는 V 보수적(우리는 V를 받았고 나는 f를 찾는 방법을 보여주었습니다).. V에 대한 적분 .. blah blah blah. = f(THE END) - f(THE START)"
시작은 (1,2).. 두 지점 주위에서 춤을 추었습니다. (3,4) 에서 끝났습니다. f(3,4)-f(1,2)=832-24=808

논평 Mr. Swern의 다소 "산뜻한" 접근 방식이 맞습니다. 곡선이 여러 조각으로 정의되는 것에 대해 걱정할 수 있지만 문제가 해결됩니다. 확실히 각 선분은 전위를 사용할 수 있으므로 총 적분은 다음 합계와 같습니다.
f(3,4)-f(2,6) (세 번째 선분부터) + f(2,6)-f(4,-3) (두 번째 선분에서) + f(4,-3)-f(1,2) (첫 번째 선분부터)
그리고 합계 "망원경"은 Swern 씨가 주장한 바와 같이 f(3,4)-f(1,2)를 제공합니다.

아르 자형
제공자 로버트 J. 코미토섹션 5:

에스
제공자 조슬린 알렉산더섹션 5:

C를 (0,1)에서 (4,3)까지의 직선 세그먼트라고 하자. 찾기 x 2 y ds.

r에서 시작하는 선분의 ​​벡터 표현0 r에서 끝남1:
r(t)=(1-t)r0+t*r1
주어진 선분에 대해, r0=(0,1) 및 r1=(4,3) r(t)=(1-t)<0,1>+t<4,3>=<0+4t,1-t+3t>=<4t,1+2t>.
파라메트릭 표현:
x=4t 그래서 dx/dt=4
y=1+2t 그래서 dy/dt=2
(0 2 +(dy/dt) 2 ]dt=sqrt(4 2 +2 2 )dt=sqrt(16+4)dt=sqrt(20)dt
x 2 y ds=t=0 t=1 (4t) 2 (1+2t)sqrt(20)dt=sqrt(20)0 1 (16t 2 +32t 3 )dt=sqrt(20)[16t 3 /3+8t 4 ] 0 1 =([16/3]+8)2(제곱(5))


제공자 치라그 왈라왈카르섹션 9:

계산 아르 자형x dA 여기서 R은 y축의 오른쪽 영역이며 원점을 중심으로 하는 반지름 2의 원, y축의 양의 부분 및 선 y=-x로 경계가 지정됩니다.

R은 양의 y축과 원점의 양의 x축과 선 y=-x를 중심으로 하는 반지름 2의 원으로 경계를 이룹니다.
1 양의 x축과 양의 y축 사이의 각도입니다. 파이/2입니다.
2 양의 x 축과 선 y=-x 사이의 각도입니다. 그림을 사용하여 이 각도를 찾을 수 있고 선이 1/4 원을 반으로 자르므로 세타 2는 Pi/2 또는 Pi/4의 절반이 됩니다.
우리는 또한 찾을 수 있습니다 2 y=-x라는 사실을 사용하고 x=2일 때 y는 -2와 같아야 합니다. 2=arctan(-2/2)=-파이/4. 음수 기호는 각도가 4사분면에 있기 때문에 발생합니다(여기서 그림이 더 좋습니다). r은 단순히 0과 2 사이입니다.
x=r cos() 및 dA=r dr d이므로 적분은 다음과 같습니다. -파이/4 파이/2 0 2 r cos() r drd= ( -파이/4 파이/2 cos()d )( 0 2 r 2 dr ) = ( 3/3 ] 0 2 )( 죄() ] -파이/4 파이/2 =(8/3)(1+제곱(2)/2) (


