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10.5: 선 - 수학

10.5: 선 - 수학



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(x)-(y) 평면에서 직선의 방정식을 찾으려면 점과 기울기라는 두 가지 정보가 필요합니다. 경사가 전달 방향 정보. 수직선에는 정의되지 않은 기울기가 있으므로 다음 설명이 더 정확합니다.

선을 정의하려면 선 위의 점과 선의 방향이 필요합니다.

이것은 공간의 선에 적용됩니다.

(P)를 공간상의 한 점이라고 하고, (vec p)가 시작점이 원점이고 끝점이 (P)인 벡터(즉, (vec p) "points ''에서 (P)), (vec d)를 벡터라고 하자.(vec d) 방향으로 (P)를 지나는 직선 상의 점들을 고려하라.

분명히 선의 한 점은 (P)입니다. 우리는 말할 수 있습니다 벡터 (vec p)는 선의 이 지점에 있습니다. 선에서 다른 점을 찾기 위해 (vec p)에서 시작하여 (vec d)에 평행한 방향으로 이동할 수 있습니다. 예를 들어, (vec p)에서 시작하여 한 길이 (vec d) 이동하면 선의 다른 지점에 하나씩 배치됩니다. 선을 따라 특정 지점이 표시된 그림 10.47을 고려하십시오.

그림은 (vec p)로 시작하여 (vec d) 방향으로 일정 거리 이동하여 선의 모든 점을 얻는 방법을 보여줍니다. 즉, 라인을 (t)의 함수로 정의할 수 있습니다.
[vecell(t) = vec p + t vec d.label{eq:lines1}]

여러 면에서 이것은 ~ 아니다 새로운 개념. 방정식 ef{eq:lines1}을 선의 친숙한 "(y=mx+b)" 방정식과 비교하십시오.

방정식은 동일한 구조를 나타냅니다. 시작점을 제공하고 방향을 정의하며 해당 방향으로 이동하는 거리를 나타냅니다.

방정식 ef{eq:lines1}은 벡터 값 함수; 함수의 입력은 실수이고 출력은 벡터입니다. 우리는 다음 장에서 벡터-값 함수를 광범위하게 다룰 것입니다.

선을 나타내는 다른 방법이 있습니다. (vec p = langle x_0,y_0,z_0 angle)이라고 하고 (vec d = langle a,b,c angle)이라고 합니다. 그러면 (vec d) 방향으로 (vec p)를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같습니다.
[시작{정렬*}
vecell(t) &= vec p + tvec d
&= langle x_0,y_0,z_0 angle + tlangle a,b,c angle
&= langle x_0 + at, y_0+bt, z_0+ct angle.
end{정렬*}]

마지막 줄은 줄의 (x) 값이 (x=x_0+at)로 지정되고 (y) 값이 (y = y_0+bt)로 지정되며, (z) 값은 (z = z_0 + ct)로 지정됩니다. 이 세 가지 방정식을 종합하면 선의 매개변수 방정식 (vec d) 방향으로 (vec p)를 통해.

마지막으로, 위의 (x), (y) 및 (z)에 대한 각 방정식에는 변수 (t)가 포함됩니다. 각 방정식에서 (t)를 풀 수 있습니다.

[시작{정렬*}
x = x_0+at quad&Rightarrowquad t=frac{x-x_0}{a},
y=y_0+bt quad&Rightarrowquad t = frac{y-y_0}{b},
z = z_0+ct quad&Rightarrowquad t = frac{z-z_0}{c},
end{정렬*}]

(a,b,c eq 0)이라고 가정합니다.

(t)는 오른쪽의 각 표현식과 같기 때문에 이들을 서로 동일하게 설정할 수 있습니다. 선의 대칭 방정식 (vec d) 방향으로 (vec p)를 통해:

[frac{x-x_0}{a} = frac{y-y_0}{b}=frac{z-z_0}{c}.]

각 표현에는 컨텍스트에 따라 고유한 장점이 있습니다. 다음 정의에서 이 세 가지 형식을 요약한 다음 사용 예를 제공합니다.

정의 62 공간의 선 방정식

공간상의 선이 (vec p = langle x_0,y_0,z_0 angle) 을 (vec d = langle a,b,c angle.) 방향으로 지나는 것을 고려하십시오.

  1. NS 벡터 방정식 라인의 [vec ell(t) = vec p+tvec d.]
  2. NS 매개변수 방정식 라인의
    [x = x_0+at, quad y=y_0+bt, quad z = z_0+ct .]
  3. NS 대칭 방정식 라인의
    [frac{x-x_0}{a} = frac{y-y_0}{b}=frac{z-z_0}{c}.]

예 (PageIndex{1}): 선의 방정식 찾기

정의 62에 주어진 대로 (vec d = langle -1,1,2 angle) 방향으로 (P = (2,3,1))을 지나는 선의 세 방정식을 모두 제공하십시오. . 점 (Q=(-1,6,6))이 이 선에 있습니까?

해결책
벡터 (vec p =langle 2,3,1 angle)로 점 (P=(2,3,1))을 식별합니다. 정의에 따라 우리는

  1. 선의 벡터 방정식은 (vecell(t) = langle 2,3,1 angle + tlangle -1,1,2 angle)입니다.
  2. 선의 매개변수 방정식은 다음과 같습니다.
    [x = 2-t,quad y = 3+t,quad z = 1+2t; 텍스트{ 및}]
  3. 선의 대칭 방정식은 다음과 같습니다.
    [frac{x-2}{-1}=frac{y-3}{1} = frac{z-1}{2}.]

선의 처음 두 방정식은 (t) 값이 주어질 때 유용합니다. 즉, 선에서 해당 점을 즉시 찾을 수 있습니다. 이러한 형식은 컴퓨터로 계산할 때 유용합니다. 대부분의 소프트웨어 프로그램은 이러한 형식의 방정식을 쉽게 처리합니다. (예를 들어, 그림 10.48을 만들기 위해 특정 그래픽 프로그램에 ( exttt{(2-x,3+x,1+2*x)}) 입력이 주어졌습니다. 이 특정 프로그램은 변수가 항상 " "(t)" 대신 (x)").

