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9.8: Cramer의 법칙으로 시스템 풀기 - 수학

9.8: Cramer의 법칙으로 시스템 풀기 - 수학



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학습 목표

  • 2 × 2 행렬식을 평가합니다.
  • Cramer의 규칙을 사용하여 두 변수의 연립방정식을 풉니다.
  • 3 × 3 행렬식을 평가합니다.
  • Cramer의 규칙을 사용하여 세 변수의 세 방정식 시스템을 풉니다.
  • 행렬식의 속성을 알 수 있습니다.

우리는 두 개의 변수와 세 개의 변수에서 연립방정식을 푸는 방법과 여러 가지 방법(대체, 덧셈, 가우스 소거법, 역행렬 사용, 그래프 작성)으로 해결하는 방법을 배웠습니다. 이러한 방법 중 일부는 다른 방법보다 적용하기 쉽고 특정 상황에 더 적합합니다. 이 섹션에서는 연립방정식을 풀기 위한 두 가지 전략을 더 공부할 것입니다.

2 × 2 행렬의 행렬식 계산하기

행렬식은 면적, 부피 및 기타 수량 계산과 같은 여러 응용 프로그램이 있기 때문에 수학에서 매우 유용할 수 있는 실수입니다. 여기에서는 행렬이 역행렬인지 여부를 결정하는 데 사용하고, 정방 행렬의 항목을 사용하여 연립방정식에 대한 해가 있는지 여부를 결정합니다. 그러나 아마도 더 흥미로운 응용 프로그램 중 하나는 암호화에서 사용하는 것입니다. 보안 신호 또는 메시지는 때때로 매트릭스로 인코딩되어 전송됩니다. 데이터는 역행렬과 행렬식으로만 해독할 수 있습니다. 우리의 목적을 위해 행렬의 가역성을 나타내는 행렬식에 초점을 맞춥니다. 행렬의 행렬식 계산에는 이 섹션에 설명된 특정 패턴을 따르는 것이 포함됩니다.

A 2 × 2 행렬의 행렬식 찾기

NS 결정자 주어진 2 × 2 행렬의

(A=egin{bmatrix}a&bc&dend{bmatrix})

다음과 같이 정의됩니다.

표기법의 변화에 ​​주목하십시오. 행렬식을 나타내는 방법에는 (det(A)) 및 행렬의 대괄호를 직선 (| A |)으로 바꾸는 방법이 있습니다.

예 (PageIndex{1}): (2 × 2) 행렬의 행렬식 찾기

주어진 행렬의 행렬식을 찾습니다.

(A=egin{bmatrix}5&2−6&3end{bmatrix})

해결책

[egin{align*} det(A)&= egin{vmatrix}5&2-6&3end{vmatrix} &= 5(3)-(-6)(2) &= 27 끝{정렬*}]

Cramer의 규칙을 사용하여 두 변수의 두 방정식 시스템 풀기

이제 행렬식을 사용하는 연립방정식을 푸는 마지막 방법을 소개합니다. 로 알려진 크래머의 법칙, 이 기술은 18세기 중반으로 거슬러 올라가며, 1750년 Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques. Cramer의 규칙은 미지수와 동일한 수의 방정식이 있는 경우 임의의 수의 미지수가 있는 시스템에 대한 솔루션을 찾는 실행 가능하고 효율적인 방법입니다.

Cramer's Rule은 존재하는 경우 방정식 시스템에 대한 고유한 솔루션을 제공합니다. 그러나 시스템에 솔루션이 없거나 무한한 수의 솔루션이 있는 경우 이는 행렬식 0으로 표시됩니다. 시스템이 일관성이 없거나 종속적인지 확인하려면 제거와 같은 다른 방법을 사용해야 합니다.

Cramer의 규칙을 이해하기 위해 기본 행 연산을 사용하여 선형 방정식 시스템을 푸는 방법을 자세히 살펴보겠습니다. 두 변수의 두 방정식 시스템을 고려하십시오.

[egin{align} a_1x+b_1y&= c_1 (1) label{eq1} a_2x+b_2y&= c_2 (2) label{eq2} end{align}]

우리는 행 연산을 사용하여 한 변수를 제거하고 다른 변수를 풉니다. (x)를 풀고 싶다고 가정해 봅시다. 방정식 ef{eq2}에 방정식 ef{eq1}의 (y) 계수의 반대를 곱하면 방정식 ef{eq1}에 방정식 ef의 (y) 계수를 곱합니다. {eq2}, 그리고 두 방정식을 추가하면 변수 (y)가 제거됩니다.

[egin{align*} &b_2a_1x+b_2b_1y = b_2c_1 & ext{곱하기 }R_1 ext{ }b_2 -&underline{b_1a_2x−b_1b_2y=−b_1c_2} & ext{곱하기{ }R_2 ext }−b_1 & b_2a_1x−b_1a_2x=b_2c_1−b_1c_2 end{align*}]

이제 (x)를 풉니다.

[egin{align*} b_2a_1x−b_1a_2x &= b_2c_1−b_1c_2 x(b_2a_1−b_1a_2) &= b_2c_1−b_1c_2 x &= dfrac{b_2c_1−b_1c_2}{ egin{bmatrix}c_1&b_1c_2&b_2end{bmatrix}}{egin{bmatrix}a_1&b_1a_2&b_2end{bmatrix}} end{align*}]

마찬가지로 (y)를 풀기 위해 (x)를 제거합니다.

[egin{align*} & a_2a_1x+a_2b_1y = a_2c_1 & ext{곱하기 }R_1 ext{ }a_2 -& underline{a_1a_2x−a_1b_2y=−a_1c_2} & ext{곱하기 }R_2 ext { }−a_1 & a_2b_1y−a_1b_2y =a_2c_1−a_1c_2 end{align*}]

(y)에 대한 풀이는 다음을 제공합니다.

