조항

3.5.1 부록: 실제 분석 함수

3.5.1 부록: 실제 분석 함수



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다중 색인 표기법

다음 다중 색인 표기법은 수식의 많은 표현을 단순화합니다. (x=(x_1,ldots,x_n))
$$
u: Omegasubsetmathbb{R}mapsto mathbb{R}^1 (mbox{or} mathbb{R}^m mbox{시스템용}).
$$
음이 아닌 정수의 n-튜플(0 포함)
$$
alpha=(alpha_1,ldots,alpha_n)
$$
이라고 다중 인덱스. 세트
egin{eqnarray*}
|alpha|&=&alpha_1+ldots+alpha_n
alpha!&=&alpha_1!alpha_2!cdotldotscdotalpha_n!
x^alpha&=&x_1^{alpha_1}x_2^{alpha_2}cdotldotscdot x_n^{alpha_n} (mbox{모노의 경우})
D_k&=&frac{partial}{partial x_k}
D&=&(D_1,ldots,D_n)
Du&=&(D_1u,ldots,D_nu)equiv abla uequiv ext{grad} u
D^alpha&=&D_1^{alpha_1}D_2^{alpha_2}cdotldotscdot D_n^{alpha_n}equivfrac{partial^{|alpha|}}{partial x_1^{ alpha_1}partial x_2^{alpha_2}ldotspartial x_n^{alpha_n}}.
end{eqnarray*}
부분 주문을 다음과 같이 정의합니다.
$$
alphageeta mbox{if and only if} alpha_igeeta_i mbox{모두용} i.
$$
때때로 우리는 표기법을 사용합니다
$$
{f 0}=(0,0ldots,0), ​​ f{ 1}=(1,1ldots,1),
$$
어디
({f 0}, {f 1}inmathbb{R}.)

이 다중 인덱스 개념을 사용하여

1.
$$
(x+y)^alpha=sum_{egin{array}{c}eta,gamma eta+gamma=alphaend{array}}frac{alpha!}{eta !감마!}x^베타 y^감마,
$$
여기서 (x, yinmathbb{R}) 및 (alpha, eta, gamma)는 다중 인덱스입니다.

2. 에 대한 테일러 전개 다항식 (f(x)) 차수 (m):
$$
f(x)=sum_{|alpha|le m}frac{1}{alpha!}left(D^alpha f(0) ight) x^alpha,
$$
(D^alpha f(0):=left(D^alpha f(x) ight)|_{x=0})입니다.

3. (x=(x_1,ldots,x_n)) 및 (mge0) 을 정수라고 하면
$$
(x_1+ldots+x_n)^m=sum_{|alpha|=m}frac{m!}{alpha!}x^alpha.
]

4.
$$
alpha!le|alpha|!le n^{|alpha|}alpha!.
]

5. 라이프니츠의 법칙:
$$
D^alpha(fg)=
sum_{egin{array}{c}eta,gamma eta+gamma=alphaend{array}}frac{alpha!}{eta!gamma!}(D^ 베타 f)(D^감마 g).
]

6.
egin{eqnarray*}
D^eta x^alpha&=&frac{alpha!}{(alpha-eta)!}x^{alpha-eta} mbox{if} alphageeta ,
D^베타 x^alpha&=&0 mbox{그렇지 않으면}.
end{eqnarray*}

7. 방향성 미분:
$$
frac{d^m}{dt^m}f(x+ty)=sum_{|alpha|=m}frac{|alpha|!}{alpha!}left(D^alpha f(x+ty) ight)y^alpha,
$$
여기서 (x, yinmathbb{R}) 및 (tinmathbb{R}^1).

8. 테일러의 정리: (y)의 이웃 (N(y))에 (uin C^{m+1})라고 하면, 만약 (xin N(y)) ,
$$
u(x)=sum_{|alpha|le m}frac{1}{alpha!}left(D^alpha u(y) ight)(x-y)^alpha+R_m,
$$
어디
$$
R_m=sum_{|alpha|=m+1}frac{1}{alpha!}left(D^alpha u(y+delta(xy)) ight)x^alpha, 0 <델타<1,
$$
(delta=delta(u,m,x,y)),
또는
$$
R_m=frac{1}{m!}int_0^1 (1-t)^mPhi^{(m+1)}(t) dt,
$$
여기서 (Phi(t)=u(y+t(x-y))). 그것은 다음에서 따라옵니다 7. 저것
$$
R_m=(m+1)sum_{|alpha|=m+1}frac{1}{alpha!}left(int_0^1 (1-t)D^alpha u(y+ t(xy))dt ight)(xy)^alpha.
]

