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1.1: 중요한 이유 - 복습 - 수학

1.1: 중요한 이유 - 복습 - 수학



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이전 수학 수업의 주제를 검토하는 이유는 무엇입니까?

또 먹튀?

당신은 하루 종일 교실에 있었고, 뛰어 다니고, 어린이집에서 아이들을 데리러 왔고, 길고 잔인한 통근 후에 집에 돌아와서 저녁 식사를 위해 무엇을 고칠지 생각하지 않았다는 것을 깨달았습니다. 냉장고에 가면 남은 음식과 과거 식사에서 나온 관련 없는 조각들이 뒤죽박죽이 되어 있는 것을 볼 수 있습니다. 피곤함에도 불구하고, 당신은 모두가 기꺼이 먹을 식사를 한데 모으며 저녁 시간을 보낼 수 있습니다.

이 섹션에서 주제는 남은 음식의 자갈과 함께 식사처럼 느껴질 수 있습니다. 목표는 냉장고 뒤에 있는 남은 상자와 같이 대부분의 사람들이 쉽게 잊어버리는 이전 수학 수업의 기술과 주제를 상기시키는 것입니다. 때때로 우리는 이러한 개념이 작동하는 방식을 잊어버리기 때문입니다. 우리가 그들을 다시 필요로 할 때까지.

학습 결과

  • 분수를 사용한 산술
    • 분수 더하기 및 빼기
    • 분수 곱하기
    • 분수 나누기
  • 실수의 산술
    • 실수 더하기 및 빼기
    • 실수의 곱셈과 나눗셈
    • 실수로 표현을 단순화
    • 실수로 복합 표현 단순화
  • 퍼센트
    • 퍼센트의 기본을 설명하라
    • 백분율을 포함하는 방정식 풀기
    • 퍼센트 변경 및 이자 문제 해결

이 과정의 나머지 섹션을 진행하면서 다루었던 주제를 다시 상기해야 한다고 생각되면 이 리뷰로 돌아오십시오. 이러한 주제는 종종 잊혀지고 코스 전반에 걸쳐 널리 사용되기 때문에 선택되었습니다. 걱정하지 마십시오. 케첩과 마찬가지로 이러한 개념은 유통 기한이 깁니다.


1.1 경제학이란 무엇이며 왜 중요한가?

경제학 인간이 결핍에 직면하여 결정을 내리는 방법에 대한 연구입니다. 이것은 개인의 결정, 가족의 결정, 사업상의 결정 또는 사회적인 결정이 될 수 있습니다. 주변을 잘 살펴보면 희소성이 삶의 현실임을 알게 될 것입니다. 부족 재화, 서비스 및 자원에 대한 인간의 욕구가 사용 가능한 것을 초과한다는 것을 의미합니다. 노동, 도구, 토지, 원자재와 같은 자원은 우리가 원하는 재화와 서비스를 생산하는 데 필요하지만 공급이 제한되어 있습니다. 물론 궁극적인 희소 자원은 시간입니다. 부자든 가난한 자든 누구나 원하는 상품을 얻기 위해 하루 24시간만 투자할 수 있습니다. 어느 시점에서든 사용할 수 있는 리소스는 한정되어 있습니다.

미국 노동 통계국(U.S. Bureau of Labor Statistics)에 따르면 2015년 미국 노동력에는 1억 5,860만 명이 넘는 노동자가 있었습니다. 마찬가지로 미국의 총 면적은 3,794,101평방마일입니다. 이러한 중요한 자원의 경우 많은 수이지만 제한적입니다. 이러한 자원이 제한되어 있기 때문에 이를 사용하여 생산하는 상품과 서비스의 수도 제한됩니다. 이것을 인간의 욕망이 사실상 무한한 것처럼 보인다는 사실과 결합하면 희소성이 왜 문제인지 알 수 있습니다.

그림 1. 자원의 부족. 노숙자들은 자원의 부족이 현실임을 확연히 상기시킵니다. (크레딧: "daveynin"/Flickr Creative Commons)

여전히 결핍이 문제라고 생각하지 않는다면 다음을 고려하십시오. 모든 사람이 먹을 음식이 필요합니까? 모두가 살기 좋은 곳이 필요합니까? 모든 사람이 의료 서비스를 이용할 수 있습니까? 세계의 모든 국가에는 굶주리고 노숙자(예: 그림 1에서와 같이 공원 벤치를 침대라고 부르는 사람들)가 있으며 몇 가지 중요한 재화와 서비스에 집중하기 위해 건강 관리가 필요한 사람들이 있습니다. . 왜 이런 일이 발생합니까? 희소성 때문입니다. 희소성은 경제를 이해하는 데 매우 중요하기 때문에 희소성의 개념을 조금 더 깊이 파헤쳐 보겠습니다.


예제를 통한 게임 이론

기본 도서관 목록 위원회(Basic Library List Committee)는 학부 수학 도서관이 이 책을 구입을 위해 고려할 것을 제안합니다.

에리히 프리즈너's 예제를 통한 게임 이론 MAA's Classroom Resource Materials 시리즈에 대한 모범적인 기여입니다. 주제에는 동시 게임과 순차 게임, 제로섬 및 논제로섬, 완벽한 정보와 무작위성이 모두 포함됩니다. 게임을 위한 혼합 전략은 27장에서 비교적 늦게 논의되지만 9개의 예제 장이 뒤따르므로 이 주제도 탐색할 수 있습니다. Prisner는 학생이 개별적으로 또는 그룹으로 탐색할 수 있는 풍부한 예제 게임을 제공하며, 질문은 몇 분이 소요될 수 있는 프로젝트에 응답하는 데 몇 분이 소요될 수 있습니다. 텍스트의 전자 형식을 사용하면 독자가 토론 중인 게임을 경험할 수 있는 Java 애플릿 세트와 게임 분석에 필요한 계산을 수행하는 Excel 스프레드시트 세트에 쉽고 시기 적절하게 액세스할 수 있으므로 학생들이 주제의 기계적 측면에서 수렁에 빠졌습니다. 일반적으로 애플릿과 스프레드시트는 학생들이 변형에 대해 질문하고 스스로 탐색할 수 있도록 수정할 수 있습니다.

Prisner가 유용한 서문에서 언급했듯이 그는 한 학기 과정에서 다룰 수 있는 것보다 훨씬 더 많은 자료를 포함했습니다. 그는 8개의 이론 장(각각 예제 게임도 포함) 간의 관계를 표시하는 텍스트에 대한 유용한 가이드를 제공합니다. , 학생들에게 Excel에 대한 간략한 설명을 제공하는 챕터, 학생들에게 아이디어의 발전과 관련성에 대한 감각을 제공하는 5개의 역사 챕터, 그리고 구체적인 예를 논의하는 24개의(!) 챕터.