[ egin{정렬*} a_2b_1y−a_1b_2y &= a_2c_1−a_1c_2 y(a_2b_1−a_1b_2) &= a_2c_1−a_1c_2 y &= dfrac_1c_2 y &= dfrac_a_2c_1−a_1c_2 a_1c_2−a_2c_1}{a_1b_2−a_2b_1}=dfrac{egin{bmatrix}a_1&c_1a_2&c_2end{bmatrix}}{egin{bmatrix}a_1&b_1a_2&b_2end{bmatrix}} ]

(x) 및 (y) 모두의 분모가 계수 행렬의 행렬식임을 주목하십시오.

이 공식을 사용하여 (x) 및 (y)를 풀 수 있지만 Cramer의 규칙도 새로운 표기법을 도입합니다.

  • (D): 계수 행렬의 행렬식
  • (D_x): (x)의 해에서 분자의 행렬식

    [x=dfrac{D_x}{D}]

  • (D_y): (y)의 해에서 분자의 행렬식

    [y=dfrac{D_y}{D}]

Cramer's Rule의 핵심은 관심 변수 열을 상수 열로 대체하고 행렬식을 계산하는 것입니다. 그러면 (x)와 (y)를 두 행렬식의 몫으로 표현할 수 있습니다.

(2×2) 시스템에 대한 CRAMER의 규칙

크래머의 법칙은 행렬식을 사용하여 변수와 동일한 수의 방정식을 갖는 연립방정식을 푸는 방법입니다.

두 변수의 두 선형 방정식 시스템을 고려하십시오.

[egin{align*} a_1x+b_1y&= c_1 a_2x+b_2y&= c_2 end{align*}]

Cramer's Rule을 사용한 해는 다음과 같이 주어진다.

[egin{align} x&= dfrac{D_x}{D} = dfrac{egin{bmatrix}c_1&b_1c_2&b_2end{bmatrix}}{egin{bmatrix}a_1&b_1a_2&b_2end{bmatrix }}; , D eq 0 y&= dfrac{D_y}{D} = dfrac{egin{bmatrix}a_1&c_1a_2&c_2end{bmatrix}}{egin{bmatrix}a_1&b_1a_2&b_2end{bmatrix }}; , D eq 0 end{정렬}]

(x)를 풀면 (x) 열이 상수 열로 바뀝니다. (y)를 풀면 (y) 열이 상수 열로 바뀝니다.

예 (PageIndex{2}): Cramer의 법칙을 사용하여 (2 × 2) 시스템 풀기

Cramer의 법칙을 사용하여 다음 (2 × 2) 시스템을 풉니다.

[egin{정렬*} 12x+3y&= 15 2x-3y&= 13 end{정렬*}]

해결책

(x)를 풉니다.

[egin{align*} x&= dfrac{D_x}{D} &= dfrac{egin{bmatrix}15&313&-3end{bmatrix}}{egin{bmatrix}12&3 2&-3end{bmatrix}} &= dfrac{-45-39}{-36-6} &= dfrac{-84}{-42} &= 2 end{ 맞추다*}]

(y)를 풉니다.

[egin{align*} y&= dfrac{D_y}{D} &= dfrac{egin{bmatrix}12&152&13end{bmatrix}}{egin{bmatrix}12&32& -3end{bmatrix}} &= dfrac{156-30}{-36-6} &= -dfrac{126}{42} &= -3 end{align*} ]

해는 ((2,−3))입니다.

운동 (PageIndex{1})

크래머의 법칙을 사용하여 (2 × 2) 연립방정식을 풉니다.

[egin{정렬*} x+2y&= -11 -2x+y&= -13 end{정렬*}]

답변

((3,−7))

3 × 3 행렬의 행렬식 평가

2×2 행렬의 행렬식을 찾는 것은 간단하지만 3×3 행렬의 행렬식을 찾는 것은 더 복잡합니다. 한 가지 방법은 처음 두 열을 반복하여 3x3 행렬을 증가시켜 3x5 행렬을 만드는 것입니다. 그런 다음 항목의 곱의 합계를 계산합니다. 아래에 세 개의 대각선(왼쪽 위에서 오른쪽 아래) 각각을 입력하고 항목의 곱을 뺍니다. 위로 3개의 대각선 각각(왼쪽 아래에서 오른쪽 위). 이것은 시각적인 것과 예제를 통해 더 쉽게 이해됩니다.

3×3 행렬의 행렬식을 찾습니다.

(A=egin{bmatrix}a_1&b_1&c_1a_2&b_2&c_2a_3&b_3&c_3end{bmatrix})

  1. 처음 두 열로 (A)를 늘립니다.

    (det(A)=left| egin{array}{ccc|cc} a_1&b_1&c_1&a_1&b_1a_2&b_2&c_2&a_2&b_2a_3&b_3&c_3&a_3&b_3end{array} ight|)

  2. 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로: 첫 번째 대각선 아래로 항목을 곱합니다. 두 번째 대각선 아래 항목의 곱에 결과를 추가합니다. 이 결과를 세 번째 대각선 아래 항목의 곱에 추가합니다.
  3. 왼쪽 하단에서 오른쪽 상단으로: 첫 번째 대각선 위로 항목의 곱을 뺍니다. 이 결과에서 두 번째 대각선 위로 항목의 곱을 뺍니다. 이 결과에서 세 번째 대각선 위로 항목의 곱을 뺍니다.

대수학은 다음과 같습니다.