제공자 티나 리섹션 6:

x 2 <y<1 및 0<x<1을 0<y<1 및 0<x<sqrt(y)로 변경합니다.
그래프는 포물선입니다. x 2 = 1사분면의 y, x=0, y=1 및 y=0(선만). (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)은 공통점입니다.
포물선 위의 면적이지만 y=1 아래의 면적은 적분에 필요한 면적입니다('사각형')
주어진: 0 1 x 2 1 x 3 sin(y 3 dy dx는
0 1 0 제곱(y) x 3 sin(y 3 ) dx dy
통합 내부: 0 제곱(y) x 3 sin(y 3 ) dx=(1/4)(x 4 )sin(y 3 ) ] 0 제곱(y) =(1/4)(y 2 -0)sin(y 3 )=(1/4)y 2 sin(y 3 ).
그런 다음 적분 외부: 0 1(1/4)y 2 sin(y 3 ) dy.
y 3 =u이면 3y 2 dy=du(y 2 dy=du/3)이고 0<y^3<1은 0<u<1이 되므로 위의 적분은 (1/4)입니다.0 1 sin(u)du/3=(1/12) ( -cos (u) ) ] 0 1 =-1/12(cos(1)-cos(0))=-1/12(cos1-1)=1/12(1-cos1).

V
제공자 치라그 왈라왈카르섹션 9: ㅏ) 0 1 0 엑스 0 y int(0,y)xy 2 z 3 dz dy dx
가장 안쪽 적분: xy 2 0 y z 3 dz=xy 2 z 4 /4 ] 0 y = xy 4 /4
다음: 0 x xy 6 /4 dy=xy 7 /(7&중간점4) ] 0 x =x&중간점x 7 /(28)=x 8 /28
드디어, 0 1 x 8 /28 dx=x 9 /(28·9) ] 0 1 =1/(28·9): 단순화하지 말자!!

b) 이것을 dx dy dz 순서로 하나 이상의 적분으로 씁니다.

논평 b) 부분에 대한 올바른 솔루션은 아직 받지 못했습니다. 아마도 아래 그림이 b)를 "해결"하는 데 도움이 될 수 있습니다. 아니면 아닐 수도 있습니다.
파트 b)에 대한 솔루션을 쉽게 테스트할 수 있습니다. 예를 들어, 다음은 원래 적분의 계산입니다. 단풍: 따라서 제안된 솔루션은 피적분 xy 2 z 3 으로 계산된 답이 1/252가 되도록 충분히 "강력한"(강한)이어야 합니다. Walawalkar 씨는 "V는 Vendetta를 위한 것입니다."라고 제안했습니다.


대수 문제

문제 4: 점 (-4 , -5) 와 (-1 , -1) 사이의 거리를 찾습니다.

문제 5: 방정식 그래프의 x 절편을 찾습니다.

문제 6: f(2) - f(1) 평가

문제 7: 점 (-1, -1)과 (2, 2)를 지나는 선의 기울기를 구합니다.

문제 8: 선의 기울기 구하기

문제 9: 점 (-1, -1)과 (-1, 2)를 지나는 선의 방정식을 구하세요.

문제 10: 방정식 풀기

더 많은 대수 문제 - 애플릿

  1. "시작하려면 여기를 클릭하십시오" 위의 버튼을 클릭하여 애플릿을 시작하고 최대화 얻은 창.
  2. 주 메뉴에서 "시작"을 클릭하십시오.
  3. 애플릿 패널 하단의 a,b,c,d 또는 e를 선택하여 질문에 답하십시오.

답안을 검토하고 원하는 글자를 체크하여 변경할 수 있습니다. 완료한 후 "마침"을 누르면 답변과 비교할 올바른 답변이 포함된 표가 표시됩니다.

다른 문제 세트를 시작하려면 "재설정"을 누르십시오.


2.4: 문제 복습 - 수학

과학적 표기법은 과학자들이 매우 큰 수 또는 매우 작은 수를 쉽게 처리하는 방법입니다. 예를 들어, 0.0000000056을 쓰는 대신 5.6 x 10 - 9를 씁니다. 어떻게 작동합니까?

5.6 x 10 - 9는 5.6(숫자 항)과 10 - 9(지수 항)의 두 숫자의 곱으로 생각할 수 있습니다.

다음은 과학적 표기법의 몇 가지 예입니다.