점 (Q = (-1,6,6))이 선 위에 있습니까? 그림 10.48의 그래프는 그렇지 않다는 것을 분명히 합니다. 세 가지 방정식 형식 중 하나를 사용하여 그래프 없이 이 질문에 답할 수 있습니다. 세 가지 중 대칭 방정식이 이 작업에 가장 적합합니다. (x), (y) 및 (z) 값을 연결하고 동일하게 유지되는지 확인하십시오.
[ frac{-1-2}{-1} stackrel{?}{=} frac{6-3}{1} stackrel{?}{=} frac{6-1}{2} quad 오른쪽 화살표 quad 3=3 eq2.5.]
우리는 (Q)가 대칭 방정식을 만족하지 않기 때문에 선 위에 있지 않다는 것을 알 수 있습니다.

예 (PageIndex{2}): 두 점을 지나는 직선의 방정식 찾기

점 (P=(2,-1,2)) 및 (Q = (1,3,-1))을 통과하는 선의 매개변수 방정식을 찾으십시오.

해결책
이 섹션의 시작 부분에서 했던 말을 상기하십시오. 선의 방정식을 찾으려면 점과 방향이 필요합니다. 우리는 포인트들; 어느 쪽이든 충분할 것입니다. 선의 방향은 시작점이 (P)이고 끝점이 (Q)인 벡터로 찾을 수 있습니다. (vec{PQ} = langle -1,4,-3 angle).

(vec{PQ}) 방향의 (ell) ~ (P) 선의 매개변수 방정식은 다음과 같습니다.
[ell: quad x= 2-tquad y=-1+4t quad z=2-3t.]

점과 선의 그래프는 그림 10.49에 나와 있습니다. 주어진 선의 매개변수화에서 (t=0)은 점 (P)에 해당하고 (t=1)은 점 (Q)에 해당합니다. 이것은 그림 10.46에서 설명한 선의 벡터 방정식을 이해하는 것과 관련이 있습니다. 매개변수 방정식은 점 (P)에서 시작하고 (t)는 (vec{PQ}) 방향으로 이동하는 거리를 결정합니다. (t=0)일 때, 우리는 (vec{PQ})만큼 0만큼 이동하고, (t=1)일 때, 우리는 (vec{PQ})만큼 이동하여 점 (Q)가 됩니다.

평행선, 교차선 및 기울이기

비행기에서 두 별개의 선은 평행하거나 정확히 한 점에서 교차합니다. 공간에서 두 선의 방정식이 주어지면 선이 구별되는지 여부를 구별하기 어려울 수 있습니다(즉, 동일한 선이 다른 방식으로 표시될 수 있음). 줄 (vecell_1(t) = vec p_1 + tvec d_1) 및 (vec ell_2(t) = vec p_2+tvec d_2)가 주어지면 다음 네 가지 가능성이 있습니다. (vec ell_1) 및 (vec ell_2)는


다음 두 가지 예에서는 이러한 가능성을 조사합니다.

예 (PageIndex{3}): 줄 비교

매개변수 방정식 형식으로 주어진 (ell_1) 및 (ell_2) 행을 고려하십시오.
[ell_1: egin{array}{ccc} x&=&1+3t y&=&2-tz&=&tend{array}qquadqquad ell_2:egin{array}{ccc} x&=&-2+4sy&=&3+sz&=&5+2s.end{배열}]
(ell_1) 과 (ell_2) 가 같은 선인지, 교차하는지, 평행한지, 기울어져 있는지 확인합니다.

해결책

각 라인의 방향을 살펴보는 것으로 시작합니다. 라인 (ell_1)은 (vec d_1=langle 3,-1,1 angle)로 지정된 방향을 가지며 (ell_2) 라인은 (vec d_2 = 랭글 4,1,2 angle). (vec d_1) 과 (vec d_2) 는 평행이 아니므로 (ell_1) 과 (ell_2) 는 같은 선이 아니며 평행하지도 않습니다. 그림 10.50은 이 사실을 증명합니다(각 선의 방정식으로 표시된 점과 방향이 식별되는 곳).

다음으로 교차하는지 확인합니다(교차하지 않는 경우 비뚤어진 선입니다). 그들이 교차하는지 찾기 위해 각각의 (x), (y) 및 (z) 값이 동일하도록 (t) 및 (s) 값을 찾습니다. 즉, 우리는 다음과 같은 (s) 및 (t)를 원합니다.

[egin{배열}{ccc}
1+3t &=&-2+4s
2-t&=&3+s
t&=&5+2s.end{배열}]

이것은 비교적 간단한 선형 방정식 시스템입니다. 마지막 방정식은 (t)에 대해 이미 풀렸으므로 (t)의 값을 위의 방정식에 대입합니다.

[2-(5+2s) = 3+s quad 오른쪽 화살표 quad s=-2, t=1.]

기억해야 할 핵심은 방정식; (s=-2, t=1) 이 첫 번째 방정식도 만족하는지 확인해야 합니다.

[1+3(1) eq -2+4(-2).]

그렇지 않습니다. 따라서 (ell_1) 및 (ell_2) 라인이 비대칭이라는 결론을 내립니다.

예 (PageIndex{4}): 줄 비교

매개변수 방정식 형식으로 주어진 (ell_1) 및 (ell_2) 행을 고려하십시오.

[ell_1: egin{array}{ccc} x&=&-0.7+1.6t y&=&4.2+2.72tz&=&2.3-3.36tend{array}qquadqquad ell_2:egin{array}{ccc} x&=&2.8-2.9sy&=&10.15-4.93sz&=&-5.05+6.09s.end{array}]

(ell_1) 과 (ell_2) 가 같은 선인지, 교차하는지, 평행한지, 기울어져 있는지 확인합니다.