(| A |=a_1b_2c_3+b_1c_2a_3+c_1a_2b_3−a_3b_2c_1−b_3c_2a_1−c_3a_2b_1)

예 (PageIndex{3}): 3 × 3 행렬의 행렬식 찾기

주어진 (3 × 3) 행렬의 행렬식 찾기

(A=egin{bmatrix}0&2&13&−1&14&0&1end{bmatrix})

해결책

처음 두 열로 행렬을 확대한 다음 공식을 따릅니다. 따라서,

[시작{정렬*} | 에이 | &= 왼쪽| egin{배열}{ccc|cc}0&2&1&0&23&-1&1&3&-14&0&1&4&0end{배열} ight| &= 0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1)−0(1)(0)−1(3) (2) &=0+8+0+4−0−6 &= 6 end{정렬*}]

운동 (PageIndex{2})

3 × 3 행렬의 행렬식을 찾습니다.

(det(A)=egin{vmatrix}1&−3&71&1&11&−2&3end{vmatrix})

답변

(−10)

Q&A: 더 큰 행렬의 행렬식을 찾는 데 동일한 방법을 사용할 수 있습니까?

아니요, 이 방법은 2 × 2 및 3 × 3 행렬에만 적용됩니다. 더 큰 행렬의 경우 그래프 유틸리티나 컴퓨터 소프트웨어를 사용하는 것이 가장 좋습니다.

Cramer의 규칙을 사용하여 세 변수의 세 방정식 시스템 풀기

이제 (3 × 3) 행렬의 행렬식을 찾을 수 있으므로 Cramer의 규칙을 적용하여 세 변수의 세 방정식 시스템을 풀 수 있습니다. Cramer의 규칙은 (2 × 2) 행렬에 대한 Cramer의 규칙과 일치하는 패턴을 따르는 간단합니다. 그러나 행렬의 차수가 (3 × 3)로 증가함에 따라 더 많은 계산이 필요합니다.

행렬식을 0으로 계산할 때 Cramer의 규칙은 시스템에 해가 없거나 무한한 수인지에 대한 표시를 제공하지 않습니다. 알아내려면 시스템에서 제거를 수행해야 합니다.

(3 × 3) 방정식 시스템을 고려하십시오.

[egin{align} a_1x+b_1y+c_1z &= color{blue}d_1 a_2x+b_2y+c_2z &= color{blue}d_2 a_3x+b_3y+c_3z &= color{blue}d_3 끝{정렬}]

(x=dfrac{D_x}{D}), (y=dfrac{D_y}{D}), (z=dfrac{D_z}{D}), (D≠0 )

어디

[D = egin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end{vmatrix}; ,; D_x = egin{vmatrix} color{blue}d_1 & b_1 & c_1 color{blue}d_2 & b_2 & c_2 color{blue}d_3 & b_3 & c_3 end{vmatrix}; ,; D_y = egin{vmatrix} a_1 & color{blue}d_1 & c_1 a_2 & color{blue}d_2 & c_2 a_3 & color{blue}d_3 & c_3 end{vmatrix}; ,; D_z = egin{vmatrix} a_1 & b_1 & color{blue}d_1 a_2 & b_2 & color{blue}d_2 a_3 & b_3 & color{blue}d_3 end{vmatrix}]

행렬식 (D_x)를 쓰는 경우 (x) 열을 상수 열로 바꿉니다. 행렬식 (D_y)를 쓰는 경우 y 열을 상수 열로 바꿉니다. 행렬식 (D_z)를 쓰는 경우 (z) 열을 상수 열로 바꿉니다. 항상 답을 확인하세요.

예 (PageIndex{4}): Cramer의 법칙을 사용하여 (3 × 3) 시스템 풀기

Cramer의 규칙을 사용하여 주어진 (3 × 3) 시스템에 대한 솔루션을 찾습니다.

[egin{align*} x+y-z&= 6 3x-2y+z&= -5 x+3y-2z&= 14 end{align*}]

해결책

Cramer의 법칙을 사용하십시오.

(D=egin{vmatrix}1&1&−13&−2&11&3&−2end{vmatrix}), (D_x=egin{vmatrix}6&1&−1−5&−2&1 14&3&−2end{vmatrix}), (D_y=egin{vmatrix}1&6&−13&−5&11&14&−2end{vmatrix}), (D_z=egin{vmatrix} 1&1&63&−2&−51&3&14end{vmatrix})

그 다음에,

[egin{align*} x&= dfrac{D_x}{D}&= dfrac{-3}{-3}&= 1 y&= dfrac{D_y}{D}&= dfrac{ -9}{-3}&= 3 z&= dfrac{D_z}{D}&= dfrac{6}{-3}&= -2 end{align*}]

해는 ((1,3,−2))입니다.

운동 (PageIndex{3})

Cramer의 법칙을 사용하여 (3 × 3) 행렬을 풉니다.

[egin{align*} x-3y+7z&= 13 x+y+z&= 1 x-2y+3z&= 4 end{align*}]

답변

(left(−2,dfrac{3}{5},dfrac{12}{5} ight))

예 (PageIndex{5A}): Cramer의 규칙을 사용하여 불일치 시스템 해결

Cramer의 규칙을 사용하여 연립방정식을 풉니다.

[egin{align} 3x-2y&= 4 label{eq3} 6x-4y&= 0 label{eq4}end{align}]

해결책

행렬식 (D), (D_x) 및 (D_y)를 찾는 것으로 시작합니다.