Prisner는 경제학, 정치학, 컴퓨터 과학 및 수학을 전공하는 학생들을 포함하여 이 책의 가능한 독자 수를 제안합니다. 설명은 간결하지만 충분히 명확하고 이 모든 그룹이 책을 즐길 수 있을 만큼 풍부한 예가 있다고 믿습니다. . 그는 그의 책이 좋은 2차 텍스트가 될 것이라고 제안합니다. 나는 이에 동의합니다. 왜냐하면 내가 이 책에서 가르치거나 독립적인 연구를 위해 그것을 사용한다면 이론이 더 발전하고 Prisner's가 있는 1차 텍스트를 갖고 싶기 때문입니다. 구체적인 예에 ​​대한 책.

그러나 Prisner가 염두에 두었던 텍스트의 주요 청중은 수학의 일반 교육 과정이었습니다. 책의 계산은 미적분학 전 수준, 아마도 고등학교 대수학 수준에서 수행되는 반면 아이디어와 추상화 수준은 대학 수준의 독자에게 적합합니다. 우리 기관의 일반 교육 수학 과정의 특정 제한 사항에는 맞지 않지만 이 텍스트를 다양한 분야의 학생들과 함께하는 우등 세미나의 기초로 사용하는 것을 확실히 상상할 수 있습니다. 그리고 구체적인 예는 또한 게임 이론의 일부 주제(조합론, 선형 계획법, 수학의 역사, 중등 및 중등 교사를 위한 대학원 과정)를 논의하는 다양한 과정에서 저에게 도움이 될 것입니다. 우리 학생들은 특히 TV 퀴즈 쇼를 연상시키는 순차 게임을 즐깁니다. 거래 또는 거래 없음, "미스터 퍼펙트를 기다리며", 선거 광고에 돈을 쓰는 것(특히 여기 아이오와에서!), 포커의 더 간단한 변형.

본문에는 적은 수의 오류가 있으며, 그 중 일부는 학생들에게 어려움을 줄 것입니다. 예외는 201페이지에서 가장 빈번한 전략이 종이보다 가위라고 하는 경우와 206페이지에서 그림 27.1에 그려진 선이 ((0,A_<2,i> )) 에서 ((0, A_<1,i>)) 에서 ((1, A_<2,i>)) 가 아니라 ((1, A_<1,i>)) .

책 전반에 걸쳐 제시된 주제에 대한 Prisner의 열정에 깊은 인상을 받았습니다. 그는 또한 보수(돈만이 아니라)에서 심리적, 사회적 효용을 고려하는 가치, 모든 인간이 모든 상황에서 합리적인 행위자가 아니라는 확신, 전쟁과 전쟁 상황에서 게임 이론을 사용하는 도덕성에 대해 사려 깊고 지적인 논평을 제공합니다. 결투. 그가 이 자료를 가르치고 학생들의 말을 경청한 것이 분명합니다.

요약하자면, 이 책은 게임 이론의 주제를 가르치는 모든 강사에게 유용한 예제 리소스가 될 것입니다. 또한 응용 수학의 이러한 측면에서 탐구 프로젝트에 학생들을 참여시키려는 일반 교육 과정을 위한 좋은 텍스트가 될 것입니다.

조엘 핵(Joel Haack)은 노던 아이오와 대학교(University of Northern Iowa)의 수학 교수입니다.


단위 테스트 대 통합 테스트

고려해야 할 또 다른 중요한 사항은 단위 테스트와 통합 테스트의 차이점입니다.

소프트웨어 엔지니어링에서 단위 테스트의 목적은 다른 부분과 독립적으로 상대적으로 작은 소프트웨어 부분의 동작을 확인하는 것입니다. 단위 테스트는 범위가 좁고 모든 경우를 다룰 수 있어 모든 단일 부품이 올바르게 작동하는지 확인할 수 있습니다.

반면에 통합 테스트는 시스템의 다른 부분이 실제 환경에서 함께 작업. 그들은 복잡한 시나리오를 검증하며(통합 테스트는 사용자가 시스템 내에서 일부 고급 작업을 수행하는 것으로 생각할 수 있음) 일반적으로 데이터베이스 또는 웹 서버와 같은 외부 리소스가 있어야 합니다.

미친 과학자 비유로 돌아가서 그가 키메라의 모든 부분을 성공적으로 결합했다고 가정해 보겠습니다. 그는 생성된 생물의 통합 테스트를 수행하여 다른 유형의 지형을 걸을 수 있는지 확인하려고 합니다. 우선, 과학자는 생물이 걸을 수 있는 환경을 모방해야 합니다. 그런 다음, 그는 그 생물을 그 환경에 던지고 막대기로 찌르며 그것이 의도한 대로 걷고 움직이는지 관찰합니다. 테스트를 마친 미친 과학자는 현재 그의 아름다운 실험실에 흩어져 있는 모든 흙, 모래 및 암석을 청소합니다.

단위 테스트와 통합 테스트의 중요한 차이점을 확인하세요. 단위 테스트는 환경 및 다른 부분과 격리된 응용 프로그램의 작은 부분의 동작을 확인하고 구현하기가 매우 쉬운 반면 통합 테스트는 실제에 가까운 환경에서 서로 다른 구성 요소 간의 상호 작용을 다룹니다. 추가 설정 및 분해 단계를 포함하여 더 많은 노력이 필요합니다.

단위 및 통합 테스트의 합리적인 조합은 모든 단일 단위가 다른 단위와 독립적으로 올바르게 작동하도록 하고 이러한 모든 단위가 통합될 때 원활하게 작동하여 전체 시스템이 예상대로 작동한다는 높은 수준의 확신을 줍니다.

그러나 우리가 구현하는 테스트의 종류(단위 또는 통합 테스트)를 항상 식별해야 한다는 것을 기억해야 합니다. 그 차이는 때때로 속일 수 있습니다. 비즈니스 로직 클래스에서 미묘한 엣지 케이스를 확인하기 위해 단위 테스트를 작성하고 있다고 생각하고 웹 서비스 또는 데이터베이스와 같은 외부 리소스가 있어야 한다는 것을 깨닫는다면 뭔가 잘못된 것입니다. 본질적으로, 우리는 큰 망치를 사용하여 너트를 깨십시오. 그리고 그것은 나쁜 디자인을 의미합니다.