해결책
이 방정식을 단순히 보고 무엇이든 식별하는 것은 분명히 매우 어렵습니다. 이것은 의도적으로 수행됩니다. "실제"에서 사용되는 대부분의 방정식에는 멋진 정수 계수가 없습니다. 오히려 소수점 이하 자릿수가 많고 방정식이 "어렵게" 보일 수 있습니다.

우리는 각 라인이 같은 방향을 가지고 있는지 여부를 결정하는 것으로 다시 시작합니다. (ell_1)의 방향은 (vec d_1 = langle 1.6,2.72,-3.36 angle)로 지정되고 (ell_2)의 방향은 (vec d_2 = 랭글 -2.9,-4.93,6.09 angle). 관찰을 통해 두 벡터가 평행한지 여부가 명확하지 않은 경우 이를 판별하는 표준 방법은 각각의 단위 벡터를 비교하는 것입니다. 계산기를 사용하여 다음을 찾습니다.

[시작{정렬*}
vec u_1 &= frac{vec d_1}{ orm{vec d_1}} = langle 0.3471,0.5901,-0.7289 angle
vec u_2 &= frac{vec d_2}{ orm{vec d_2}} = langle -0.3471,-0.5901,0.7289 angle.
end{정렬*}]

두 벡터는 평행한 것처럼 보입니다(최소한 그 구성요소는 소수점 이하 4자리와 같습니다). 대부분의 경우 선이 동일하지는 않더라도 최소한 평행하다는 결론을 내리는 것으로 충분합니다. 한 가지 확실한 방법은 (vec d_1) 및 (vec d_2)를 소수가 아닌 분수로 다시 쓰는 것입니다. 우리는

[vec d_1 =langle frac{16}{10},frac{272}{100},-frac{336}{100} angle qquad vec d_2 = langle -frac{29 }{10},-frac{493}{100},frac{609}{100} angle.]

그런 다음 분수로 각 벡터의 크기를 찾은 다음 단위 벡터도 마찬가지로 계산할 수 있습니다. 많은 수동 산술 후에(또는 컴퓨터 대수 시스템을 잠시 사용한 후에) 다음을 발견합니다.

[vec u_1 = langle sqrt{frac{10}{83}},frac{17}{sqrt{830}},-frac{21}{sqrt{830}} angle qquad vec u_2 = langle -sqrt{frac{10}{83}},-frac{17}{sqrt{830}},frac{21}{sqrt{830}} angle. ]

이제 우리는 이 선들이 평행하다고 말할 수 있습니다.

같은 라인인가요? 선에 대한 매개변수 방정식은 선 위에 있는 한 점을 설명하므로 점 (P_1 = (-0.7,4.2,2.3))이 (ell_1)에 있음을 압니다. 이 점이 (ell_2)에도 있는지 확인하려면 (P_1)의 (x), (y) 및 (z) 값을 ( ell_2):
[frac{(-0.7)-2.8}{-2.9} stackrel{?}{=} frac{(4.2)-10.15}{-4.93} stackrel{?}{=} frac{(2.3 )-(-5.05)}{6.09} quad 오른쪽 화살표 quad 1.2069=1.2069=1.2069.]

점 (P_1)은 두 선에 있으므로 매개변수가 다르게 지정되었을 뿐 동일한 선이라고 결론지었습니다. 그림 10.51은 매개변수 방정식으로 설명된 점 및 벡터와 함께 이 선을 그래프로 표시합니다. (vec d_1) 과 (vec d_2) 가 서로 반대 방향을 가리키고 있지만 (위의 단위 벡터로 표시된 대로) 평행하다는 점에 유의하세요.

거리

공간에서 점 (Q)와 선 (vecell(t) = vec p+tvec d)이 주어지면 점에서 선까지의 거리를 아는 것이 종종 유용합니다. (여기서 우리는 "거리"의 표준 정의, 즉 점에서 선까지의 가장 짧은 선분의 길이를 사용합니다.) 점 (P)로 (vec p)를 식별하면 그림 10.52는 이 거리 (h)를 계산하는 일반적인 방법을 설정하는 데 도움이 됩니다.

삼각법을 통해 (h = orm{vec{PQ}}sin heta)를 알 수 있습니다. 외적과 관련된 유사한 ID가 있습니다. ( orm{vec{PQ} imes vec d} = orm{vec{PQ}}, orm{d}sin heta.) 이 후자의 방정식의 양변을 ( orm{d})로 나누어 (h)를 얻습니다.

[h = frac{ orm{vec{PQ} imes vec d}}{ orm{d}}.label{eq:lines2}]

두 선을 연결하는 가장 짧은 선분의 길이로 정의하는 선 사이의 거리를 결정하는 것도 유용합니다(기하학의 인수는 이 선분이 두 선에 수직임을 보여줍니다). 그림과 같이 라인 (vecell_1(t) = vec p_1 + tvec d_1) 및 (vecell_2(t) = vec p_2 + tvec d_2)가 주어집니다. 10.53. (vec d_1) 및 (vec d_2) 모두에 직교하는 방향을 찾기 위해 외적을 취합니다. (vec c = vec d_1 imes vec d_2). (vec{P_1P_2})의 (vec c)에 대한 직교 투영의 크기는 우리가 구하는 거리 (h)입니다.

[시작{정렬*}
h&= orm{ ext{proj},_{vec c},vec{P_1P_2}}
&= orm{frac{vec{P_1P_2}cdotvec c}{vec c cdot vec c}vec c}
&=frac{|vec{P_1P_2}cdot vec c|}{ orm c^2} orm c
&=frac{|vec{P_1P_2}cdot vec c|}{ orm c}.
end{정렬*}]

연습 섹션의 문제는 선이 교차할 때 이 거리가 0임을 보여주는 것입니다. 삼중 스칼라 곱의 사용: (vec{P_1P_2}cdot c = vec{P_1P_2}cdot (vec d_1 imes vec d_2).)

다음 핵심 아이디어는 이 두 거리 공식을 다시 설명합니다.