(D=egin{vmatrix}3&−26&−4end{vmatrix}=3(−4)−6(−2)=0)

행렬식이 0이라는 것은 시스템에 솔루션이 없거나 무한한 수의 솔루션이 있음을 의미합니다. 어느 것을 보기 위해 제거 과정을 사용합니다. 우리의 목표는 변수 중 하나를 제거하는 것입니다.

  1. 방정식 ef{eq3}에 (−2)를 곱합니다.
  2. 결과를 식 ef{eq4}에 추가합니다.

[시작{정렬*} &−6x+4y=−8 &;;;밑줄{6x−4y=0} &;;;;;; ;;;; 0=−8 end{정렬*}]

거짓인 방정식 (0=−8)을 얻습니다. 따라서 시스템에는 솔루션이 없습니다. 시스템을 그래프로 나타내면 두 개의 평행선이 나타납니다. 그림 (PageIndex{1})를 참조하십시오.

예 (PageIndex{5B}): Cramer의 규칙을 사용하여 종속 시스템 풀기

무한한 수의 솔루션으로 시스템을 풉니다.

[egin{align} x-2y+3z&= 0 label{eq5} 3x+y-2z&= 0 label{eq6} 2x-4y+6z&= 0 label{eq7} end{ 맞추다}]

해결책

먼저 행렬식을 찾아보자. 처음 두 열로 증가된 행렬을 설정합니다.

(left| egin{array}{ccc|cc}1&−2&3&1&-23&1&−2&3&12&−4&6&2&-4end{array} ight|)

그 다음에,

(1(1)(6)+(−2)(−2)(2)+3(3)(−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)(1)−6(3)(−2)=0)

행렬식이 0이므로 해가 없거나 무한한 수입니다. 알아내기 위해 제거를 수행해야 합니다.

1. 방정식 ef{eq5}에 (−2)를 곱하고 그 결과를 방정식 ef{eq7}에 추가합니다.

[egin{align*} &−2x+4y−6x=0 &;;underline{2x−4y+6z=0} &;;;;;; ;;;;;;;;;;0=0 end{정렬*}]

2. 항상 참인 명제인 (0=0)의 답을 얻는다는 것은 시스템에 무한한 수의 솔루션이 있음을 의미합니다. 시스템을 그래프로 나타내면 두 개의 평면이 동일하고 둘 다 선에서 세 번째 평면과 교차한다는 것을 알 수 있습니다. 그림 (PageIndex{2})를 참조하십시오.

행렬식의 속성 이해하기

행렬식에는 많은 속성이 있습니다. 다음은 행렬의 행렬식을 계산하는 데 도움이 될 수 있는 몇 가지 속성입니다.

결정인자의 속성

  1. 행렬이 상부 삼각 형식인 경우 행렬식은 주 대각선 아래 항목의 곱과 같습니다.
  2. 두 행이 바뀌면 행렬식의 부호가 바뀝니다.
  3. 두 개의 행 또는 두 개의 열이 동일한 경우 행렬식은 0입니다.
  4. 행렬에 0의 행이나 0의 열이 포함된 경우 행렬식은 0과 같습니다.
  5. 역행렬 (A^{−1})의 행렬식은 행렬 (A)의 행렬식의 역수입니다.
  6. 행이나 열에 상수를 곱하면 행렬식에 동일한 인수가 곱해집니다.

예 (PageIndex{6}): 행렬식의 속성 설명

행렬식의 각 속성을 설명합니다.

해결책

속성 1은 행렬이 상부 삼각 형식인 경우 행렬식이 주 대각선 아래 항목의 곱임을 나타냅니다.

(A=egin{bmatrix}1&2&3&2&1&0&−1end{bmatrix})

처음 두 열로 (A)를 늘립니다.

(A=left[ egin{array}{ccc|cc}1&2&3&1&2&2&1&0&2&0&−1&0&0end{array} ight])

그 다음에

[egin{align*} det(A)&= 1(2)(-1)+2(1)(0)+3(0)(0)-0(2)(3)-0( 1)(1)+1(0)(2) &= -2 end{정렬*}]

속성 2는 행을 교환하면 부호가 변경됨을 나타냅니다. 주어진

[egin{align*} B&= egin{bmatrix}4&-3-1&5end{bmatrix} det(B)&= (4)(5)-(-1)(-3 ) &= 20-3 &= 17 end{정렬*}]

속성 3은 두 개의 행 또는 두 개의 열이 동일한 경우 행렬식이 0임을 나타냅니다.

[egin{align*} A&=left[ egin{array}{ccc|cc}1&2&2&1&22&2&2&2&2-1&2&2&-1&2end{array} ight] det(A)&= 1(2)(2)+2(2)(-1)+2(2)(2)+1(2)(2)-2(2)(1)-2(2)(2) &=4-4+8+4-4-8 &=0 end{정렬*}]

속성 4는 행이나 열이 0이면 행렬식이 0과 같다고 명시합니다. 따라서,

[egin{align*} A&=egin{bmatrix}1&2&0end{bmatrix} det(A)&=1(0)-2(0) &=0 end{ 맞추다*}]

속성 5는 역행렬 (A^{−1})의 행렬식이 행렬식 (A)의 역수임을 나타냅니다. 따라서,

[egin{align*} A^{-1}&=egin{bmatrix}-2&1dfrac{3}{2}&-dfrac{1}{2}end{bmatrix} det(A^{-1})&=-2left(-dfrac{1}{2} ight)-dfrac{3}{2}(1) &=-dfrac{1 {2} end{정렬*}]

속성 6은 행렬의 행이나 열에 상수를 곱하면 행렬식에 동일한 인수가 곱해진다고 명시되어 있습니다. 따라서,

예 (PageIndex{7}): Cramer의 규칙과 행렬식 속성을 사용하여 시스템 풀기

주어진 (3 × 3) 시스템의 해를 구하십시오.