9. 다중 인덱스 표기법을 사용하여 (m) 차수의 일반 선형 편미분 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$
sum_{|alpha|le m}a_alpha (x)D^alpha u=f(x) mbox{in} Omegasubsetmathbb{R}.
]

파워 시리즈

여기에서 (mathbb{R})의 거듭제곱 급수에 대한 몇 가지 정의와 결과를 수집합니다.

정의. (c_alphainmathbb{R}^1 (mbox{or} inmathbb{R}^m))라고 하자. 시리즈
$$
sum_alpha c_alphaequivsum_{m=0}^inftyleft(sum_{|alpha|=m}c_alpha ight)
$$
이면 수렴한다고 한다.
$$
sum_alpha |c_alpha|equivsum_{m=0}^inftyleft(sum_{|alpha|=m}|c_alpha| ight)
$$
수렴합니다.

주목. 위의 정의에 따르면 수렴 급수는 절대 수렴합니다. 따라서 합산의 순서를 재정렬할 수 있습니다.

위의 다중 인덱스 표기법을 사용하고 수렴 급수를 재배열할 수 있다는 점을 염두에 두고 다음을 수행합니다.

10. (xinmathbb{R})라고 하면
egin{eqnarray*}
sum_alpha x^alpha&=&prod_{i=1}^nleft(sum_{alpha_i=0}^infty x_i^{alpha_i} ight)
&=&frac{1}{(1-x_1)(1-x_2)cdotldotscdot(1-x_n)}
&=&frac{1}{({f 1}-x)^{f 1}},
end{eqnarray*}
각 (i)에 대해 (|x_i|<1)가 충족되는 경우.

11. (xinmathbb{R}) 및 (|x_1|+|x_2|+ldots+|x_n|<1)라고 가정하고,
egin{eqnarray*}
sum_alphafrac{|alpha|!}{alpha!}x^alpha&=&sum_{j=0}^inftysum_{|alpha|=j}frac{|alpha |!}{alpha!}x^alpha
&=&sum_{j=0}^infty(x_1+ldots+x_n)^j
&=&frac{1}{1-(x_1+ldots+x_n)}.
end{eqnarray*}

12. 모든 (i)에 대해 (xinmathbb{R}), (|x_i|<1)라고 하고 (eta)는 주어진 다중 인덱스입니다. 그 다음에
egin{eqnarray*}
sum_{alphageeta}frac{alpha!}{(alpha-eta)!}x^{alpha-eta}&=&D^etafrac{1}{({ f 1}-x)^1}
&=&frac{베타!}{({f 1}-x)^{1+베타}}
end{eqnarray*}

13. (xinmathbb{R}) 및 (|x_1|+ldots+|x_n|<1)라고 하자. 그 다음에
egin{eqnarray*}
sum_{alphageeta}frac{|alpha|!}{(alpha-eta)!}x^{alpha-eta}&=&D^etafrac{1}{ 1-x_1-ldots-x_n}
&=&frac{|베타|!}{(1-x_1-ldots-x_n)^{1+|베타|}} .
end{eqnarray*}

전원 시리즈를 고려하십시오
egin{방정식}
label{power} ag{3.34}
sum_alpha c__alpha x^alpha
end{방정식}
그리고 이 급수가 (zinmathbb{R})에 대해 수렴한다고 가정합니다. 그런 다음 정의에 따라
$$
mu:=sum_alpha|c_alpha||z^alpha|$$
급수( ef{power})는 모든 (xin Q(z))에 대해 균일하게 수렴합니다. 여기서
$$
Q(z): |x_i|le|z_i| mbox{모두용} i.
]

그림 3.5.1.1: (Din Q(z))의 정의

따라서 거듭제곱 급수( ef{power})는 Weierstrass의 정리에 따라 (Q(z))에 정의된 연속 함수를 정의합니다.