핵심 아이디어 50 선까지의 거리

  1. (P)를 (vec d)에 평행한 직선 (ell) 상의 한 점이라고 하자. 점 (Q)에서 선 (ell)까지의 거리 (h)는 다음과 같습니다.
    [h =frac{ orm{vec{PQ} imes vec d}}{ orm{d}}.]
  2. (P_1)을 (vec d_1)에 평행한 선 (ell_1) 위의 점이라고 하고 (P_2)를 (ell_2)에 평행한 점이라고 합시다. (vec d_2) 및 let (vec c = vec d_1 imes vec d_2), 여기서 선 (ell_1) 및 (ell_2)는 평행하지 않습니다. 두 선 사이의 거리 (h)는 다음과 같습니다.
    [h=frac{|vec{P_1P_2}cdot vec c|}{ orm c}.]

예 (PageIndex{5}): 점에서 선까지의 거리 찾기

점 (Q=(1,1,3))에서 직선 (vecell(t) = langle 1,-1,1 angle+tlangle 2,3, 1 angle.)

해결책
선 방정식은 선 위에 있는 점 (P=(1,-1,1))을 제공하므로 (vec{PQ} = langle 0,2,2 angle)입니다. 방정식은 또한 (vec d= langle 2,3,1 angle)을 제공합니다. Key Idea 50에 따라 거리는 다음과 같습니다.
[시작{정렬*}
h &= frac{ orm{vec{PQ} imes vec d}}{ orm{d}}
&= frac{ orm{langle -4,4,-4 angle}}{sqrt{14}}
&=frac{4sqrt{3}}{sqrt{14}} 약 1.852.
end{정렬*}]
점 (Q)는 선 (vecell(t))에서 약 (1.852) 단위입니다.

예 (PageIndex{6}): 줄 사이의 거리 찾기

줄 사이의 거리 찾기 [ell_1: egin{array}{ccc} x&=&1+3t y&=&2-tz&=&tend{array}qquadqquad ell_2:egin {배열}{ccc} x&=&-2+4sy&=&3+sz&=&5+2s.end{배열}]

해결책
이것은 우리가 그것들을 비뚤어지게 보여주었던 예 10.5.3에서 주어진 것과 같은 선입니다. 방정식을 통해 다음 점과 벡터를 식별할 수 있습니다.

[P_1 = (1,2,0)quad P_2 = (-2,3,5) quad Rightarrow quad vec{P_1P_2} = langle -3,1,5 angle.]

[vec d_1 = langle 3,-1,1 angle quad vec d_2 = langle 4,1,2 angle quad Rightarrow quad vec c = vec d_1 imes vec d_2 = langle -3,-2,7 angle.]

Key Idea 50에서 두 선 사이의 거리 (h)는 다음과 같습니다.

[시작{정렬*}
h &= frac{|vec{P_1P_2}cdot vec c|}{ orm c}
&=frac{42}{sqrt{62}} 약 5.334.
end{정렬*}]

선은 약 5.334단위 떨어져 있습니다.

이 섹션에서 이해해야 할 핵심 사항 중 하나는 다음과 같습니다. 선을 설명하려면 점과 방향이 필요합니다. 선과 관련하여 문제가 제기될 때마다 제공되는 정보를 모두 취하고 지점과 방향 정보를 수집해야 합니다. 많은 질문을 할 수 있습니다(그리고 ~이다 연습 섹션에서 물음) 그의 대답은 이러한 이해에서 즉시 따릅니다.

선은 우주 연구의 두 가지 기본 대상 중 하나입니다. 다른 기본 대상은 비행기, 다음 섹션에서 자세히 연구합니다. 많은 복잡한 3차원 물체는 표면을 선과 평면으로 근사하여 연구합니다.


선분

이 사변형의 각 변을 측정합니다. 측정값을 각 면에 기록합니다.

사각형의 각 변은 선분.

NS 선분 명확한 시작점과 끝점이 있습니다. 선분을 그리고 측정할 수 있습니다.

길이가 12cm인 선분을 그립니다.

선과 광선

우리는 끝이 없는 선을 생각할 수 있지만 완전히 그릴 수는 없습니다. 선을 나타내기 위해 선분을 그립니다. 선을 나타내기 위해 선분을 그릴 때 양쪽 끝에 화살표를 넣어 양쪽 끝에서 무한정 계속된다는 것을 나타낼 수 있습니다.

단어 양방향으로 가는 선을 나타낼 때 사용합니다. 우리는 선의 일부만 보고 그릴 수 있습니다. 라인을 측정할 수 없습니다.

AB선 전체를 그리셨나요? 설명.

우리는 또한 명확한 시작점이 있지만 다른 쪽 끝에서 무기한으로 이어지는 선을 생각할 수 있습니다. 이것을 반선 또는 레이.

화살표를 사용하여 시작점과 광선의 일부를 그릴 수 있습니다.

Ray PQ는 오른쪽으로 진행합니다.

Ray DC는 왼쪽으로 진행합니다.

레이 EF 전체를 그렸나요? 설명.

선분 XY와 GH는 어디에서나 만나나요?

라인 KL과 NP는 어디에서나 만나나요?

광선 AB와 CD는 어디에서나 만나나요?

광선 FT와 MW는 어디에서나 만나나요?

광선 JK와 RS는 어디에서나 만나나요?


3 답변 3

"크기와 방향이 있는 양"은 벡터에 대해 수용 가능한 구어체 설명일 수 있지만 정의 역할을 할 수는 없습니다.

"방향 지정 세그먼트", 일명 "순서화된 점 쌍"이 이미 더 좋지만 아직까지는 아닙니다. NS 벡터 $3$D 기본 기하학 용어로 등가 등급 이러한 쌍 중 $(A,B)$ 및 $(C,D)$ 두 쌍이 고려됩니다. 동등한, $T(A)=C$, $>T(B)=D$와 같은 공백의 $T$ 번역이 있는 경우.

이제 이러한 등가 클래스는 잘 알려진 평행 사변형 구성을 통해 추가할 수 있습니다. 우리는 두 벡터의 합 $vec a+vec b$가 잘 정의되어 있음을 증명해야 하고, 그 값이 등가 클래스 집합을 실제 벡터 공간으로 만드는 (기하학적) 속성을 가지고 있음을 증명해야 합니다.