해결책

Cramer의 법칙을 사용하여

(D=egin{bmatrix}2&4&43&7&71&2&2end{bmatrix})

두 번째와 세 번째 열은 동일합니다. 속성 3에 따르면 행렬식은 0이므로 해가 없거나 무한한 수입니다. 방정식 ef{eq10}에 (–2)를 곱하고 그 결과를 방정식 ef{eq8}에 추가합니다.

모순되는 진술을 얻는다는 것은 시스템에 해결책이 없다는 것을 의미합니다.

주요 컨셉

  • (egin{bmatrix}a&bc&dend{bmatrix})의 행렬식은 (ad−bc)입니다. 예 (PageIndex{1})를 참조하십시오.
  • Cramer의 규칙은 가변 열을 상수 열로 대체합니다. 솔루션은 (x=dfrac{D_x}{D}), (y=dfrac{D_y}{D})입니다. 예 (PageIndex{2})를 참조하십시오.
  • (3×3) 행렬의 행렬식을 찾으려면 처음 두 열로 증가시킵니다. 세 개의 대각선 항목(왼쪽 위에서 오른쪽 아래)을 더하고 세 개의 대각선 항목(왼쪽 아래에서 오른쪽 위)을 뺍니다. 예 (PageIndex{3})를 참조하십시오.
  • Cramer의 규칙을 사용하여 세 변수의 세 방정식 시스템을 풀려면 변수 열을 원하는 각 해에 대한 상수 열로 바꾸십시오. (x=dfrac{D_x}{D}), (y=dfrac{D_y }{D}), (z=dfrac{D_z}{D}). 예 (PageIndex{4})를 참조하십시오.
  • Cramer의 규칙은 솔루션이 없거나 무한 솔루션이 있는 연립방정식의 솔루션을 찾는 데에도 유용합니다. 예 (PageIndex{5}) 및 예 (PageIndex{6})를 참조하십시오.
  • 행렬식의 특정 속성은 문제를 해결하는 데 유용합니다. 예를 들어:
    • 행렬이 상부 삼각 형식인 경우 행렬식은 주 대각선 아래 항목의 곱과 같습니다.
    • 두 행이 바뀌면 행렬식의 부호가 바뀝니다.
    • 두 개의 행 또는 두 개의 열이 동일한 경우 행렬식은 0입니다.
    • 행렬에 0의 행이나 0의 열이 포함된 경우 행렬식은 0과 같습니다.
    • 역행렬 (A^{−1})의 행렬식은 행렬 (A)의 행렬식의 역수입니다.
    • 행이나 열에 상수를 곱하면 행렬식에 동일한 인수가 곱해집니다. 예제 (PageIndex{7}) 및 예제 (PageIndex{8})를 참조하십시오.

7.8 Cramer의 법칙에 따른 시스템 풀기

우리는 두 개의 변수와 세 개의 변수에서 연립방정식을 푸는 방법과 여러 가지 방법(대체, 덧셈, 가우스 소거법, 역행렬 사용, 그래프 작성)으로 해결하는 방법을 배웠습니다. 이러한 방법 중 일부는 다른 방법보다 적용하기 쉽고 특정 상황에 더 적합합니다. 이 섹션에서는 연립방정식을 풀기 위한 두 가지 전략을 더 공부할 것입니다.

2×2 행렬의 행렬식 평가하기

행렬식은 면적, 부피 및 기타 수량 계산과 같은 여러 응용 프로그램이 있기 때문에 수학에서 매우 유용할 수 있는 실수입니다. 여기에서는 행렬이 역행렬인지 여부를 결정하는 데 사용하고, 정방 행렬의 항목을 사용하여 연립방정식에 대한 해가 있는지 여부를 결정합니다. 그러나 아마도 더 흥미로운 응용 프로그램 중 하나는 암호화에서 사용하는 것입니다. 보안 신호 또는 메시지는 때때로 매트릭스로 인코딩되어 전송됩니다. 데이터는 역행렬과 행렬식으로만 해독할 수 있습니다. 우리의 목적을 위해 행렬의 가역성을 나타내는 행렬식에 초점을 맞춥니다. 행렬의 행렬식 계산에는 이 섹션에 설명된 특정 패턴을 따르는 것이 포함됩니다.

2 × 2 행렬의 행렬식 찾기

주어진 2 × 2 2 × 2 행렬의 행렬식

표기법의 변화에 ​​주목하십시오. det ( A ) det ( A ) 및 행렬의 대괄호를 직선으로 대체하는 것을 포함하여 행렬식을 나타내는 여러 가지 방법이 있습니다. | 에이 | . | 에이 | .


9.8: Cramer의 법칙으로 시스템 풀기 - 수학

두 개의 미지수에 대해 풀기 두 개의 방정식이 있는 경우:

4개의 계수(a, b, c, d)와 2개의 상수(e & f)를 3개의 2차 행렬식에 넣어 Cramer의 법칙을 사용할 수 있습니다. (2차 행렬식은 4개의 숫자가 2열 2행으로 배열되어 있습니다.)

분모 행렬식(dn)은 방정식의 왼쪽에 있는 계수에서 생성됩니다.

x 행렬식의 분자는 'x' 계수(a & c)가 상수(e & f)로 대체된다는 점을 제외하고는 dn 행렬식과 유사합니다.

y 행렬식의 분자는 'y' 계수(b & d)가 상수(e & f)로 대체된다는 점을 제외하고는 dn 행렬식과 유사합니다.

이러한 결정 요인을 평가하려면 다음 절차를 기반으로 합니다.