특별 제공 및 제품 프로모션

검토

"거의 100년 전에 현자 타고르와 과학자 아인슈타인은 현실의 본질에 대해 논의하기 위해 짧은 만남을 가졌다. 과학과 영성이 어떻게 서로를 알리는지에 대한 그들의 매혹적인 담론을 다시 방문하는 것은 이미 오래전에 이 새 책이 마침내 해냅니다! 나처럼, 아인슈타인의 세계를 더 좋아한다면, 이 책은 저자들이 솜씨 좋게 밝혀낸 타고르의 아름다운 인간 우주에 경탄하게 만들 것입니다." &ndashDimitar Sasselov, 하버드 대학교 천문학 교수, 저자 초지구의 생명: 외계 세계와 인공 세포에 대한 사냥이 어떻게 우리 행성의 생명에 혁명을 일으킬 것인가

"이것은 단지 또 다른 인기 있는 과학 책이 아닙니다. 나는 누구인가? 그리고 내가 왜 여기에 있지?. 이 중요한 새 책은 우리의 존재 자체에 관한 오늘날의 가장 중요한 과학적 질문을 다룹니다. 결국 우리는 우리가 종으로서 즐기는 신경계에 따라 정의하고 합성하는 참여적 우주에 살고 있다는 확신을 가질 수밖에 없습니다. 그 결과 당신의 마음을 활짝 열릴 흥미진진하고 절대적으로 매혹적인 문학적 모험이 펼쳐집니다!" &mdash박사 루돌프 E. 탄지, 조셉. P. and Rose F. Kennedy 신경과 교수 하버드 의과대학 부의장, 신경과 책임자, 유전 및 노화 연구 단위 매사추세츠 종합 병원

"현대 과학에 불필요하게 만연한 유물론적 패러다임의 무모함과 부적절함을 지적하는 영감과 통찰력 있는 작품" &mdashRuth E. Kastner, Ph.D, 저자  우리의 보이지 않는 현실 이해: 양자 수수께끼 풀기  
 
"인 당신은 우주입니다, Deepak Chopra는  에서 중단한 부분을 다시 시작합니다.세계관 전쟁, 이번에야말로 과학자(나)와 전쟁을 하기 보다는 하나와 힘을 합친다. 양자 물리학 전문가인 메나스 카파토스(Menas Kafatos)와 협력하여 초프라는 우리를 우주와 그 안에 있는 인류의 위치를 ​​둘러보고 과학과 영성을 탐구하고 서로 정보를 제공할 수 있는 방법을 안내합니다. 구독하지 않는 세계관이지만 즐거운 라이딩이었다"고 말했다. &mdashLeonard Mlodinow, PhD, 저자 술 취한 사람의 길: 무작위성이 당신의 삶을 지배하는 방법, 그리고 그랜드 디자인 (스티븐 호킹과 함께)
 
"뇌과학과 서양철학이 의식에 의해 혼란에 빠진 상황에서 이 책은 우리 마음과 우주의 근본적인 구성 사이의 깊은 연결인 해결책을 제시합니다." &mdashStuart Hameroff, 의식 연구 센터 MD 이사 겸 공동 설립자 마취과 명예 교수 애리조나 대학교 심리학과 명예 교수

&ldquo저는 Deepak Chopra가 자신의 많은 저술에서 그가 옹호하는 많은 논란의 여지가 있고 도발적인 아이디어를 정말로 믿는지 종종 질문을 받습니다. 이제 그를 알게 되었기 때문에 나는 분명히 긍정적으로 대답할 수 있으며, Chapman University의 제 동료이자 존경받는 물리학자인 Menas Kafatos와 공동 저술한 You Are The Universe보다 그의 과학적 세계관을 더 잘 요약한 것은 없습니다. . 인간의 의식이 일차적인 세계관과 그 관점이 과학을 통해 어떻게 변호될 수 있는지를 이해하고 싶다면 읽어야 할 책이다. Deepak과 그의 세계관을 더 잘 이해하기 위한 내 여정에서 이 책은 내가 선택한 가장 계몽적인 길이었습니다.&rdquo &mdashMichael Shermer, PhD, 게시자 회의론자 잡지, 월간 칼럼니스트 사이언티픽 아메리칸, 채프먼 대학교 대통령 펠로우, 의 저자 도덕적 호, NS그는 두뇌를 믿는, 그리고 사람들이 이상한 것을 믿는 이유

"자신에 대한 더 넓은 시야를 가질 준비가 되셨습니까? 직면하십시오! 과학의 패러다임이 물질의 우선성에서 의식의 우선성, 저자가 말하는 감각의 우선성, 즉 느낌의 우선성으로 변화하고 있습니다.  책을 읽고 우주와 자신에 대해 더 많이 알아보세요." &mdashAmit Goswami, Ph.D., 이론 양자 물리학자, 저자 모든 것 답안지 그리고 양자 경제학

"우주를 이해하려면 혁신적인 인식과 때로는 핵심 패러다임이 필요합니다. 우리의 우주적 관점은 상대성 이론과 양자 우주의 출현으로 근본적으로 바뀌었습니다. 현대 과학에서 핵심 미스터리가 아직 풀리지 않은 상태입니다. 우리는 다시 우주를 이해하는 중요한 기로에 서 있습니까? Deepak 초프라와 메나스 카파토스는 관찰자가 우주의 수수께끼를 해결한다는 점에서 새로운 길을 제시합니다. 이 책은 신선한 아이디어와 자아와 우주로의 즐거운 여행을 제공합니다." &mdash박사 Pankaj S. Joshi, Tata Institute of Fundamental Research 이론 물리학자이자 우주론자, 뭄바이의 선임 교수

"십대였을 때 나는 사람들이 자신의 생각과 감정을 자신의 정체성에 필수적인 요소로 여기지만, 그들의 인식을 완전히 자신을 초월한 것으로 여기는 것이 다소 이상하다는 것을 알게 되었습니다. 우리가 지각하는 세계는 결국 우리 정신 생활의 일부입니다. 이 책에서 Deepak과 Menas는 겉보기에 천진난만해 보이는 이 아이디어를 우주의 높이로 끌어올려 그 진정한 힘과 중요성을 드러냅니다. 매우 기쁜." &mdashBernardo Kastrup, Ph.D., 저자  물질주의가 무의미한 이유그 너머의 간략한 엿보기 및 알레고리 그 이상.
 
&ldquo당신은 우주입니다 철자가 될 수 있었다 유니버스 우주의 '당신'만이 모든 것의 시작에 있는 것이 아니라 '당신'이 모든 것의 시작점에 있기 때문입니다. 초프라와 카파토스는 잘 쓰여졌고 오늘날 과학자가 아는 한, 주관적인 의식은 현재 이해되고 있는 물질적 실재의 기초를 제공합니다. 나는 호기심이 살아있는 사람들에게 이것을 강력히 추천합니다.&rdquo &mdashFred Alan Wolf, Ph.D.  aka Dr. Quantum® 이론 물리학자, 저자 영적 우주, 전국 도서상 수상 양자 도약, 시간 루프 및 공간 왜곡, 그리고 많은 다른 책들.
 