10000 = 1 x 10 4 24327 = 2.4327 x 10 4
1000 = 1 x 10 3 7354 = 7.354 x 10 3
100 = 1 x 10 2 482 = 4.82 x 10 2
10 = 1 x 10 1 89 = 8.9 x 10 1(일반적으로 수행되지 않음)
1 = 10 0
1/10 = 0.1 = 1 x 10 - 1 0.32 = 3.2 x 10 - 1(일반적으로 수행되지 않음)
1/100 = 0.01 = 1 x 10 - 2 0.053 = 5.3 x 10 - 2
1/1000 = 0.001 = 1 x 10 - 3 0.0078 = 7.8 x 10 - 3
1/10000 = 0.0001 = 1 x 10 - 4 0.00044 = 4.4 x 10 - 4

보시다시피 10의 지수는 긴 형식의 숫자를 제공하기 위해 소수점을 이동해야 하는 자릿수입니다. 양수 지수는 소수점이 해당 자릿수만큼 오른쪽으로 이동되었음을 나타냅니다. 음수 지수는 소수점이 해당 자리만큼 왼쪽으로 이동되었음을 나타냅니다.

과학적 표기법에서 숫자 용어는 숫자에서 유효 숫자의 수를 나타냅니다. 지수 항은 소수점만 배치합니다. 예로서,
46600000 = 4.66 x 10 7 이 숫자에는 3개의 유효 숫자만 있습니다. 0은 의미가 없으며 단지 자리를 잡고 있을 뿐입니다. 다른 예로, 0.00053 = 5.3 x 10 - 4 이 숫자에는 2개의 유효 숫자가 있습니다. 0은 자리 표시자일 뿐입니다.

공학용 계산기:

  1. 계산기에 숫자(숫자)를 입력하세요.
  2. EE 또는 EXP 버튼을 누릅니다. x(번) 버튼을 사용하지 마세요!!
  3. 지수 번호를 입력합니다. +/- 버튼을 사용하여 부호를 변경합니다.
  4. 짜잔! 모든 후속 계산에서 이 숫자를 정상적으로 처리합니다.

자신을 확인하려면 계산기에서 6.0 x 10 5 곱하기 4.0 x 10 3 을 곱하십시오. 답은 2.4 x 10 9 입니다.

값싼 비과학 계산기에서:

계산기가 지수를 처리할 수 없기 때문에 지수에 대해 잘 알고 있어야 합니다. 지수에 관한 규칙에 대한 소개는 지수 조작 섹션을 참조하십시오.

  • 모든 숫자는 10의 동일한 거듭제곱으로 변환되고 숫자 항은 더하거나 뺍니다.
  • 예: (4.215 x 10 - 2 ) + (3.2 x 10 - 4 ) = (4.215 x 10 - 2 ) + (0.032 x 10 - 2 ) = 4.247 x 10 - 2
  • 예: (8.97 x 10 4 ) - (2.62 x 10 3 ) = (8.97 x 10 4 ) - (0.262 x 10 4 ) = 8.71 x 10 4

  • 숫자 항은 일반적인 방식으로 곱해지고 지수가 추가됩니다. 소수점 왼쪽에 0이 아닌 숫자가 하나만 있도록 최종 결과가 변경됩니다.
  • 예: (3.4 x 10 6 )(4.2 x 10 3 ) = (3.4)(4.2) x 10 (6+3) = 14.28 x 10 9 = 1.4 x 10 10
    (2개의 유효숫자까지)
  • 예: (6.73 x 10 - 5 )(2.91 x 10 2 ) = (6.73)(2.91) x 10 ( - 5+2) = 19.58 x 10 - 3 = 1.96 x 10 - 2
    (유효한 3자리까지)

  • 숫자 항은 일반적인 방식으로 나누고 지수는 뺍니다. 소수점 왼쪽에 0이 아닌 숫자가 하나만 있도록 몫이 변경됩니다(필요한 경우).
  • 예: (6.4 x 10 6 )/(8.9 x 10 2 ) = (6.4)/(8.9) x 10 (6-2) = 0.719 x 10 4 = 7.2 x 10 3
    (2개의 유효숫자까지)
  • 예: (3.2 x 10 3 )/(5.7 x 10 - 2 ) = (3.2)/(5.7) x 10 3 - ( - 2) = 0.561 x 10 5 = 5.6 x 10 4
    (2개의 유효숫자까지)