이제 2개의 미지수에 대한 Cramer의 법칙과 행렬식 계산을 알았으므로 몇 가지 방정식을 풀어 보겠습니다.
2x + 3y = 12
3x - 4y = ف
위의 지침에서 다음을 확인할 수 있습니다.
a = 2   b = 3  c =3   d = -4   e = 12   f = 1

우리는 그것을 볼 수 있습니다:
a = 2   b = 3   c = 4   d = 5   e = -6   f = 7   g = 8   h = 9   i = 10
j = 119   k = 80   l = 353


9.8: Cramer의 법칙으로 시스템 풀기 - 수학

연립 방정식: 섹션 2

예 4. 연립 방정식 시스템을 풉니다.

1) 3 x + 4년 = 19
2) 2 x &마이너스 와이 = 9

해결책 . 방정식을 있는 그대로 추가하면 미지수 중 어느 것도 취소되지 않습니다. 이제 방정식 2)에서 y의 계수가 &minus4이면 y는 취소됩니다. 따라서 우리는 다음과 같이 전략을 확장할 것입니다.

곱하여 한 쌍의 계수를 서로 음수로 만듭니다.
같은 수로 방정식의 양변. 방정식을 추가하면 미지수가 제거됩니다.

y 의 4 와 &minus4 의 계수를 만들기 위해 방정식 2)의 양변에 4를 곱합니다.

1) 3 x + 4년 = 19 3 x + 4년 = 19
2) 2 x &마이너스 와이 = 9 8개 &마이너스 4년 = 36
11개 = 55
NS = 55
11
NS = 5

방정식 2)에서 화살표 위의 4는 해당 방정식의 양쪽에 4를 곱했음을 나타냅니다. 수학식 1)은 변경되지 않았습니다.

y 를 풀려면 원래 방정식 중 하나에서 x = 5를 대입하십시오. 방정식 1)에서:

3 및 중간점 5 + 4 y = 19
4년 = 19 & 마이너스 15
4년 = 4
와이 = 1

학생은 항상 원래 방정식에서 x와 y를 (5, 1)로 대체하여 해를 확인해야 합니다.

예 5. 동시에 풀기:

1) 3 x + 2년 = 마이너스2(&M)
2) 2 x + 5년 = &-5

해결책 . 한 쌍의 계수를 서로 음수로 만들어야 합니다. 이 예에서 우리는 x 또는 y 중에서 제거할 미지수를 결정해야 합니다. 두 경우 모두 원래 계수의 새 계수를 LCM(최저공배수)으로 만들지만 부호는 반대입니다.

따라서 x 를 제거하면 새로운 계수 6과 &minus6이 됩니다. (3과 2의 LCM은 6입니다.) y를 제거하는 동안 새로운 계수는 10과 &minus10이 됩니다. (2와 5의 LCM은 10입니다.)

x를 제거하도록 선택합시다.

1) 3 x + 2년 = 마이너스2(&M) 6 x + 4년 = 마이너스4(&-4)
2) 2 x + 5년 = &-5 &마이너스6 x &마이너스 15세 = 15
________________________________________________________________________
&마이너스 11년 = 11
와이 = &마이너스1.

방정식 1)에 2를 곱했습니다. 방정식 2)는 &minus3을 곱했습니다. 왜냐하면 우리는 그 계수를 6과 &minus6으로 만들고 싶기 때문에 더할 때 y가 취소됩니다.

x 를 풀기 위해 원래 방정식 1)에서 y = &minus1을 대입합니다.

3 x + 2(&-1) = 마이너스2(&M)
3 x & - 2 = 마이너스2(&M)
3 x = 0
NS = 0

문제 3. 동시에 해결하십시오.

1) 2 x + 3년 = 13
2) 5 x &마이너스 와이 = 7

y 를 취소하려면 방정식 2)에 3을 곱합니다.

1) 2 x + 3년 = 13 2 x + 3년 = 13
2) 5 x &마이너스 와이 = 7 15개 &마이너스 3년 = 21
________________________________________________________________________
17 x = 34
NS = 2

원래 방정식 중 하나에 x = 2를 대입합니다.
방정식 1:

문제 4. 동시에 해결하십시오.

1) NS + 2년 = 마이너스1(&M)
2) 2 x &마이너스 3년 = 5

x 를 취소하려면 방정식 1)에 &minus2를 곱합니다.

1) NS + 2년 = 마이너스1(&M) &마이너스2 x &마이너스 4년 = 2
2) 2 x &마이너스 3년 = 5 2 x &마이너스 3년 = 5
________________________________________________________________________
&마이너스 7년 = 7
와이 = 마이너스1(&M)

원래 방정식 중 하나에 y = &minus1을 대입합니다.
방정식 1:

방정식 1)에 3을 곱하고 방정식 2)에 2를 곱하여 y를 제거할 수 있습니다.

문제 5. 동시에 해결:

1) 3 x &마이너스 4년 = 1
2) 2 x + 3년 = 12

방정식 1)에 3을 곱하고 방정식 2)에 4를 곱합니다.

1) 3 x &마이너스 4년 = 1 9개 &마이너스 12년 = 3
2) 2 x + 3년 = 12 8개 + 12년 = 48
________________________________________________________________________
17 x = 51
NS = 51
17
NS = 3

원래 방정식 중 하나에 x = 3을 대입합니다.
방정식 2에서(y의 부호가 이미 양수이기 때문에):

문제 6. 동시에 해결:

1) 3 x + 2년 = 마이너스4(&-4)
2) 2 x + 5년 = 1

방정식 1)에 2를 곱하고 방정식 2)에 &-3을 곱합니다.