&ldquo디팩의 최신 걸작은 우주학자 메나스 카파토스(Menas Kafatos)와 공동 작업한 작품입니다.  이 작품은 우리 자신과 과학에 대해 물어볼 수 있는 가장 중요한 모든 질문을 다룹니다.  우리가 누구인지, 그리고 우리가 왜 여기에 있는지와 같은 질문에 답을 뒷받침하는 과학과 함께&ndash.  이것이 바로 우리가 이야기한 &ldquo새로운 패러다임&rdquo입니다!&rdquo &mdashErvin Laszlo, 저자 현실이란 무엇인가 우주와 의식의 새로운 지도
 
&ldquo이 흥미로운 책에서 천체 물리학자는 의사와 독특한 팀을 이루고 있습니다. 그들은 소설을 선보이며 감히 우리 모두가 우주에서 우리의 위치에 대한 생각을 재고하게 해야 하는 혁명적인 "패러다임"이라고 말할 수 있습니다. 그것은 많은 사람들의 근시안적인 믿음에서 정체된 물을 흔들 것입니다. 그것은 또한 우리가 Cosmos&rdquo와 우리의 진정한 관계에 대해 생각하고 궁금해하게 만들 것입니다. &mdashKanaris Tsinganos, 아테네 국립 천문대 총재 겸 회장, 아테네 대학교(그리스) 물리학과 천문학 및 역학 교수

&ldquo이 책은 마음이 현실을 만든다는 신경과학적 관점에서 중요한 측면을 논의합니다. 저자는 외부 현실과 내부 현실을 구별하는 것을 좋아하지 않습니다. 이는 이가카라 불교와 유사하다. 그러나 어떤 물리 이론에도 경계 조건을 포함해야 하는지 아니면 경계 조건이 물리 이론 밖에 있는지 여부는 매우 중요한 문제를 제기합니다. 이 책은 새로운 토론의 환경을 조성할 수 있는 그러한 매혹적인 문제를 많이 제기합니다.&rdquo &mdashSisir Roy, T.V. Raman Pai 방갈로르 IISC 캠퍼스 국립 고등 연구 연구소 의장 및 인도 콜카타에 있는 인도 통계 연구소의 물리학 및 응용 수학 부서 교수.
 
&ldquo당신은 우주입니다, 물리학자 Menas Kafatos의 통찰력과 함께 Deepak Chopra의 모든 저작이 지닌 일반적이고 우아한 명료성을 제공하여 현대 과학의 최전선에서 가장 심오하고 시급한 질문을 해명합니다.  Weaving Dr. Chopra의 생물학 시스템에 대한 전문 지식을 Kafatos 교수 ' 양자 물리학, 지구 물리학, 우주론 분야에서 가장 성공적인 현대 과학이 그들 자신의 삶의 깊은 영적 실천의 생명광으로 설명할 수 있는 한계에 도달하는 영역을 조명합니다.  결과 서로 다른 관점의 충돌이 아니라 우리 문화에 대한 위대한 지혜, 아름다움, 편안함이 풍부하고 시너지 효과를 내는 태피스트리입니다.  이와 같이 당신은 우주입니다 우리 각자에게 주는 위대하고 관대한 선물입니다.&rdquo &mdashNeil Theise, MD, Icahn School of Medicine at Mount Sinai 병리학 교수

저자 소개

디팍 초프라, MD, FACP, 초프라 재단의 설립자이자 초프라 웰빙 센터와 지요의 공동 설립자이며 통합 의학 및 개인 변화의 세계적으로 유명한 개척자이며 내과, 내분비학 및 대사 분야에서 보드 인증을 받았습니다. 그는 American College of Physicians 펠로우, 샌디에이고 캘리포니아 대학교 가정의학과 공중보건학과 임상 교수, MGH(Massachusetts General Hospital) 신경과 및 정신과 연구원, 미국 임상 협회 회원 내분비학자. 월드 포스트 그리고 허핑턴포스트 글로벌 인터넷 설문 조사에서 Chopra는 세계에서 영향력 있는 사상가 17위, 의학 분야에서 1위를 차지했습니다. Chopra는 수많은 New York Times 베스트셀러를 포함하여 43개 이상의 언어로 번역된 85권 이상의 책을 저술했습니다. TIME지는 Dr. Chopra를 "세기의 영웅이자 아이콘 100인 중 한 명"으로 묘사했습니다.

메나스 카파토스 Fletcher Jones는 Chapman University의 전산 물리학 교수이자 320개 이상의 참고 논문과 15권의 책을 저술했습니다. 그는 학사 학위를 받았습니다. 1967년 코넬대학교에서 물리학 박사 학위를 취득했습니다. 1972년 매사추세츠 공과 대학에서 물리학 박사 학위를 받았습니다. 그는 2009-2012년에 학장을 역임한 Chapman University의 Schmid College of Science and Technology의 창립 학장입니다. 그는 지구 시스템 모델링 및 관측의 우수 센터(Center of Excellence)를 이끌고 있습니다.

발췌. 복사(©) 허가를 받아 재인쇄했습니다. 판권 소유.

빅뱅 이전에는 무엇이 있었는가?

시간과 공간이 늘어진 빨랫줄처럼 휘어지기 시작했지만, 물리학에는 전면적인 공포가 있었는데, 그 이유는 줄이 끊어질 가능성이 아직 없었기 때문입니다(공간과 시간을 쪼개는 블랙홀은 나중에 그림에 등장했습니다. ). 뛰어난 방정식은 현실을 그대로 유지하기 위해 고안되었으므로 수학이 매우 신비롭다는 사실 자체가 매우 혼란스러운 아이디어를 일반 대중으로부터 멀리 유지했습니다. 그러나 이 모든 것이 빅뱅 이론의 출현으로 바뀌었습니다. 한 획에 시간이 두 배로 단축되었습니다. 빅뱅과 함께 현장에 도착한 우리가 아는 시간이 있었고, 우리 우주 밖에 존재하는 다른&mdash­weird time, pre­time, no time?&mdash­가 있었습니다.

아인슈타인의 지시에 따라 우주 밖의 현실을 시각화할 수 있는지 봅시다. 편의를 위해 다음과 같이 수수께끼를 풉니다. &ldquo빅뱅 이전에는 무엇이 있었습니까?&rdquo문제를 시각화하는 데 약 137억 년 전으로 거슬러 올라가는 가상의 타임머신에 들어가는 것보다 더 좋은 방법은 없습니다. 이 우주의 창조를 시작한 상상할 수 없는 폭발에 가까워지면서 우리의 타임머신은 극도의 위험에 노출됩니다. 과열된 갓난 우주가 첫 번째 원자가 합쳐질 만큼 충분히 식는 데 수천 년이 걸렸습니다. 그러나 우리의 타임머신은 처음에는 상상의 것이기 때문에 녹거나 아원자 입자로 흩어지지 않고 과열된 공간을 돌고 있다고 상상할 수 있습니다.