(Q(z))의 내부는 모든 (i)에 대해 (z_i ot=0)인 경우에만 비어 있지 않습니다(그림 3.5.1.1 참조).
(Q(z))의 고정된 압축 부분집합 (D)에서 주어진 (x)에 대해 (q), (0$$
|x_i|le q|z_i| mbox{모두용} i.
$$
세트
$$
f(x)=sum_alpha c_alpha x^alpha.
]

제안 A1. (NS) (Q(z))의 모든 압축된 부분집합 (D)에서 하나는 (fin C^infty(D))를 가지며
형식 미분 급수, 즉 (sum_alpha D^eta c_alpha x^alpha)는 (D)의 폐쇄에 균일하게 수렴하고 (D^eta f)와 같습니다. ).
}

(ii)
$$
|D^베타 f(x)|le M|베타|!r^{-|베타|} mbox{in} D,
$$
어디
$$
M=frac{mu}{(1-q)^n},qquad qquad r=(1-q)min_i|z_i|.
$$

증거. F. John[10], p. 64. 또는 운동. 힌트: 공식 사용 12. 여기서 (x)는 ((q,ldots,q))로 대체됩니다.

주목. 위의 명제로부터 다음과 같다.
$$
c__alpha=frac{1}{alpha!}D^alpha f(0).
]

정의. (f)가 (Omegasubsetmathbb{R}) 도메인에 정의되어 있다고 가정하면 (f)는 (yinOmega) } (c_alphainmathbb{R}^1)가 있고 (y)의 이웃 (N(y))가 다음과 같은 경우
$$
f(x)=sum_alpha c_alpha(x-y)^alpha
$$
모든 (xin N(y))에 대해 시리즈는 각 (xin N(y))에 대해 (절대적으로) 수렴합니다.
함수 (f)는 각 (yinOmega)에 대한 실제 분석인 경우 {it real analytic in (Omega)}라고 합니다.
(f)가 (Omega) 도메인에서 실제 분석인 경우 (fin C^omega(Omega))를 작성합니다.
벡터 값 함수 (f(x)=(f_1(x),ldots,f_m))는 각 좌표가 실수 분석인 경우 실수 분석이라고 합니다.

제안 A2. (NS) (fin C^omega(Omega)). 그런 다음 (fin C^infty(Omega)).}

(ii)
(fin C^omega(Omega))라고 가정합니다. 그러면 각각의 (yin Omega)에 대해 이웃 (N(y))와 양의 상수 (M), (r)가 다음과 같이 존재합니다.
$$
f(x)=sum_alphafrac{1}{alpha!}(D^alpha f(y))(x-y)^alpha
$$
모든 (xin N(y))에 대해 시리즈는 각 (xin N(y))에 대해 (절대적으로) 수렴합니다.
$$
|D^베타 f(x)|le M|베타|!r^{-|베타|}.
$$

증명은 발의안 A1에서 따릅니다.

열린 집합 (Omegainmathbb{R})이 호출됩니다. 연결된 (Omega) 가 비어 있지 않은 두 개의 합집합이 아닌 경우
빈 교차점이 있는 열린 세트. 열린 집합 (Omegainmathbb{R})은 경로가 연결된 경우에만 연결됩니다(예: [11], pp. 38 참조). (Omega)는 연결된 경로 어떤 (x,yinOmega)에 대해 연속 곡선 (gamma(t)inOmega), (0le tle1)가 있고 (gamma( 0)=x) 및 (감마(1)=y). 하나의 복잡한 변수 이론에서 우리는 분석 기능의 연속이 고유하게 결정된다는 것을 압니다. 실제 분석 기능도 마찬가지입니다.

제안 A3. (fin C^omega(Omega)) 및 (Omega)가 연결되어 있다고 가정합니다. 그 다음에
(f)는 하나의 (zinOmega)에 대해 모든 (D^alpha f(z))가 알려진 경우 고유하게 결정됩니다.

증거. F. 65 참조. (g, hin C^omega(Omega)) 및
모든 (alpha)에 대해 (D^alpha g(z)=D^alpha h(z)). (f=g-h)를 설정하고
egin{eqnarray*}
Omega_1&=&{xinOmega: D^alpha f(x)=0 mbox{모두용} alpha},
Omega_2&=&{xinOmega: D^alpha f(x) ot=0 mbox{하나 이상의 경우} alpha}.
end{eqnarray*}
세트 (Omega_2)는 (D^alpha f)가 (Omega)에서 연속이기 때문에 열려 있습니다. 집합 (Omega_1)도 (yinOmega_1)의 이웃에서 (f(x)=0) 이후 열려 있습니다. 이것은 다음에서 따릅니다.
$$
f(x)=sum_alpha frac{1}{alpha!}(D^alpha f(y))(x-y)^alpha.
$$
(zinOmega_1) 이후로, i. 예를 들어 (Omega_1 ot=emptyset), (Omega_2=emptyset) 다음에 옵니다.