  • 숫자 항은 표시된 거듭제곱으로 올라가고 지수는 거듭제곱을 나타내는 숫자로 곱해집니다.
  • 예: (2.4 x 10 4 ) 3 = (2.4) 3 x 10 (4x3) = 13.824 x 10 12 = 1.4 x 10 13
    (2개의 유효숫자까지)
  • 예: (6.53 x 10 -3 ) 2 = (6.53) 2 x 10 ( - 3)x2 = 42.64 x 10 - 6 = 4.26 x 10 - 5
    (유효한 3자리까지)


2.4: 문제 복습 - 수학

다음은 Math 116 시험 1을 주제별로 분류한 것입니다. 각 문제 참조는 링크이므로 클릭하여 문제를 볼 수 있습니다. 브라우저에서 시험의 올바른 페이지로 이동해야 하지만 찾고 있는 문제가 페이지 하단에 있을 수 있다는 점을 염두에 두십시오. 각 문제 옆에 # 문자가 표시됩니다. 그것을 클릭하면 솔루션으로 이동해야합니다.

오래된 시험 문제만 공부해서는 안 됩니다. 그들은 지식을 가르치는 것이 아니라 테스트하기 위해 고안되었습니다. 그리고 시험에 나올 내용을 정확히 알고 있다고 생각하기 시작할 위험이 있습니다. 예상 가능한 주제가 몇 가지 있지만 올해 시험에는 의심할 여지 없이 이전에 출제된 것과 다른 문제가 있을 것입니다. 따라서 특정 유형을 수행하는 방법을 암기하는 것이 아니라 어려운 문제에 접근하도록 자신을 훈련하고 있음을 명심하십시오.

이 페이지를 사용하는 방법에 대한 제 제안은 다음과 같습니다.

  1. 도움이 필요한 영역을 식별하기 위해 문제를 샘플링해 보십시오.
  2. 주제에 대해 읽으려면 책으로 이동하십시오.
  3. 여기로 돌아와 동일한 주제에 대한 더 많은 문제를 찾아 문제가 있는지 확인하십시오.

나는 아래에 표시된 주제에 완전히 만족하지 않습니다. 문제를 더 잘 분류하는 방법에 대한 제안을 하십시오.

발견한 오류와 잘 작동하는 방법 및 더 유용하게 만드는 방법에 대한 기타 피드백을 알려주십시오. 모든 시험에 대한 링크는 페이지 하단에 있습니다.


Illustrative Mathematics®에서 인증한 IM K–12™ 수학

IM Math는 모두를 위한 학습을 ​​촉진하기 위해 내용과 실습 표준을 다루도록 설계된 문제 기반 핵심 커리큘럼입니다. 학생들은 수학을 하고, 수학 및 실제 상황에서 문제를 해결하고, 정확한 언어를 사용하여 논증을 구성함으로써 배웁니다. 교사는 학습자가 개념과 절차를 이해하고 연결하도록 안내하는 높은 활용도의 루틴으로 수업을 변경하고 학생 학습을 촉진할 수 있습니다.

학생 참여는 지붕을 통과했습니다. 우리 수학 교실에는 소문이 있습니다.

David P., 워싱턴주 텀워터 공립학교 중등 수학 전문가

이것은 우리가 수년 동안 추구해 온 완전하고 정렬된 큰 그림 중심의 커리큘럼입니다.

Stefanie Buckner, 노스캐롤라이나주 번컴 카운티 학교의 수학 커리큘럼 전문가

. 잘 설계된 ... 효과적인 수업 구조와 속도.

이 커리큘럼은 훌륭하게 작성되었습니다. 이 프로그램을 가르친 후, 저는 그것이 우리 학생들의 학습 요구를 충족시킨다는 것을 정말로 느꼈습니다.

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Common Core의 수석 작가인 William McCallum의 지도 하에 설계된 모든 IM 커리큘럼은 표준의 엄격함과 일관성에 완전히 맞춰져 있습니다. 우리의 목표는 모든 학생들에게 수학을 알고 사용하고 즐기는 데 필요한 기술을 제공하는 것입니다.