빅뱅이 발생한 지 몇 초 만에 목표에 가까워지고 있음을 느낍니다. &ldquoSeconds&rdquo는 시간이 존재함을 의미하며 이제 유일한 과제는 초를 백만분의 1초, 10억분의 1초, 1조분의 1초로 줄이는 것뿐입니다. 인간의 두뇌는 그런 미세한 규모로 작동하지만 1조분의 1초를 인간의 용어로 번역할 수 있는 온보드 컴퓨터가 있다고 가정해 보겠습니다. 결국 우리는 상상할 수 있는 가장 작은 시간(및 공간) 단위에 도달합니다. 윌리엄 블레이크(William Blake)의 유명한 구절인 &ldquo손바닥에 무한대를 쥐고 ​​/ 그리고 한 시간 안에 영원을&rdquo이 실현되고 있습니다. 비록 한 시간은 너무 길고 길지만 말입니다. 이 시점에서 우주의 규모가 극도로 작았을 때 우리의 온보드 컴퓨터는 엉망이 되었고 예기치 않게 아무 것도 계산할 수 없었습니다.

우리의 모든 기준 틀이 무너졌습니다. 물질이나 에너지는 없고 소용돌이치는 혼돈뿐이며 이 혼돈 속에는 우리가 자연의 법칙이라고 부르는 종류의 규칙이 없습니다. 규칙이 없으면 시간 자체가 무너집니다. 우리 타임머신의 선장은 상황이 얼마나 나쁜지 승객들에게 말하지만 불행히도 몇 가지 이유로 승객에게 말을 할 수 없습니다. 시간이 무너지면 &ldquobefore&rdquo 및 &ldquoafter&rdquo와 같은 개념도 무너집니다. 선장에게 우리는 더 이상 특정 시간에 지구를 떠나지 않고 나중에 빅뱅에 도착했습니다. 이벤트는 모두 상상할 수 없는 방식으로 결합됩니다. 승객은 &ldquo여기에서 나가게 해주세요&rdquo라고 외칠 수도 있습니다. 왜냐하면 공간도 용해되어 &ldquoin&rdquo 및 &ldquoout&rdquo 개념을 쓸모없게 만들기 때문입니다.

창조의 바로 그 문턱에서의 이러한 붕괴는 우리의 타임머신이 '실제'일지라도 실제입니다. 아무리 열심히 일한다 해도, 아무리 시간을 깎는다 해도 일상적인 방법으로는 문턱을 넘을 수 없습니다&mdash­not, 보다시피, 빅뱅은 &ldquo모든 곳에서 발생했고&rdquo 그래서 우리가 할 수 있는 곳이 아니었습니다. 여행하다.

두 가지 옵션이 남아 있습니다. &ldquo빅뱅 이전에 무엇이 왔습니까?&rdquo는 대답할 수 없는 질문이거나, 아니면 답을 밝힐 수 있는 특별한 수단이 발견되어야 합니다. 그러나 한 가지는 확실합니다. 시간과 공간의 기원은 시간과 공간에서 발생하지 않았습니다. 그것은 비범한 곳에서 일어났고, 운 좋게도 우리에게는 비범한 대답이 제 자리에서 어울리지 않고 요구되고 있음을 의미합니다. 이를 염두에 두고 우주 수수께끼를 시작하십시오.

&ldquoBefore&rdquo 및 &ldquoafter&rdquo는 시공간의 틀 안에서만 의미가 있는 개념입니다. 걸을 수 있기 전에 태어나 중년이 지나면 노년이 됩니다. 우주의 탄생도 마찬가지입니다. 빅뱅과 함께 시간과 공간이 출현했다는 이론이 널리 퍼져 있다. 그것이 사실이라면 고정된 가정이 아니라 오직 하나의 가능성만 있다면 진정한 질문은 &ldquo시간이 시작되기 전에 무엇이 왔습니까?&rdquo가 그것을 두는 첫 번째 방법보다 낫습니까?

아니오. &ldquo시간이 시작되기 전에&rdquo는 &ldquo때 설탕이&rsquot 달콤할 때와 같이 자기모순입니다. 양자 물리학은 Lewis Carroll&rsquos Through-­Glass에서 Alice와 Red Queen 사이의 대화를 마음에 들었습니다. 앨리스가 자신이 7살 반이라고 발표하자 여왕은 자신이 100일 5개월 1일이라고 반박한다.

&ldquo나는&rsquot이 그것을 믿을 수 있습니다!&rdquo는 앨리스가 말했습니다.

&ldquo할 수 있나요?&rdquo 여왕이 불쌍한 어조로 말했습니다. &ldquo다시 시도: 길게 숨을 들이쉬고 눈을 감으세요.&rdquo

앨리스는 웃었다. 그녀가 말했다. &ldquo사람은&rsquot 불가능한 것을 믿을 수 있습니다.&rdquo

&ldquo당신은 연습을 많이 하지 않았다고 감히 말할 수 있습니다.&rdquo 여왕이 말했습니다. &ldquo내가 당신 나이였을 때, 나는 항상 하루에 30분 동안 그것을 했습니다. 왜, 나는 때때로 아침 식사 전에 불가능한 일을 여섯 가지나 믿었습니다.&rdquo

양자 행동은 우리로 하여금 불가능한 일에 더욱 관대하게 만듭니다. 빅뱅 당시의 상황은 평범하지 않다. 그것들을 이해하기 위해서는 일부 소중한 신념에 도전을 받은 다음 버려야 합니다. 첫째, 빅뱅은 우주의 시작이 아니라 현재 우주의 시작이라는 사실을 깨달아야 합니다. 현재 우주가 다른 우주에서 생성되었는지 여부를 지금 무시하면 물리학은 실제로 우주를 절대 시작점으로 거슬러 올라갈 수 있습니다. 측정을 하는 것은 측정할 것이 있을 때만 작동하며, 태초에 어떤 종류의 질서도 없이 아주 작은 조각이 있었습니다. 물체도, 시공간 연속체도, 자연 법칙도 없습니다. 즉, 순수한 혼돈. 이 상상할 수 없는 상태에서 수천억 개의 은하에 있는 모든 물질과 에너지가 압축되었습니다. 1초도 안되어 상상할 수 없는 속도로 팽창이 가속화되었습니다. 인플레이션은 10-­36(1/1 다음에 36개의 0)에서 약 10-­32초 사이에 지속되었습니다. 인플레이션이 끝날 무렵, 우주는 1026배라는 엄청난 배만큼 크기가 커진 반면, 약 10만 배 정도 냉각되었습니다. 일반적으로 받아들여지는(그러나 절대적인 것은 아님) 시나리오는 출산 과정을 다음과 같이 매핑합니다.

&bull10-­36 seconds&mdash­우주는 과열된 조건에서 급격한 팽창(우주 팽창으로 알려짐)을 겪으며 원자 크기에서 자몽 크기로 팽창합니다. 그러나 존재하는 원자나 빛은 없습니다. 거의 혼돈의 상태에서 상수와 자연 법칙은 유동적이라고 생각됩니다.

&bull10-­32 seconds&mdash­여전히 상상할 수 없을 정도로 뜨겁고 우주는 전자, 쿼크 및 기타 입자로 끓고 있습니다. 이전의 급격한 인플레이션은 완전히 이해되지 않은 이유로 감소하거나 일시 중지됩니다.