동의합니다. 일반적으로 지시된 세그먼트를 추가하는 것은 의미가 없습니다. 방향성 세그먼트를 시작점이 있는 벡터로 간주하면 벡터를 추가할 수 있지만 결과에 어떤 시작점이 할당되는지 알 수 없습니다. @pranavB23 주석을 확장하려면 두 번째 세그먼트의 시작점이 첫 번째 세그먼트의 끝점일 때 이에 대한 의미를 찾을 수 있습니다. 그리고 이것은 $overrightarrow입니다. + overright화살표 = overright화살표$ 케이스를 표시했습니다.

사실, 이 지시된 세그먼트의 중독은 내 경험에 사용된 것입니다. 학생들에게 유클리드를 이해/계산하는 그래픽 방식을 제공하기 위해 벡터 결국 내가 벡터를 그릴 때 실제로 방향이 있는 세그먼트를 그리는 것이기 때문에 그들이 처음 접근할 때 합산합니다. 귀하의 책/메모에서 말하고 싶은 것은 다음과 같습니다.

벡터 $vec v$와 $vec u$를 합하기 위해 $vec v$와 길이와 방향이 같은 원하는 $A$ 지점(보통 원점)에서 시작하는 방향 세그먼트를 선택할 수 있습니다. 그것은 $overrightarrow$, $vec u$, $overrightarrow와 같은 길이와 방향으로 $B$에서 시작하는 다른 세그먼트$. 그러면 결과 $vec v + vec u$는 $overrightarrow와 길이와 방향이 같습니다.$.

다음과 같은 용어로 문제를 생각할 수도 있습니다. $vec P$를 호출하는 벡터는 고정된 원점 $O$에 대해 공간에서 점 $P$의 위치를 ​​제공한 다음 $overrightarrow로 표시되는 벡터입니다.$는 $vec v = vec B - vec A$이므로 $vec v + vec u = (vec B - vec A) + (vec C - vec B) = vec C - vec A$.


교차 할선 정리

두 개의 할선이 원 외부에서 교차할 때 몇 가지 흥미로운 속성이 있습니다.

원 외부에서 교차하는 두 개의 시컨트 라인의 경우 한 시컨트 선분과 외부 세그먼트의 측정값의 곱은 다른 할선 세그먼트와 외부 세그먼트의 곱과 같습니다.

위 그림에서 AB와 AC는 A에서 교차하는 원 O에 대한 할선입니다. AD와 AE는 외부 세그먼트입니다. 교차할선 정리는 AB · AD = AC · AE를 나타냅니다.

또한, 시컨트 선분에 의해 생성된 각도와 각도에 대응하는 아래 빨간색과 파란색으로 표시된 두 개의 호 사이에는 관계가 있습니다.

시컨트 AB와 AC는 원 O와 교차하는 &angBAC를 형성하여 호 BC(빨간색)와 DE(파란색)를 만듭니다. 각도와 호의 관계는 다음과 같습니다. .


수학을 배우는 방법

이 기사는 Daron Cam이 공동 저술했습니다. Daron Cam은 수학, 과학 및 전반적인 학문적 자신감 구축에 대한 개인 지도를 제공하는 샌프란시스코 베이 지역 기반 개인 교습 서비스인 Bay Area Tutors, Inc.의 설립자이자 학업 교사입니다. Daron은 8년 이상 교실에서 수학을 가르쳤고 9년 이상 일대일 과외 경험을 했습니다. 그는 미적분학, 예비 대수학, 대수학 I, 기하학 및 SAT/ACT 수학 준비를 포함한 모든 수준의 수학을 가르칩니다. Daron은 University of California, Berkeley에서 학사 학위를 취득하고 St. Mary's College에서 수학 교사 자격증을 취득했습니다.

이 기사에 인용된 9개의 참고 문헌이 있으며 페이지 하단에서 찾을 수 있습니다.

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교실 안팎에서 수학을 배울 수 있으며 스트레스를 받거나 압도적일 필요가 없습니다! 기본 사항을 잘 이해하면 더 복잡한 내용을 배우는 것이 훨씬 쉽게 느껴질 것입니다. 이 기사에서는 이러한 기본 사항(덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈)을 가르치고 수학을 더 잘 배우는 데 도움이 되도록 교실 안팎에서 사용할 수 있는 전략을 제공합니다.


위의 숫자 줄에서 표시는 동일한 간격으로 표시됩니다. 다음 중 한 세그먼트의 길이를 나타내는 것은 무엇입니까?

(가) 1 1 1

(나) 1 5 frac<1> <5>5 1

(C) b − a 5 frac <5>5 b - a

(D) b − a b-a b − a

(E) 5 5 5

정답: C

해결책:

마크의 간격이 동일하므로 세그먼트의 길이가 동일합니다. 다이어그램에서 a a 와 b b b 사이의 거리가 5 5 5 세그먼트로 나누어져 있음을 알 수 있습니다. 그러므로,

한 세그먼트의 길이 = b − a 5 ext = frac <5>한 세그먼트의 길이 = 5 b − a

잘못된 선택:

(NS)
팁: 눈금 표시의 간격이 동일하다고 가정하고 그 이상은 아닙니다.
정수를 나타내는 숫자 라인을 보는 것은 일반적입니다. 연속된 정수는 1 1 1 씩 다르기 때문에 이러한 숫자 줄의 눈금 표시는 일반적으로 1 1 1 단위 간격을 두고 있습니다. 각 눈금 사이의 거리가 1 1 1 이라고 가정하면 잘못된 것입니다. 다음은 반대 예입니다. a = 10 a=10 a = 1 0 및 b = 20 b=20 b = 2 0 이면 각 세그먼트의 길이는 20 − 10 5 = 10 5 = 2 frac<입니다. 20-10><5>=frac<10><5>=2 5 2 0 − 1 0 = 5 1 0 = 2 , 1 1 1 .