(상자)

실제 분석 함수의 도함수가 추정치를 충족한다는 것이 명제 A2에 나와 있습니다.
반면에 다음 명제를 참조하십시오. 이 추정값이 충족되면 함수 (fin C^infty)가 실수 분석적입니다.

정의. (yinOmega) 및 (M, r) 양의 상수로 둡니다. 그러면 (f)는 (y)의 이웃에 있는 (fin C^infty)인 경우 클래스 (C_{M,r}(y))에 있다고 합니다.
$$
|D^베타 f(y)|le M|베타|!r^{-|베타|}
$$
모든 (베타).

제안 A4. (fin C^omega(Omega)) 만약 (fin C^infty(Omega)) 그리고 모든 컴팩트 부분집합 (SsubsetOmega) 다음과 같은 양의 상수 (M,;r)
$$
fin C_{M,r}(y) mbox{for all} yin S.
$$

증거. F. John[10], pp. 65-66 참조. 우리는 명제의 로컬 버전을 증명할 것입니다. 즉, 고정된 각 (yinOmega)에 대해 표시합니다. 일반 버전은 하이네-보렐 정리를 따릅니다. 명제 A3 때문에 Taylor 급수는
$$
sum_alphafrac{1}{alpha!}D^alpha f(y)(x-y)^alpha
$$
(절대적으로) (y) 부근에서 수렴하고 이 급수는 (f(x))와 같습니다.

다음과 같이 (y)의 이웃을 정의합니다.
$$
N_d(y)={xinOmega: |x_1-y_1|+ldots+|x_n-y_n|$$
여기서 (d)는 충분히 작은 양의 상수입니다. (Phi(t)=f(y+t(x-y)))를 설정합니다. 1차원 테일러 정리는 다음과 같이 말합니다.
$$
f(x)=Phi(1)=sum_{k=0}^{j-1}frac{1}{k!}Phi^{(k)}(0)+r_j,
$$
어디
$$
r_j=frac{1}{(j-1)!}int_0^1 (1-t)^{j-1}Phi^{(j)}(t) dt.
$$
공식에서 7. 방향 도함수의 경우 (xin N_d(y)) 다음과 같습니다.
$$
frac{1}{j!}frac{d^j}{dt^j}Phi(t)=sum_{|alpha|=j}frac{1}{alpha!}D^ 알파 f(y+t(xy))(xy)^알파.
$$
가정과 다항식으로부터 3. 우리는 (0le tle 1)
egin{eqnarray*}
left|frac{1}{j!}frac{d^j}{dt^j}Phi(t) ight|&le&Msum_{|alpha|=j}frac{| 알파|!}{alpha!}r^{-|alpha|}left|(xy)^alpha ight|
&=& Mr^{-j}left(|x_1-y_1|+ldots +|x_n-y_n| ight)^j
&le&Mleft(frac{d}{r} ight)^j.
end{eqnarray*}
(d0)을 선택하면 Taylor 급수는 (N_d(y))에 (절대적으로) 수렴하고 (f(x))와 같습니다. 나머지가 만족하면 위의 추정치를 참조하십시오.
$$
|r_j|=left|frac{1}{(j-1)!}int_0^1 (1-t)^{j-1}Phi^j(t) dt ight|le Mleft(frac{d}{r} ight)^j.
]

(상자)

(f<

제안 A5. (NS) (f=(f_1,ldots,f_m)in C_{M,r}(0)) 경우에만 (f<<(Phi,ldots,Phi)), 여기서
$$
Phi(x)=frac{미스터}{r-x_1-ldots-x_n} .
$$
}

(ii) (fin C_{M,r}(0)) 및 (f(0)=0)
$$
f<<(Phi-M,ldots,Phi-M),
$$
어디
$$
Phi(x)=frac{M(x_1+ldots+x_n)}{r-x_1-ldots-x_n} .
$$