&bull10-­6 seconds&mdash­극적으로 냉각된 유아 우주는 이제 쿼크 그룹에서 형성된 양성자와 중성자를 생성합니다.

&bull3 minutes&mdash­충전된 입자는 존재하지만 아직 원자는 없으며 빛은 우주가 된 짙은 안개를 벗어날 수 없습니다.

&bull300,000 years&mdash­냉각 과정은 수소와 헬륨의 원자가 전자, 양성자, 중성자에서 형성되기 시작하는 상태에 도달했습니다. 빛은 이제 탈출할 수 있으며, 얼마나 멀리 이동하느냐에 따라 이 지점에서 보이는 우주의 바깥쪽 가장자리(사건의 지평선)가 결정됩니다.

&bull1 billion years&mdash­중력의 인력을 통해 수소와 헬륨은 구름으로 합쳐져 별과 은하를 생성합니다.

이 타임라인은 우주가 원자 하나의 크기였을 때에도 오늘날 볼 수 있는 수십억 개의 은하를 생성하기에 충분한 빅뱅에 의해 생성된 운동량을 따릅니다. 그들은 초기의 상상할 수 없는 팽창의 힘에 의해 계속해서 멀어지고 있습니다. 처음부터 많은 복잡한 사건이 발생했지만(전체 책은 창조의 처음 3분만 설명하는 데 사용됨), 우리의 목적을 위해서는 대략적인 개요를 보는 것으로 충분합니다.

우리 모두는 다이너마이트나 화산이 어떻게 폭발하는지 상상할 수 있기 때문에 빅뱅은 현실에 대한 우리의 상식적인 견해에 맞는 것 같습니다. 그러나 일어난 일에 대한 우리의 이해는 깨지기 쉽습니다. 사실, 창조의 첫 순간은 우리가 시간, 공간, 물질, 에너지에 대해 인식하는 거의 모든 것에 의문을 제기합니다. 우리 우주의 출현에 대한 가장 큰 미스터리는 어떻게 무에서 무언가가 창조되었고, 이것이 어떻게 일어났는지 진정으로 이해할 수 있는 사람은 아무도 없다는 것입니다. 한편으로 &ldquoteno&rdquo는 어떤 형태의 관찰로도 도달할 수 없습니다. 다른 한편으로, 유아 우주의 초기 혼돈은 원자, 빛, 그리고 아마도 자연의 네 가지 기본 힘조차 없는 완전히 외계인 상태입니다.

이 모든 미스터리는 피할 수 없습니다. 왜냐하면 같은 탄생 과정이 바로 이 순간에도 항상 아원자 수준에서 계속되기 때문입니다. 창세기는 지금입니다. 우주를 구성하는 아원자 입자는 끊임없이 존재하고 사라집니다. 우주의 온/오프 스위치처럼 아무것도(소위 진공 상태라고 함)를 물리적 물체로 가득 찬 바다로 바꾸는 메커니즘이 있습니다. 현실에 대한 우리의 상식적인 견해는 별들이 차갑고 공허한 공허에 떠 있는 것을 봅니다. 그러나 실제로 그 공허함은 우리 주변에서 벌어지고 있는 창의적인 가능성으로 가득 차 있습니다.

이미 논쟁은 추상화되어 헬륨 풍선처럼 날아갈 준비가 된 것처럼 느껴집니다. 우리는 그런 일이 일어나기를 원하지 않습니다. 모든 우주의 신비에는 인간의 얼굴이 있습니다. 여름날 야외 잔디 의자에 앉아 있다고 상상해보십시오. A warm breeze makes you drowsy, and your mind is filled with half-­seen images and half-­realized thoughts. Suddenly someone asks, &ldquoWhat do you want for dinner?&rdquo You open your eyes and answer, ­&ldquoLasagna.&rdquo In this little scenario the mystery of the big bang is encapsulated. Your mind is capable of being empty, a blank. Chaotic images and thoughts roam across it. But when you are asked a question and make a reply, this emptiness comes to life. Out of infinite possibilities, you pick a single thought, and it forms in your mind of its own accord.

This last part is crucial. When you say &ldquolasagna&rdquo&mdash­or any other word&mdash­you don&rsquot build it up from something smaller. You don&rsquot construct it at all it just comes to you. For example, words can be broken down into letters, the way matter can be broken down into atoms. But of course, this isn&rsquot a true description of the creative process. All creation brings something out of nothing. It&rsquos humbling to realize that even as we feel comfortable being creators, immersed in infinite words and thoughts, we have no idea where they come from. Do you know your next thought? Even Einstein looked upon his most brilliant thoughts as happy accidents. The point is that creating something out of nothing is a human process, not a faraway cosmic event.

The transition of nothing into something always achieves the same result: a possibility becomes actual. Physics dehumanizes the process and does so with incredible precision. In unimaginably small scales of time, vibrations of quanta come out of emptiness and quickly merge back into emptiness, but this quantum on/off cycle is totally invisible to us. The rules governing physical creation must be deduced. You can&rsquot apply a stethoscope to the outside of the Superdome in order to discover the rules of football, and that&rsquos essentially what cosmology is doing, in attempting to explain the origin of the universe. Logical deduction is a great tool, but this may be a case in which it creates as many problems as it solves.

There&rsquos little doubt that the objects in space didn&rsquot exist before the big bang. But did space and time (technically, the space-­time continuum) also emerge with them? The standard reply is yes. If there were once no objects, there was no space or time, either. So what was the pre-­created state like? It didn&rsquot have an inside or outside, which are properties of space. As the infant universe expanded, it wasn&rsquot expanding with anything around it, and now, while billions of galaxies operate in outer space, the universe isn&rsquot like a balloon with a skin. Here again, the concepts of before and after, inside and outside simply don&rsquot apply.

Are we left with anything to hold on to? Barely. &ldquoTo exist&rdquo suggests the possibility that even without time and space, things might happen. Here&rsquos a useful analogy. Imagine that you are sitting in a room where you notice that objects are moving slightly: the milk in your cereal bowl is jiggling, and you can feel a vibration coming up through the floor.

As it happens, you are deaf, so you have no way of knowing if something is pounding on the walls of the room from the outside. (Some people might be sensitive enough to feel a vibration in their bodies&mdash­let&rsquos leave this aside.) But you can measure the waves in your cereal bowl and the vibrations of other objects, including the floor, ceiling, and walls. This is roughly how cosmologists confront the big bang. The universe is full of vibrations and waves emitted billions of years ago. These can be measured and inferences drawn from them. But uneasiness appears if we ask a simple question: Can someone who is deaf from birth actually know what sound is? Though there are measurable vibrations associated with sound, feeling them is not the same experience as hearing a solo violin, the voice of Ella Fitzgerald, or a dynamite explosion.