(NS)
팁: 반대 사례를 찾으십시오.
a a 와 b b b 사이의 거리가 1 1 1 이라고 가정하면 이 오답을 얻게 됩니다. 다음은 반대 예입니다. a = 10 a=10 a = 1 0 및 b = 20 b=20 b = 2 0 이면 각 세그먼트의 길이는 20 − 10 5 = 10 5 = 2 frac<입니다. 20-10><5>=frac<10><5>=2 5 2 0 − 1 0 = 5 1 0 = 2 , 1 5 frac<1> <5>5 1 이 아닙니다.

(NS)
팁: 전체 질문을 주의 깊게 읽으십시오.
와 b b b 사이의 거리를 구하면 이 오답이 나옵니다.

(이자형)
팁: 전체 질문을 주의 깊게 읽으십시오.
팁: 반대 사례를 찾으십시오.
a a 와 b b b 사이의 세그먼트 수를 구하면 이 잘못된 답을 얻게 됩니다. 다음은 반대 예입니다. a = 10 a=10 a = 1 0 및 b = 20 b=20 b = 2 0 이면 각 세그먼트의 길이는 20 − 10 5 = 10 5 = 2 frac<입니다. 20-10><5>=frac<10><5>=2 5 2 0 − 1 0 = 5 1 0 = 2 , 5 5 5 .

위의 숫자 라인이 나타내는 부등식은 무엇입니까?

위의 숫자 줄에서 눈금 표시는 동일한 간격으로 표시됩니다. 점 A A A 의 좌표는 무엇입니까?

(A) 0.7727 0.7727 0 . 7 7 2 7
(B) 0.7729 0.7729 0 . 7 7 2 9
(C) 0.7733 0.7733 0 . 7 7 3 3
(D) 0.7737 0.7737 0 . 7 7 3 7
(E) 0.7744 ₩ 0.7744 0 . 7 7 4 4

정답: C

해결책:

팁: 눈금 표시의 간격이 동일하다고 가정하고 그 이상은 아닙니다.
0.7745 0.7745 0 사이의 거리. 7 7 4 5 및 0.7725 0.7725 0 . 7 7 2 5는 5개의 동일한 부분으로 나뉩니다. 그러므로,

한 세그먼트의 길이 = = 0.7745 − 0.7725 5 = 0.0020 5 = 0.0004 ext==frac<0.7745-0.7725><5>=frac<0.0020><5>=0.0004 한 세그먼트의 길이 = = 5 0 . 7 7 4 5 − 0 . 7 7 2 5 = 5 0 . 0 0 2 0 = 0 . 0 0 0 4 .

따라서 인접한 눈금 사이의 거리는 0.0004 0.0004 0 입니다. 0 0 0 4 . 점 A A A는 0.7725 0.7725 0 오른쪽에 두 개의 눈금 표시가 있습니다. 7 7 2 5 . 그래서,

A = 0.7725 + 2 ⋅ 0.0004 = 0.7725 + 0.0008 = 0.7733 A=0.7725+2cdot 0.0004 = 0.7725+0.0008=0.7733 A = 0 . 7 7 2 5 + 2 ⋅ 0 . 0 0 0 4 = 0 . 7 7 2 5 + 0 . 0 0 0 8 = 0 . 7 7 3 3

잘못된 선택:

(NS)
팁: 다이어그램을 주의 깊게 읽으십시오.
인접한 눈금 사이의 거리가 0.0001 0.0001 0 이라고 가정하면. 0 0 0 1 , 당신은 이 오답을 얻게 될 것입니다. 눈금이 0.0001 0.0001 0인 경우. 0 0 0 1 떨어져 있으면 0.7725 0.7725 0 에서 시작합니다. 7 7 2 5 , 오른쪽으로 5개의 눈금을 이동하면 0.7730 0.7730 0 에서 끝납니다. 7 7 3 0, 0.7745 0.7745 0이 아닙니다. 7 7 4 5 .

(NS)
팁: 다이어그램을 주의 깊게 읽으십시오.
인접한 눈금 사이의 거리가 0.0002 0.0002 0 이라고 가정하면. 0 0 0 2 , 당신은 이 오답을 얻게 될 것입니다. 눈금이 0.0002 0.0002 0 인 경우. 0 0 0 2 떨어져 있으면 0.7725 0.7725 0 에서 시작합니다. 7 7 2 5 , 오른쪽으로 5개의 눈금을 이동하면 0.7735 0.7735 0 에서 끝납니다. 7 7 3 5 , 0.7745 0.7745 0이 아닙니다. 7 7 4 5 .

(NS)
A A A는 0.7725 0.7725 0 오른쪽에 두 개의 눈금 표시가 있습니다. 7 7 2 5 , 0.7745 0.7745 0 왼쪽에 두 개의 눈금 표시가 없습니다. 7 7 4 5 . 이렇게 하면 0.7745 − 2 × 0.004 = 0.7737 0.7745 - 2 imes 0.004=0.7737 0 입니다. 7 7 4 5 − 2 × 0 . 0 0 4 = 0 . 7 7 3 7 , 당신은 이 오답을 얻게 될 것입니다.

(이자형)
팁: 분명히 오답을 제거하십시오.
팁: 추정.
규모에 맞게 그려진 다이어그램을 신뢰하십시오. A A A 는 0.7725 0.7725 0 에 더 가깝습니다. 7 7 2 5 0.7745 0.7745 0 입니다. 7 7 4 5 . A A A 가 0.7744 0.7744 0 에 있는 경우. 7 7 4 4 , 당신은 그것이 0.7745 0.7745 0 에 훨씬 더 가까울 것이라고 예상할 것입니다. 7 7 4 5 ~ 0.7725 0.7725 0 . 7 7 2 5 . 이 선택을 합리적으로 제거할 수 있습니다.

위의 숫자 라인에서 A E AE A E 대 A G AG A G의 비율은 D F DF D F 대 다음 중 어느 것의 비율과 같습니까?