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문제 기반 커리큘럼에서 학생들은 대부분의 수업 시간 동안 신중하게 제작되고 순서가 지정된 수학 문제를 풉니다. 교사는 학생들이 문제를 이해하고 수학적인 내용이 모두에게 명확하도록 토론을 안내합니다. 이 과정에서 학생들은 자신의 아이디어와 추론을 설명하고 수학적 아이디어를 전달하는 방법을 배웁니다. 목표는 학생들에게 초기 문제를 성공적으로 해결할 수 있는 충분한 배경과 도구를 제공한 다음, 전문성이 향상됨에 따라 점점 더 복잡한 문제를 일으키도록 하는 것입니다.

수학은 구경하는 스포츠가 아닙니다. 문제 기반 접근 방식의 가치는 학생들이 수학 수업에서 문제 이해, 추정, 다양한 접근 방식 시도, 적절한 도구 선택 및 사용, 답의 합리성을 평가하는 등 수학 수업에서 대부분의 시간을 보낸다는 것입니다. 그들은 계속해서 답변의 의미를 해석하고, 패턴을 인지하고 일반화하고, 자신의 추론을 구두 및 서면으로 설명하고, 다른 사람의 추론을 듣고, 이해를 구축합니다.

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학생들은 “Kelly가 그녀의 여동생보다 8살 어리다와 같은 문제에 맞도록 방정식을 쓸 것입니다. 그들의 나이의 합은 44세입니다. Kelly는 몇 살이고 그녀의 여동생은 몇 살입니까?” 및 “James는 지난 주에 총 900달러를 벌었습니다. 이 총액은 그가 지난 주에 번 금액의 5배보다 적은 10달러였습니다. James는 지난 주에 얼마를 벌었습니까?”

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방정식과 단어 문제(2단계 방정식) 워크시트 2 이 10가지 문제 워크시트는 실제 상황과 일치하는 2단계 방정식을 쓰고 푸는 연습을 하는 데 도움이 됩니다.
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방정식과 단어 문제(같은 용어 결합) 워크시트 2 이 10가지 문제 워크시트는 실제 상황에 맞는 방정식을 쓰고 푸는 연습을 하는 데 도움이 됩니다. 같은 항을 결합한 다음 방정식을 풀어야 합니다.
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MathHelp.com

(a) 지수 3은 = 3 그래서 그들은 "5"인 세 번째 용어를 요구하고 있습니다.

(b) 펑키한 기호는 시리즈를 나타내는 그리스 대문자 "sigma"입니다. 그것은 그들이 여기서 나에게 수열의 항을 더하도록 요구하고 있다는 것을 의미합니다. 그들이 나에게 찾아달라고 요구하는 "value"는 모든 용어의 합계, 합계입니다. ...에서 1 ~ 5 즉:

다음 급수를 확장하고 합계를 찾으십시오.

그들은 이 시리즈의 각 항에 대한 규칙을 저에게 주었습니다. 규칙은 인덱스에 2를 곱하는 것입니다. 따라서 각 용어를 찾기 위해 다음 값을 연결하겠습니다. 즉, 인덱스를 가져와서 2를 곱합니다. 시작하겠습니다 = 0 및 끝 = 4 . 급수 합계를 찾기 위해 다음과 같이 모든 항을 추가합니다.

시퀀스의 처음 4개 항 나열 ㅏ엔> = 엔 2 > , 로 시작 엔 = 1 .

그냥 꽂을게 공식에 넣고 단순화:

내 대답은 시퀀스의 단순화 된 형식입니다.

다음 시퀀스의 처음 4개 항을 나열하십시오. 엔 = 0 .

시퀀스와 시리즈는 종종 학생들이 이 느낌표 표기법을 처음 접하는 곳입니다. 표기법은 시리즈가 어떤 식으로든 "강조적"임을 나타내지 않습니다. 이것은 기술적인 수학적 표기법입니다. 이는 이 합계의 항이 계승을 포함함을 나타냅니다. (If you're not familiar with factorials, brush up now.)

A factorial symbol, 케이! , indicates that I need to find the product of all the whole numbers from 1 through 케이 . The first few factorial values are:

(Your graphing calculator can probably find factorials for you. Look for an appropriate command, probably somewhere in a "Prob" or "Probability" submenu.)