In the same way, measuring the light from racing galaxies and the background microwave radiation in the current universe (this radiation is a residue of the big bang) doesn&rsquot tell us what the beginning of the universe was like&mdash­we are working from inferences, just like a deaf person observing waves in his cereal bowl, and this limitation could be a fatal flaw in any explanation of where the universe came from.

We can still try, from our standpoint here in our space-­time, to explore laws of nature that operate outside space and time. In particular, physics can resort to the language of mathematics in the hopes that its existence doesn&rsquot depend on which universe you happen to live in. Most of the speculation that follows keeps faith with mathematics as something eternally valid. Even in an alien universe, where time goes backward and people walk on the ceiling, if you add one apple to another apple, the sum is two apples, right?

However, no one has ever proved that this faith is actually valid. The mathematics that&rsquos applicable to black holes, for example, is locked in speculation, because a black hole is totally impenetrable. Mathematics could be the product of the human brain. Take the number zero. It hasn&rsquot always been around. By 1747 BCE, the ancient Egyptians and Babylonians had a written symbol for zero as a concept, but it wasn&rsquot used as a number for calculating purposes until around AD 800, in India, long past the heyday of Greek and Roman culture.


WGU Academic Engagement Webinars Diversity, Equity, and Inclusion Best Practices

JASON R. THOMPSON
Vice President, Diversity, Equity & Inclusion, WGU

Jason R. Thompson is a thought leader in Diversity, Equity, and Inclusion, having spent the past 25 years building DE&I programs in sports, healthcare, technology, and education organizations.

His programs have won several awards at the local and international level. Most recently, the D&I Scorecard Jason developed received the top honor in the 2016 International Innovations in Diversity Awards program from Profiles in Diversity Journal, which also recognized him as a Diversity Leader in 2017 and 2018. His work has been highlighted and quoted in USA Today, The Washington Post, CNN, The New York Times, 그리고 The Guardian.

Session 1: Why inclusion matters.

Inclusion is commonly talked about in many companies and organizations. However knowing how to actually make real progress on inclusion can be challenging. Jason will share his experience and tools that help a company or organization focus on inclusion

Participants will leave with:

  • An understanding of what inclusion is and why it is in an important goal for organizations and companies
  • A few simple tools to intentionally move toward a more inclusive culture

Session 2: Why diversity plans should reflect your company.

Leaders are responsible for creating a diverse, equitable and inclusive environment where everyone is treated fairly and in a respectful manner. Creating a plan so that every employee knows what is expected of them can be challenging. The most successful companies create DE&I plans that reflect their company, its values and its mission.

Participants will takeaway:

  • An understanding of the importance of developing a DE&I plan that looks like their company
  • A general format to begin the process of formulation a personalized company DE&I plan
  • Participants are encouraged to review their organizations mission and vision prior to the session

Session 3: Why diversity data matters and how to use it for a successful DEI program.

Most companies collect some data, but knowing what to collect, when to collect it and how to use that data to set realistic, achievable goals is a challenge for many organizations. Jason will share his experience across different industries and company sizes on why diversity data is essential and how to use it most effectively to inform the direction and achievement of your DE&I initiatives and programs.


One-on-one for the books: how to plan productive 1:1 meetings

Meetings are a fact of office life. And while they may not be everyone’s favorite part of the day, with a little bit of planning, it is possible to make them productive and worthwhile for you and your teammates. One meeting type in particular can even help people feel more engaged at work: the one on one meeting.

Unlike department meetings, planning meetings, or quick syncs where teams might discuss the most pressing issues of the day, week, or month, the one on one meeting agenda looks a little different. For managers and their reports, one on one meetings are dedicated time for connecting regularly on goals, building rapport, and most importantly, coaching and mentorship.

One on one meetings are dedicated time for connecting regularly, building rapport, and most importantly, coaching and mentorship.

The most effective 1:1s are those that are prepped ahead of time. But more often than not, work (about work) gets in the way of planning a meaningful one-on-one agenda, leading to wasted time deciding what to talk about or meandering discussions that don’t feel actionable. The good news is: planning a productive one-on-one meeting is easier than it seems.

Whether you’re a manager or a report, here are few simple ways to make the most of your one-on-ones.

Create a shared one on one meeting agenda

One of the reasons why 1:1 meetings can feel ineffective is that there isn’t a consistent, shared space for creating and tracking agenda items. Without a designated spot for planning your agenda ahead of time (and to refer to during the meeting itself), it’s easy to veer off course.

If, for instance, you’ve ever kicked off a 1:1 with a list of agenda items in your head, only to find yourself talking about cat memes 10 minutes later, you probably need a better way to prep for your 1:1 meetings.

Instead, create a shared 1:1 agenda for you and your report (or manager). This makes it easy for both of you to collaborate on what to discuss. In Asana, you can set up a private meeting project for this, but whatever tool you choose to use, make sure that it’s easily accessible and editable by both 1:1 participants.

“Now that I’m using Asana, my conversations and 1:1s are so much more productive because we have this shared space where we can collaborate.”

– Tim Wood, Head of Product, Patreon

Organize your 1:1 agenda

Once you’ve created a shared space for planning and tracking your one on one meeting agenda, the next step is to add some structure. The idea here is to define a couple of high-level themes to help you organize discussion topics from one meeting to the next. Depending on the needs and preferences of you and your report, you can organize your 1:1 agenda many different ways. For example, it might be helpful to group agenda items into the following categories:

  • Discuss this week
  • Revisit later
  • Roadblocks and wins
  • Goals
  • Action items

To do this in Asana, just create sections for each theme in your meeting project:

Organizing your one on one meeting agenda this way balances tactical conversations about project work with bigger picture discussions about how that work ladders up to overall company goals and objectives and, not to mention, individual career goals. As you meet week to week, team members come away with a clearer sense of what they’re working on—and why it matters as well.

Add agenda items as they come up

With a shared space for your agenda and a clear structure in place, now comes the fun (and easy) part: adding topics for discussion. As soon as you or your report think of a topic—whether it’s feedback on a recent presentation, a question about budgets, or a growth opportunity—add these items to your shared agenda. Be sure to include a brief description and attach any relevant files, so you don’t forget anything important.

Adding agenda items ahead of time lets manager and report reflect on important topics before discussing in person.

This will help you avoid the mad scramble to remember everything you wanted to discuss right before your meeting. Adding agenda items ahead of time also lets both you and your report prep and reflect on important topics before discussing in person.

What to talk about in 1:1s

If you’re unsure of what to talk about in your one-on-ones, remember that it’s a shared space for asking questions, getting feedback, and discussing long-term goals. Both manager and report should feel comfortable contributing to the agenda. Here, for example, are a few topics you could discuss in your next 1:1:

  • Weekly and monthly priorities
  • Feedback on any in-progress assignments
  • Checking in on team and company goals
  • Identifying and resolving any roadblocks
  • Celebrating successes and milestones
  • What worked well (and didn’t) on recent projects
  • Career goals and learning opportunities

Take notes and take action

Before your next 1:1, take some time to review whatever topics have been added to your shared agenda since your last meeting and prioritize discussion topics. As the meeting progresses, make sure someone is taking notes on what’s discussed and to document any action items that come up.

