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7.3: 쌍곡선 함수

7.3: 쌍곡선 함수



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쌍곡선 함수는 응용 프로그램에서 약간의 빈도로 나타나며 삼각 함수와 여러 면에서 매우 유사합니다. 이것은 초기 정의를 감안할 때 약간 놀랍습니다.

정의 4.11.1: 쌍곡선 코사인과 사인

NS 쌍곡선 코사인 기능이다

[cosh x ={e^x +e^{-x }over2},]

그리고 쌍곡선 사인 기능이다

[sinh x ={e^x -e^{-x}over 2}.]

(cosh)는 짝수(즉, (cosh(-x)=cosh(x)))이고 (sinh)는 홀수((sinh(-x)= -sinh(x))) 및 ( cosh x + sinh x = e^x). 또한 모든 (x), (cosh x >0)에 대해 (sinh x=0)인 경우에만 ( e^x -e^{-x }=0) , 정확히 (x=0)일 때 참입니다.

보조정리 4.11.2

(cosh x)의 범위는 ([1,infty))입니다.

증거

(y= cosh x)라고 하자. (x)에 대해 풉니다.

[eqalign{y&={e^x +e^{-x }over 2}cr 2y &= e^x + e^{-x }cr 2ye^x &= e^{2x} + 1cr 0 &= e^{2x}-2ye^x +1cr e^{x} &= {2y pm sqrt{4y^2 -4}over 2}cr e^{x} &= ypm sqrt{y^2 -1}cr} ]

마지막 방정식에서 ( y^2 geq 1)를 보고 (ygeq 0) 이후로 (ygeq 1)를 따릅니다.

이제 (ygeq 1), 따라서 ( ypm sqrt{y^2 -1}>0)이라고 가정합니다. 그러면 ( x = ln(ypm sqrt{y^2 -1}))는 실수이고 (y =cosh x)이므로 (y)는 다음 범위에 있습니다. (cosh(x)).

(정사각형)

정의 4.11.3: 쌍곡선 탄젠트와 코탄젠트

다른 쌍곡선 함수는

[eqalign{ anh x &= {sinh xovercosh x}cr coth x &= {cosh xoversinh x}cr ext{sech} x &= {1 overcosh x}cr ext{csch} x &= {1oversinh x}cr} ]

(coth) 및 ( ext{csch})의 영역은 (x eq 0)이고 다른 쌍곡선 함수의 영역은 모두 실수입니다. 그래프는 그림 (PageIndex{1})에 나와 있습니다.

그림 (PageIndex{1}): 쌍곡선 함수.

확실히 쌍곡선 함수는 그래픽적으로 삼각 함수와 매우 유사하지 않습니다. 그러나 그들은 다음과 같은 정체성으로 시작하는 유사한 속성을 가지고 있습니다.

정리 4.11.4

(mathbb{R})의 모든 (x)에 대해 ( cosh ^2 x -sinh ^2 x = 1).

증거

증명은 간단한 계산입니다.

[cosh ^2 x -sinh ^2 x = {(e^x +e^{-x} )^2over 4} -{(e^x -e^{-x} )^2 4개 이상}= {e^{2x} + 2 + e^{-2x } - e^{2x} + 2 - e^{-2x}4개 이상}= {44개 이상} = 1. ]

(정사각형)

이것은 즉시 두 개의 추가 ID를 제공합니다.

[1- anh^2 x = ext{sech}^2 xqquadhbox{and}qquad coth^2 x - 1 = ext{csch}^2 x.]

정리의 정체성은 또한 기하학적 동기를 제공하는 데 도움이 됩니다. ( x^2 -y^2 =1) 의 그래프는 (x) 절편이 (pm 1)인 점근선 (x=pm y)이 있는 쌍곡선임을 기억하십시오. ((x,y)) 가 쌍곡선의 오른쪽 절반에 있는 점이고 (x=cosh t)라고 하면 ( y=pmsqrt{x^2-1 }=pmsqrt{cosh^2x-1}=pmsinh t). 따라서 일부 적합한 (t)의 경우 (cosh t) 및 (sinh t)는 쌍곡선의 일반적인 점 좌표입니다. 실제로 (t)는 그림 (PageIndex{2})의 첫 번째 그래프에 표시된 면적의 2배임을 알 수 있습니다. 이것은 삼각법과 유사합니다. (cos t) 및 (sin t)는 단위원의 일반적인 점의 좌표이고 (t)는 그림의 두 번째 그래프에 표시된 면적의 두 배입니다 (PageIndex{2 }).

그림 (PageIndex{2}): sin, cos, sinh, cosh의 기하학적 정의: (t)는 각 그림에서 음영 영역의 두 배입니다.

쌍곡선 함수의 정의가 주어지면 그 도함수를 찾는 것은 간단합니다. 여기서 다시 삼각 함수의 유사성을 볼 수 있습니다.

정리 4.11.5

( {dover dx}cosh x=sinh x) 및 hmrdef{thm:쌍곡선 도함수} ( {dover dx}sinh x = cosh x).

증거

[ {dover dx}cosh x= {dover dx}{e^x +e^{-x}over 2} = {e^x- e^{-x}over 2} = sinh x,]

그리고

[ {dover dx}sinh x = {dover dx}{e^x -e^{-x}over 2} = {e^x +e^{-x }over 2} = cosh x.]

(정사각형)

(cosh x > 0), (sinh x) 는 증가하므로 주입식이므로 (sinh x) 에는 역수 ( ext{arcsinh} x)가 있습니다. 또한, (sinh x > 0) 일 때 (x>0), 그래서 (cosh x) 는 ([0,infty)) 에 대한 주입식이며 (부분) 역행렬, ( ext{arccosh} x). ( ext{arcsech} x)는 부분 역함수일 뿐이지만 다른 쌍곡선 함수에도 역함수가 있습니다. 우리는 다른 역함수를 가지고 있기 때문에 이러한 함수의 도함수를 계산할 수 있습니다.

정리 4.11.6

( {dover dx} ext{arcsinh} x = {1oversqrt{1+x^2}}).

증거

(y= ext{arcsinh} x), 따라서 (sinh y=x). 그 다음에

[ {dover dx}sinh y = cosh(y)cdot y' = 1,]

그래서

[ y' ={1overcosh y} ={1oversqrt{1 +sinh^2 y}} = {1oversqrt{1+x^2}}.]

(정사각형)

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비디오 보기: 쌍곡선의 특별한 친구, 점근선에 대하여. 기하 한석만의수학의원리 (팔월 2022).