I'll use these factorial values in my computations:

So the first four terms are:

Notice how, in that last example above, raising the –1 to the power made the signs alternate. This alternating pattern of signs crops up a lot, especially in calculus, so try to keep this "raising –1 to the power " trick in mind.

Find the sum of the first six terms of A엔 , 어디 ㅏ엔 = 2ㅏ엔&ndash1 + ㅏ엔&ndash2, ㅏ 1 = 1 , and ㅏ 2 = 1 .

This formula looks much worse than it really is I just have to give myself some time, and dissect the formula carefully.

They gave me the values of the first two terms, and then they gave me a formula that says that each term (after the first two terms) is a sum formed from the previous two terms. At each stage, I'll be taking the previous term and multiplying it by two to this, I'll be adding the term before that one. For instance, the third term will be twice the second term, plus the first term.

Plugging into this formula, I get:

Now that I've found the values of the third through the sixth terms, I can find the value of the series the sum is:

Write the following series using summation notation, beginning with 엔 = 1 :

The first thing I have to do is figure out a relationship between and the terms in the summation. This series is pretty easy, though: each term is twice , so there is clearly a " 2 " in the formula. I also have the alternating sign.

If I multiply 2 by (&ndash1) , then I'll get &ndash2, 4, &ndash6, 8, &ndash10 , which is backwards (on the signs) from what I want. But I can switch the signs by throwing in one more factor of &ndash1 :

So the formula for the -th term is = (&ndash1) +1 (2) . 이후 starts at 1 and there are five terms, then the summation is:

Write the following using summation notation:

The only thing that changes from one term to the next is one of the numbers in the denominator.

(Note: If I "simplify" these fractions, I'll lose this information. Any time the terms of my sequence or series look oddly lumpy, I tend not to simplify those terms: that odd lumpiness almost certainly contains a hint of the pattern I need to find.)

The changing numbers, as a list, start off with 6, 7 , and 8 . This looks like counting, but starting with 6 instead of 1 . Without any information to the contrary, I'll assume that this is the pattern.

But I need to relate these "counting" values to the counter, the index, . 에 대한 = 1 , the number is 6 , or + 5 . 에 대한 = 2 , the number is 7 , which is also + 5 . Checking the pattern for = 3, 3 + 5 = 8 , which is the third number. Then the terms seems to be in the following pattern:

But how many terms are in the summation? The ellipsis (the ". " or "dot, dot, dot" in the middle) means that terms were omitted. How many terms? Now that I have the general pattern for the series terms, I can solve for the counter (that is, for the value of ) for the last term:

This tells me that there are 26 terms in this summation, so the series, in summation notation, is:

If the fractional forms of the terms in the series above had been simplified, it would have been a lot harder to figure out a pattern. So it's usually best to leave the terms in the form provided, rather than reducing them, because reducing would remove the pattern that they're wanting you to see.

To be fair, though, unless the sequence is very simple or is presented in a very straightforward manner, it is entirely possible that you might find a "wrong" pattern. Don't let this bother you terribly much. The "right" pattern is just the one that the author had in mind when he wrote the exercise. Your pattern would be "wrong" only in that it is unexpected. But if you can present your work clearly and logically, you should be able to talk your way into getting at least partial credit for your answer.

Once you've learned the basic notation and terminology, you will likely quickly move on to the two common and straightforward sequence types, being arithmetic and geometric sequences.


2.4: Review Problems - Mathematics

PRECISION VERSUS ACCURACY

Accuracy refers to how closely a measured value agrees with the correct value.
Precision refers to how closely individual measurements agree with each other.

accurate
(the average is accurate)
not precise
정확한
not accurate
accurate

정확한

In any measurement, the number of significant figures is critical. The number of significant figures is the number of digits believed to be correct by the person doing the measuring. It includes one estimated digit. So, does the concept of significant figures deal with precision or accuracy? I'll answer this question after you peruse the next example.

A rule of thumb: read the volume to 1/10 or 0.1 of the smallest division. (This rule applies to any measurement.) This means that the error in reading (called the reading error) is 1/10 or 0.1 of the smallest division on the glassware. If you are less sure of yourself, you can read to 1/5 or 0.2 of the smallest division.