By clearly outlining next steps and who’s doing what (by when), you create a sense of accountability and help ensure that any follow-up items are completed in a timely fashion. If you’re using a project in Asana to track your one on one meetings, all you have to do is create and assign a task and move it to your “Action items” section.

1:1s that work for everyone

Regular one-on-one meetings are a critical ingredient to keeping employees happy, productive, and engaged. By creating a shared space for your agenda and adding a little structure, you and your team members are more likely to keep your 1:1s on track and have meaningful and actionable conversations.

Learn how Asana can help you deliver a great employee experience by running all of your cross-functional programs and activities better.


The mystery of Fibonacci numbers

However, there seems to be an inconsistency in abstract math. Doing abstract math is like counting the triangles in The Louvre. Sure, it&rsquos fun to do, but is it of any use? However, it is in our nature to investigate. The predisposition to patternize, whether mathematically or behaviorally, cannot be neglected. Regardless of its futility, our fascination with patterns is persuasive enough to seek them.

Consider the Pisano Periods derived from the Fibonacci sequence. A Pisano Period, named after Fibonacci himself, is a set of numbers that cyclically repeat themselves. The numbers are remainders obtained from the division of Fibonacci numbers and a positive real number.

One can divide the sequence with 어느 number to obtain such a cyclic pattern. For instance, when the numbers are divided by 7, a period of 16 numbers emerge. Similarly, the period&rsquos length is 20 when the divisor is 5. Even dividing by 1/3 results in a long tape of recurring, identical snippets. However, mathematicians haven&rsquot discovered a general formula that predicts the length of one period when the sequence is divided by a particular number.

Another raging perplexity is the infinite right-angled triangles hidden in the sequence. Starting with 5, every second number in the sequence is the hypotenuse of a right-angled triangle whose longer side is the sum of all sides of the preceding triangle and the shorter side is the difference between the skipped number and the shorter side of the preceding triangle. A pictorial explanation will help these triangles be better understood.

The utility of abstract math has been the primary argument in the debate questioning whether math was invented or discovered. There are theories that illustrate the highest order of mathematical genius and rigor but are utterly isolated from the real world. For instance, Newton invented calculus 특히 to determine the equation of the trajectory that Earth was following around the Sun. Of course, calculus turned out to be lucrative in a myriad of other domains too, but can we say the same thing about Riemann&rsquos Hypothesis?

However, there are rare instances where highly esoteric abstract math becomes applicable. For instance, Riemann developed his absurd concepts of curved geometry in the 1850s, which seemed inapplicable until Einstein used them to rediscover the laws of gravity in his General Theory of Relativity. The unpredictability of these mathematical marriages still perturbs us.

This is the case with the mystical nature of Fibonacci numbers too. Despite being discovered in the Middle Ages, they have been discovered and rediscovered, to everyone&rsquos bewilderment, in places that we never expected. Our fascination with Fibonacci numbers extends to such an extent that an entire magazine is dedicated to its peculiarities, called the Fibonacci Quarterly.

Consider Pascal&rsquos triangle. When Pascal was consulted by a gambler about the odds of the outcomes of a die and the nature of stakes, he invented the theory of probability to solve these problems. Pascal&rsquos triangle is a neat triangle formed by binomial coefficients. The triangle acts as a table that one refers to while expanding the binomial equation.

Pascal&rsquos triangle. (Photo Credit: RDBury / Wikimedia Commons)

However, if you were to draw diagonals moving down the triangle and sum the numbers residing on each individual diagonal, then the series of numbers equated with each diagonal represent, as you might have guessed, the Fibonacci numbers. The theory of probability was founded 400 years after Liber Abaci was published.

Or, consider the Mandelbrot set, a mathematical function that can be limned by a beautiful diagram drawn in the complex plane. The diagram appears to be a heart-shaped leaf with tiny buds on its edges. These buds are suffused with incredibly thin thorns. The diagram represents a fractal, a structure whose every single part is made up of 그 자체. Which means that if you were to keep zooming in on it, you&rsquod find that the structure recurs in an infinite loop.

Mandelbrot set diagrams. (Photo Credit: Wolfgang Beyer with the program Ultra Fractal 3. / Wikimedia Commons)

As we zoom into the buds on the edges, we see that the bud enlarges into the original leaf and three new buds emerge on its edges. If one were to keep zooming in, he would witness this procession go on and on forever. However, as we peek deeper and deeper, we observe that the number of thorns on every new bud increases. The increment in numbers mimics a certain pattern it&rsquos the Fibonacci sequence! Who could&rsquove possibly predicted this?

The sequence also turns up in economics and in tracing the pedigree of male bees. It is extensively used in computer science, where it is used to generate perceivably random numbers by algorithms called Pseudorandom Number Generators. I use perceivably because the generated numbers aren&rsquot truly random they always depend on a previous input.

It is also used in sorting algorithms in which dividing the area into proportions that are two consecutive Fibonacci numbers, and not two equal parts. This renders the hunting down of a location to the simplest mathematical operations &mdash addition and subtraction. Whereas, binary sorting (dividing into two equal parts) requires the use of multiplication, division and bit shifting. The sequence is also used to derive various other important mathematical identities. However, its most important application is found in our gardens.


Photography aspect ratio: conclusion

As you now know, aspect ratio is a big deal. It&rsquos always a good idea to think about aspect ratios while shooting &ndash and then, if necessary, adjust the aspect ratio in post-processing.

What&rsquos your favorite aspect ratio? And do you think about aspect ratio while taking photos? Share your thoughts in the comments below!

There is no one best aspect ratio &ndash it all depends on the look you&rsquore after! Some scenes benefit from square (1:1) aspect ratios, whereas others look great with a 4:3 or a 5:4 aspect ratio. I&rsquod recommend playing around in a program like Adobe Lightroom.

That depends on the photo. As discussed in the article, landscape shooters tend to favor squarer aspect ratios such as 4:5, though if you&rsquore a panorama photographer, a 16:9 frame (or wider!) might be preferable. Portrait photographers tend to avoid narrow aspect ratios, but there are times when a portrait looks good as a 9:16 composition.


How much should students rely on calculators?

The issue of calculators has been debated by math teachers, university professors, and parents, but there is general agreement that calculators shouldn’t be a substitute for learning basic arithmetic and standard algorithms.

Larson believes the use of calculators is not a yes or no question. While he says technology can help build a deeper understanding of key algebra concepts, students should still learn how to practice standard procedures on their own.

You don’t want to see students go straight to calculators, Fennell says. “The calculator is an instructional tool,” says Fennell. “It should support but not supplant anything. You don’t use it for 6 x 7.”