(A) A B AB A B
(B) A C AC A C
(C) AG AG AG
(D) B E B B E
(E) E F EF E F

정답: D

솔루션 1:

팁: 연결하고 확인하십시오.
A E AE A E 의 길이는 4 4 4 입니다. AG AG AG 의 길이는 6 6 6 입니다. A E AE A E 대 A G AG A G의 비율을 찾습니다.

A E A G = 4 6 = 2 3 frac=frac<4><6>=frac<2> <3>A G A E = 6 4 = 3 2 .

D F DF D F 의 길이는 2 2 2 입니다. 각 답에 대한 D F DF D F 의 비율을 찾고 2 3 frac<2> <3>3 2 를 산출하는 옵션을 선택합니다.

(A) A B AB A B의 길이는 1 1 1 입니다. D F A B = 2 1 = 2 ≠ 2 3 frac=frac<2> <1>= 2 eq frac<2> <3>A B D F = 1 2 = 2  = 3 2 . (A)를 제거합니다.
(B) A C AC A C의 길이는 2 2 2 . D F A C = 2 2 = 1 ≠ 2 3 frac=frac<2> <2>= 1 eq frac<2> <3>A C D F = 2 2 = 1  = 3 2 . (B)를 제거하십시오.
(C) A G AG A G 의 길이는 6 6 6 입니다. D F A G = 2 6 = 1 3 ≠ 2 3 frac=frac<2> <6>= frac<1> <3> eq frac<2> <3>A G D F = 6 2 = 3 1  = 3 2 . (B)를 제거하십시오.
(D) B E BE B E의 길이는 3 3 3 . D F B E = 2 3 = 2 3 frac=frac<2> <3>= frac<2> <3>B E D F = 3 2 = 3 2 . 이 선택이 맞습니다.
(E) E F EF E F 의 길이는 1 1 1 입니다. D F E F = 2 1 = 2 ≠ 2 3 frac=frac<2> <1>= 2 eq frac<2> <3>E F D F = 1 2 = 2  = 3 2 . (E)를 제거하십시오.

솔루션 2:

A E AE A E 의 길이는 4 4 4 입니다. AG AG AG 의 길이는 6 6 6 입니다. 따라서 A E AE A E 대 A G AG A G 의 비율은 4 4 4 대 6 6 6 입니다.

D F DF D F 의 길이는 2 2 2 입니다. A E AE A E 대 A G AG A G의 비율은 D F DF D F와 길이를 알 수 없는 다른 세그먼트의 비율과 같습니다. 그 길이를 x x x 라고 합시다.

비율을 설정하고 x x x에 대해 풉니다.

AEAG = DF x 비율 설정 ( 1 ) 4 6 = 2 x AE = 4 , AG = 6 , DF = 2 ( 2 ) x ⋅ 4 = 2 ⋅ 6 교차 곱하기 ( 3 ) 4 x = 12 2 ⋅ 6 = 12 ( 4 ) x = 3 양쪽을 4 ( 5 )로 나눕니다. frac &=& frac &quad텍스트 &(1) frac<4> <6>&=& frac<2> &quad AE = 4, AG = 6, DF = 2 &(2) x cdot 4 &=& 2 cdot 6 &quad ext &(3) 4x &=& 12 &quad 2cdot 6 = 12 &(4) x &=& 3 &quad ext 4 &(5) end AGAE 6 4 x ⋅ 4 4 xx = = = = = x DF x 2 2 ⋅ 6 1 2 3 비율 설정 AE = 4 , AG = 6 , DF = 2 교차 곱하기 2 ⋅ 6 = 1 2 양변을 4 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 )

알 수 없는 세그먼트의 길이는 3 3 3 이어야 합니다. 선택 항목 중 B E = 3 BE=3 B E = 3 만 선택됩니다.

잘못된 선택:

(NS), (NS), (씨), 그리고 (이자형)
이러한 선택을 제거하는 방법을 보려면 솔루션 1을 참조하십시오.


원 : 연습 10.5(수학 NCERT 클래스 9)

솔.

ABC는 원의 중심과 원의 나머지 부분의 한 점에서 = 60º + 30º = 90º를 만듭니다.
그러므로

Q. 2 원의 현은 원의 반지름과 같습니다. 작은 호의 한 점과 장조의 한 점에서 현이 이루는 각을 구하십시오.
솔.

PQ를 화음으로 둡니다. OP와 OQ에 합류하세요.
PQ = OP = OQ(Chord = 반경이므로)
따라서 OPQ는 등변입니다.
= 60º PBQ는 원의 중심과 원의 작은 호의 한 점에서 반사 POQ = 360º – 60º = 300º를 만들기 때문입니다.
그러므로

마찬가지로 (60º) = 30º
따라서, 마이너 코드가 받는 각도는 150º이고 메이저 코드 = 30º입니다.

Q.3 그림 = 100º에서 P, Q 및 R은 중심이 O인 원의 점입니다. 찾기 .
솔.

원의 중심에서 원호가 이루는 각은 원주 위의 한 점에서 같은 각이 이루는 각의 2배이기 때문입니다.
따라서 반사
휘어진
= 360º – 200º = 160º
OPR에서 OP = OR [동일한 원의 반경]

[앵글 op. 같은 면은 같음]
그리고 160º . (1) [위에서 증명됨]
입력 ,
[각 합 속성]



Q.4 그림 69º, 31º에서 찾기

ABC에서는




같은 선분의 각이 같기 때문에
그러므로

Q.5 그림 A, B, C, D는 원의 네 점입니다. AC와 BD는 = 130º 및 = 20º인 점 E에서 교차합니다. 찾다 .
솔.

= 180º [선형 쌍]
130º = 180º
180º – 130º
= 50º
ECD에서 = 180º
50º + 20º = 180º
180º – 50º – 20º
= 110º
= 110º
같은 선분의 각이 같기 때문에
따라서 110º입니다.

Q.6 ABCD는 대각선이 점 E에서 교차하는 순환 사변형입니다. 70º가 30º이면 를 구하십시오. 또한 AB = BC인 경우 다음을 찾습니다.
솔.