Beaker The smallest division is 10 mL, so we can read the volume to 1/10 of 10 mL or 1 mL. The volume we read from the beaker has a reading error of 1 mL.

The volume in this beaker is 47 1 mL. You might have read 46 mL your friend might read the volume as 48 mL. All the answers are correct within the reading error of 1 mL.

So, How many significant figures does our volume of 47 1 mL have? Answer - 2! The "4" we know for sure plus the "7" we had to estimate.

Look in the textbook for a picture of a graduated cylinder.

First, note that the surface of the liquid is curved. This is called the meniscus. This phenomenon is caused by the fact that water molecules are more attracted to glass than to each other (adhesive forces are stronger than cohesive forces). When we read the volume, we read it at the BOTTOM of the meniscus.

The smallest division of this graduated cylinder is 1 mL. Therefore, our reading error will be 0.1 mL or 1/10 of the smallest division. An appropriate reading of the volume is 36.5 0.1 mL. An equally precise value would be 36.6 mL or 36.4 mL.

How many significant figures does our answer have? 삼! The "3" and the "6" we know for sure and the "5" we had to estimate a little.

Look in the textbook for a picture of a buret. Note that the numbers get bigger as you go down the buret. This is different from the beaker or the graduated cylinder. This is because the liquid leaves the buret at the bottom.

The smallest division in this buret is 0.1 mL. Therefore, our reading error is 0.01 mL. A good volume reading is 20.38 0.01 mL. An equally precise answer would be 20.39 mL or 20.37 mL.

How many significant figures does our answer have? 4! The "2", "0", and "3" we definitely know and the "8" we had to estimate.

Conclusion: The number of significant figures is directly linked to a measurement. If a person needed only a rough estimate of volume, the beaker volume is satisfactory (2 significant figures), otherwise one should use the graduated cylinder (3 significant figures) or better yet, the buret (4 significant figures).

So, does the concept of significant figures deal with precision or accuracy? Hopefully, you can see that it really deals with precision only. Consider measuring the length of a metal rod several times with a ruler. You will get essentially the same measurement over and over again with a small reading error equal to about 1/10 of the smallest division on the ruler. You have determined the length with high precision. However, you don't know if the ruler was accurate to begin with. Perhaps it was a plastic ruler left in the hot Texas sun and was stretched. You don't know the accuracy of your measuring device unless you calibrate it, i.e. compare it against a ruler you knew was accurate. Note: in the laboratory, a good analytical chemist always calibrates her volumetric glassware before using it by weighing a known volume of liquid dispensed from the glassware. By dividing the mass of the liquid by its density, she can determine the actual volume and hence the accuracy of the glassware.

    Leading zeros are never significant.
    Imbedded zeros are always significant.
    Trailing zeros are significant only if the decimal point is specified.
    Hint: Change the number to scientific notation. It is easier to see.

Number of
Significant Figures
Scientific Notation
0.0068236.82 x 10 - 3 Leading zeros are not significant.
1.07241.072 (x 10 0 ) Imbedded zeros are always significant.
30013 x 10 2 Trailing zeros are significant only if the decimal point is specified.
300 . 33.00 x 10 2
300 . 043.000 x 10 2

부가 Even though your calculator gives you the answer 8.0372, you must round off to 8.04. Your answer must only contain 1 doubtful number. Note that the doubtful digits are underlined.
Subtraction Subtraction is interesting when concerned with significant figures. Even though both numbers involved in the subtraction have 5 significant figures, the answer only has 3 significant figures when rounded correctly. Remember, the answer must only have 1 doubtful digit.
Multiplication The answer must be rounded off to 2 significant figures, since 1.6 only has 2 significant figures.
분할 The answer must be rounded off to 3 significant figures, since 45.2 has only 3 significant figures.

  • When rounding off numbers to a certain number of significant figures, do so to the nearest value.
    • example: Round to 3 significant figures: 2.3467 x 10 4 (Answer: 2.35 x 10 4 )
    • example: Round to 2 significant figures: 1.612 x 10 3 (Answer: 1.6 x 10 3 )

    • If the number before the 5 is odd, round up.
    • If the number before the 5 is even, let it be.
      The justification for this is that in the course of a series of many calculations, any rounding errors will be averaged out.