1) 3 x + 2년 = 마이너스4(&-4) 6 x + 4년 = &-8
2) 2 x + 5년 = 1 &마이너스6 x &마이너스 15세 = &-3
________________________________________________________________________
&마이너스 11년 = &-11
와이 = 1

원래 방정식 중 하나에 y = 1을 대입합니다.
방정식 1:

방정식 1)에 5를 곱하고 방정식 2)에 &-2를 곱하여 y를 제거할 수 있습니다.

문제 7. 동시에 해결:

1) 5 x + 3년 = &-11
2) 2 x + 4년 = &-10

방정식 1)에 2를 곱하고 방정식 2)에 &-5를 곱합니다.

1) 5 x + 3년 = &-11 10개 + 6세 = &마이너스22
2) 2 x + 4년 = &-10 &마이너스10 x &마이너스 20세 = 50
________________________________________________________________________
&마이너스 14세 = 28
와이 = 마이너스2(&M)

원래 방정식 중 하나에 y = &minus2를 대입합니다.
방정식 1:

방정식 1)에 4를 곱하고 방정식 2)에 &-3을 곱하여 y를 제거할 수 있습니다.

Cramer의 법칙: 결정자의 방법

두 개의 미지수에서 두 개의 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

a는 x의 계수입니다. b는 y의 계수입니다. 다음은 해당 계수의 행렬입니다.

숫자 a 1 b 2 & 빼기 b 1 a 2를 행렬의 행렬식이라고 합니다.

행렬식을 D로 표시합시다.

이제 c 가 x 의 계수를 대체하는 다음 행렬을 고려하십시오.

그런 다음 D x라고 하는 행렬의 행렬식은 다음과 같습니다.

그리고 c 가 y 의 계수를 대체하는 다음 행렬을 고려하십시오.

그 행렬의 행렬식(D y )은 다음과 같습니다.

Cramer's Rule은 다음과 같이 기술합니다.

두 미지수의 두 방정식의 모든 시스템에서
여기서 행렬식 D가 0이 아닌 경우,

예. Cramer's Rule을 사용하여 이 연립방정식(문제 7)을 풉니다.

5 x + 3년 = &-11
2 x + 4년 = &-10

NS = 데트 = 5&중간점 4 &마이너스 3 &중간점 2
= 20 & 마이너스 6
= 14.
디엑스 = 데트 = &minus11 · 4 &minus 3 · &minus10
= &마이너스44 + 30
= &마이너스14.
= 데트 = 5 · &minus10 &minus(&minus11) · 2
= &마이너스50 + 22
= &마이너스28.

NS = 디엑스
NS
= &마이너스14
14
= &마이너스1.
와이 =
NS
= &마이너스28
14
= &마이너스2.

문제. Cramer의 법칙을 사용하여 이러한 연립방정식을 풉니다.

NS = 데트 = 3 &중간점 1 &마이너스(&마이너스5) &중간점 2
= 3 + 10
= 13.
디엑스 = 데트 = &minus31 · 1 &minus(&minus5) · 1
= &마이너스31 + 5
= &-26.
= 데트 = 3 &중간점 1 &마이너스(&마이너스31) &중간점 2
= 3 + 62
= 65.

NS = 디엑스
NS
= &마이너스26
13
= &마이너스2.
와이 =
NS
= 65
13
= 5.

행렬식 D가 0이 아니면 방정식이 선형 독립이라고 합니다. 선형 독립 방정식의 모든 시스템에는 단 하나의 솔루션이 있습니다.

행렬식 D가 0이면 1) 고유한 솔루션이 없거나 많은 이름을 지정할 수 있거나 2) 솔루션이 전혀 없습니다. 1)의 경우 방정식은 선형 종속적입니다. 그들 중 하나는 단순히 다른 것의 배수입니다. 예를 들어,

2)의 경우 방정식이 일치하지 않습니다.

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9.8: Cramer의 법칙으로 시스템 풀기 - 수학

모든 기술 과정에서 수학은 문제에 대한 올바른 솔루션을 얻는 데 중요한 역할을 합니다. 스태틱도 예외는 아닙니다. 학생은 정역학 방정식을 설정하고 풀기 위해 여러 수학 분야에 대한 탄탄한 기초가 있어야 합니다. 대수학, 삼각법, 기하학 및 미적분학은 모두 정역학 및 그 이상을 연구하는 데 매우 중요합니다. 이 과정은 1학년 기술 학생을 대상으로 하므로 미적분학이 필요하지 않습니다. 이 섹션은 이 과정에서 광범위하게 사용되는 기본 수학적 원리를 검토하기 위한 것입니다. 이것은 개요이며 모든 것을 포함하지 않습니다. 관련된 원칙은 주로 예의 형태로 제시됩니다.

대수학: 이 과정의 대부분의 문제는 사용되는 방정식을 풀기 위해 대수학에 크게 의존합니다. 학생은 하나의 변수로 방정식을 풀고 여러 변수로 방정식 세트를 풀어야 합니다. 또한 학생은 이차 공식과 자연 로그에 익숙해야 합니다.

하나의 변수가 있는 방정식: 매우 일반적인 문제는 변수가 하나뿐인 방정식입니다. 변수는 방정식 전체에 한 번 또는 여러 번 나타날 수 있습니다. 방정식은 선형 또는 비선형일 수 있으며 삼각 함수 또는 로그 함수를 포함할 수 있습니다.