증거.
$$
D^alphaPhi(0)=M|alpha|!r^{-|alpha|}.
]

(상자)

주목. (f<

다음 명제는 관련된 기능이 메이저화되면 작곡이 메이저화됨을 보여준다. 더 정확하게는, 우리는

발의안 A6. (f, F: mathbb{R}mapstomathbb{R}^m) 및 (g, G)가 (0inmathbb{R}^m )를 ({mathbb R}^p)로 변환합니다. 모든 함수 (f(x), F(x), g(u), G(u))가 (C^infty), (f(0)=F(0)에 있다고 가정합니다. )=0), (f<(g(f(x))<}

증거. F. 68 참조. 설정
$$
h(x)=g(f(x)), H(x)=G(F(x)).
$$
체인 규칙에 따라 (h)의 각 좌표 (h_k)에 대해,
$$
D^alpha h_k(0)=P_alpha(delta^eta g_l(0),D^gamma f_j(0)),
$$
여기서 (P_alpha)는 다음을 포함하는 다항식입니다. 음이 아닌 계수로서의 정수, (P_alpha)
(g) 또는 (f) 및 (delta:=(partial/partial u_1,ldots,partial/partial u_m))에 대해 독립적입니다. 따라서,
egin{eqnarray*}
|D^alpha h_k(0)|&le&P_alpha(|delta^eta g_l(0)|,|D^감마 f_j(0)|)
&le&P_alpha(delta^eta G_l(0),D^gamma F_j(0))
&=&D^alpha H_k(0).
end{eqnarray*}
(상자)

이 결과와 실제 분석 함수를 특징짓는 명제 A4를 사용하여 실제 분석 함수의 구성이 다시 실제 분석 함수임을 알 수 있습니다.

발의안 A7. (f(x)) 및 (g(u)) 가 실수 해석적이라고 가정하고 (f(x)) 가 정의역에 있으면 (g(f(x))) 가 실수 해석적이라고 가정합니다. (g)의 정의.

증거. F 참조. (f)는 (mathbb{R}^m)에서 (yinmathbb{R})의 이웃을 매핑하고 (g)는 ( v=f(y)) in ${mathbb R}^m$. 그러면 (fin C_{M,r}(y)) 및 (gin C_{mu, ho}(v))는 다음을 의미합니다.
$$
h(x):=g(f(x))in C_{mu, ho r/(mM+ ho)}(y).
$$
이 포함을 표시하면 명제는 명제~A4에서 따릅니다. 포함을 표시하기 위해
$$
h(y+x):=g(f(y+x))equiv g(v+f(y+x)-f(x))=:g^*(f^*(x)),
$$
여기서 (v=f(y)) 및
egin{eqnarray*}
g^*(u):&=&g(v+u)in C_{mu, ho}(0)
f^*(x):&=&f(y+x)-f(y)in C_{M,r}(0).
end{eqnarray*}
위의 공식에서 (v,y)는 고정 매개변수로 간주됩니다. 제안 ~ A5에서 다음과 같습니다.
egin{eqnarray*}
f^*(x)&<<&(Phi-M,ldots,Phi-M)=:F
g^*(u)&<<&(Psi,ldots,Psi)=:G,
end{eqnarray*}
어디
egin{eqnarray*}
Phi(x)&=&frac{미스터}{r-x_1-x_2-ldots-x_n}
Psi(u)&=&frac{mu ho}{ ho-x_1-x_2-ldots-x_n}.
end{eqnarray*}
제안 A6에서 우리는 다음을 얻습니다.
$$
h(y+x)<<(chi(x),ldots,chi(x))equiv G(F),
$$
어디
egin{eqnarray*}
chi(x)&=&frac{mu ho}{ ho-m(Phi(x)-M)}
&=&frac{mu ho(r-x_1-ldots-x_n)}{ ho r-( ho+mM)(x_1+ldots+x_n)}
&<<&frac{mu ho r}{ ho r-( ho+mM)(x_1+ldots+x_n)}
&=&frac{mu ho r/( ho+mM)}{ ho r/( ho+mM)-(x_1+ldots x_n)}.
end{eqnarray*}
''(<<)''-부등식에 대한 연습을 참조하십시오.

(상자)

기여자:

  • Justin Marshall이 통합했습니다.


비디오 보기: 함수 인자의기본값 (팔월 2022).