[같은 세그먼트의 각도]
30º [30º 이후(주어진)]

BCD에서 우리는
= 180º [a의 합]
30º + 70º + = 180º [= 70º, = 30º 이후]
= 180º – 30º – 70º = 80º
AB = BC, 보다 = 30º [Angles opp. 에서 같은 면은 같음]
지금 ,
= 80º – 30º = 50º
[80º(위 참조) 및 30º 이후]
따라서 80º 및 50º

Q.7 순환 사변형의 대각선이 사변형의 꼭짓점을 지나는 원의 지름이면 직사각형임을 증명하십시오.
솔.

Diagonals AC and BD of a cyclic quadrilateral are diameters of the circle through the vertices A, B, C and D of the quad. ABCD.
To prove : Quadrilateral ABCD is a rectangle.

Solution : - Since all the radii of the same circle are equal
Therefore OA = OB = OC = OD

그리고
AC = BD
Therefore the diagonals of the quadrilateral ABCD are equal and bisect each other.
Quadrilateral ABCD is a rectangle.

Q.8 If the non- parallel sides of a trapezium are equal prove that it is cyclic.
Sol.

Given : Non - parallel sides AD and BC of a trapezium are equal.
To prove : ABCD is a cyclic trapezium.
Construction : Draw DE AB and CF AB.

Proof : In order to prove that ABCD is a cyclic trapezium it is sufficient to prove that = 180º.
In s DEA and CFB, we have
AD = BC [Given]
[Each = 90º]
and DE = CF [Distance between two|| lines is always equal]
Therefore by RHS criterion of congruence, we have


(Corresponding parts of congruent triangles are equal)
지금,
90º + 90º +

[Since 90º and 90º]


따라서 ,
Therefore , 360º
[Since sum of the angles of a quad. is 360º]
360º
= 180º
Hence, ABCD is a cyclic trapezium.

Q.9 Two circles intersect at two points B and C. Through B, two line segments ABD and PBQ are drawn to intersect the circles at A, D and P, Q respectively (see figure). Prove that

Since angles in the same segment are equal.
Therefore . (1)
그리고 . (2)
Also . (3) [Vertically opp. angles]
Therefore From (1), (2) and (3) , we have

Q.10 If circles are drawn taking two sides of a triangle as diameters, prove that the point of intersection of these circles lie on the third side.
Sol.

주어진 : Two circles are drawn with sides AB and AC of ABC as diameters. The circle intersect at D.

To prove : D lies on BC.
Construction : Join A and D.
Proof : Since AB and AC are the diameters of the two circles. [Given]
Therefore 90º [Angles in a semi- circle]
and, 90º [Angles in a semi-circle]
Adding we get = 90º + 90º = 180º
BDC is a straight line.
Hence, D lies on BC.

Q.11 ABC and ADC are two right triangles with common hypotenuse AC. Prove that .
Sol.

ABC and ADC are right with common hypotenuse AC. Draw a circle with AC as diameter passing through B and D. Join BD.
Clearly, [Since Angles in the same segment are equal]

Q.12 Prove that a cyclic parallelogram is a rectangle.
Sol.

Given : ABCD is a parallelogram inscribed in circle.
To prove : ABCD is a rectangle.
Proof : Since ABCD is a cyclic parallelogram.
Therefore = 180º . (1)
But . (2)
From (1) and (2), we have
= 90º
Similarly, = 90º
Therefore Each angle of ABCD is of 90º
Hence, ABCD is a rectangle.


Equation of a Horizontal Line

Horizontal lines 'go' perfectly sideways like the red lines pictured below .

Horizontal Line Picture Vertical Line Picture

속성 of Horizontal Lines

Equation of Horizontal Line always takes the form of y = k where k is the y-intercept of the line. For instance in the graph below, the horizontal line has the equation y = 1 As you can see in the picture below, the line goes perfectly sideways at y = 1.

몇몇의 예

Below are several examples of the equation and graph of different Horizontal lines


Inclination of a line

The diagram shows that a straight line makes an angle ( heta) with the positive (x)-axis. 이것을 angle of inclination of a straight line.

We notice that if the gradient changes, then the value of ( heta) also changes, therefore the angle of inclination of a line is related to its gradient. We know that gradient is the ratio of a change in the (y)-direction to a change in the (x)-direction:

From trigonometry we know that the tangent function is defined as the ratio:

And from the diagram we see that

시작하다 an heta &= dfrac herefore m &= an heta qquad ext < for > ext<0> ext <°>leq heta < ext<180> ext <°>end

Therefore the gradient of a straight line is equal to the tangent of the angle formed between the line and the positive direction of the (x)-axis.

Vertical lines

  • ( heta = ext<90> ext<°>)
  • Gradient is undefined since there is no change in the (x)-values ((Delta x = 0)).
  • Therefore ( an heta) is also undefined (the graph of ( an heta) has an asymptote at ( heta = ext<90> ext<°>)).

Horizontal lines

  • ( heta = ext<0> ext<°>)
  • Gradient is equal to ( ext<0>) since there is no change in the (y)-values ((Delta y = 0)).
  • Therefore ( an heta) is also equal to ( ext<0>) (the graph of ( an heta) passes through the origin (( ext<0> ext<°>0))).

Lines with negative gradients

If a straight line has a negative gradient ((m < 0), ( an heta < 0)), then the angle formed between the line and the positive direction of the (x)-axis is obtuse.

From the CAST diagram in trigonometry, we know that the tangent function is negative in the second and fourth quadrant. If we are calculating the angle of inclination for a line with a negative gradient, we must add ( ext<180> ext<°>) to change the negative angle in the fourth quadrant to an obtuse angle in the second quadrant:

If we are given a straight line with gradient (m = - ext<0,7>), then we can determine the angle of inclination using a calculator:

This negative angle lies in the fourth quadrant. We must add ( ext<180>)( ext<°>) to get an obtuse angle in the second quadrant:

And we can always use our calculator to check that the obtuse angle ( heta = ext<145> ext<°>) gives a gradient of (m = - ext<0,7>).


비디오 보기: 선수학이 선수학을 말하다! (팔월 2022).