하나의 변수로 방정식을 푸는 데 사용되는 기본 접근 방식은 변수가 방정식의 한쪽에서 분리되고 모든 것이 다른쪽에 있을 때까지 방정식을 조작하는 것입니다. 선형 방정식의 경우, 이는 각 변에 같음을 더하거나 빼거나, 양변에 같음을 곱하거나, 양쪽 변을 같음으로 나누어 수행할 수 있습니다. 종종 최종 솔루션에 도달하기 위해 일련의 작업이 필요합니다. 비선형 방정식의 경우 각 변의 제곱근 또는 각 변의 탄젠트를 취하는 것과 같은 다른 연산을 수행해야 할 수 있습니다. 예제 2-1부터 2-4는 모두 정적 문제에서 가져온 예제로, 최종 솔루션을 결정하기 위한 단계별 조작을 보여줍니다. 여러 가지 이유로 학생이 문제를 해결하는 동안 단계를 건너뛰지 않는 것이 좋습니다. 단계를 건너뛰면 오류가 발생할 수 있으며 항상 작업 확인을 더 어렵게 만듭니다.

예 2-1 - 변수가 1개인 선형 방정식 다음 방정식에서 X를 풉니다. 양변에 3을 곱합니다. 2를 곱합니다. 양쪽에서 24를 뺍니다. 양쪽에 18X 추가: 왼쪽에서 산술을 수행합니다. 양변을 18로 나눕니다. 확인하기 위해 원래 방정식에 2를 대입합니다.

예 2-2 - 이차 공식을 사용하는 변수가 1개인 비선형 방정식 다음 방정식에서 X를 풉니다. X(5X + 1.5) - 2.6 = 1.6X(2.5X+.5) 왼쪽에 X, 오른쪽에 1.6X를 곱합니다. 5X 2 + 1.5X - 2.6 = 4X 2 +.8X 양쪽에서 4X 2 +.8X 빼기: X 2 + .7X - 2.6 = 0 이차 공식을 적용합니다. 값을 이차 공식에 대입: X에 대해 풀기: X 1 = 1.3
X 2 = -2

이 방정식에는 X에 대한 2개의 해가 있습니다. 이차 방정식에는 항상 2개의 해가 있지만 일반적으로 하나의 해만 문제의 조건을 충족합니다. 2개의 솔루션을 계산한 후 문제의 맥락에서 평가하여 상황에 적합한 솔루션을 결정해야 합니다.

2개의 솔루션은 작업을 확인하기 위해 원래 방정식으로 다시 대체되어야 합니다. 검사는 여기에 표시되지 않지만 수행해야 합니다.

예 2-3 - 삼각 함수를 포함하는 1개의 변수가 있는 비선형 방정식
다음 방정식에서 X를 풉니다. 죄(X + 15) = .5
각 측면의 역 죄를 취하십시오. (X + 15) = 죄 -1 (.5)
(X + 15) = 30
양쪽에서 15를 뺍니다. X = 15오

예 2-4 - 자연 로그를 포함하는 1개의 변수가 있는 비선형 방정식
다음 방정식에서 X를 풉니다.
각 변의 역 ln을 취하십시오.
다음 방정식에서 X를 풉니다. X = 270.4

여러 변수가 있는 방정식: 대부분의 기술 과정과 마찬가지로 정역학에서 여러 변수를 포함하는 문제가 발생합니다. 연립방정식에 N개의 변수가 있는 경우 솔루션을 찾을 수 있으려면 해당 변수에 N개의 독립 방정식이 있어야 합니다. 이러한 연립방정식을 푸는 데 사용할 수 있는 몇 가지 방법이 있습니다. 아래의 예는 동일한 연립방정식을 푸는 3가지 방법을 보여줍니다. 사용된 방정식은 다음과 같습니다.

-X + 2Y - 3Z = 1 (1)
2X + Z = 0 (2)
3X - 4Y + 4Z = 2 (3)

연립 방정식을 푸는 데 사용되는 한 가지 방법은 변수 중 하나에 대한 방정식 중 하나를 푼 다음 다른 방정식 중 하나로 대입하여 두 번째 방정식에서 해당 변수를 제거하는 것입니다. 이 과정은 방정식에 변수가 하나만 남을 때까지 계속됩니다. The lone variable is solved for, then back substituted into one of the other equations, until all of the solutions have been found.

Example 2-5 - Systems of Equations Write down all of the equations:

-X + 2Y - 3Z = 1 (1)
2X + Z = 0 (2)
3X - 4Y + 4Z = 2 (3)

Solve one of the equations for one of the variables. In this case, equation 2 is the easiest on to work with: 2X + Z = 0
Z = -2X Substitute the result into one of the other equations. For example, substite Z=-2X into equation 1: -X + 2Y - 3Z = 1
-X + 2Y - 3(-2X) = 1
-X + 2Y + 6X = 1
5X + 2Y = 1 Solve this new equation for one of the remaining variables: 5X + 2Y = 1
5X - 1 = -2Y
1 - 5X = 2Y
Y = (1 - 5X) / 2 Substitute this result, and the result for Z into the unused equation, in this case equation 3: 3X - 4Y + 4Z = 2
3X - 4[(1 - 5X) / 2] + 4(-2X) = 2
3X - 2(1 - 5X) + 4(-2X) = 2
3X - 2 + 10X - 8X = 2 Solve the resulting equation for the remaining variable: 3X - 2 + 10X - 8X = 2
5X = 4
X = .8 Back substitute this result into equation 2: 2X + Z = 0
2(.8) + Z = 0
1.6 + Z = 0
Z = -1.6 Back substitute this result into equation 3 (or 1): 3X - 4Y + 4Z = 2
3(.8) - 4Y + 4(-1.6)= 2
Y = -1.5 So, the final solutions are: X = .8
Y = -1.5
Z = -1.6

The same system of equations can be solved by using another method of eliminating variables in the equations. In order to take full advantage of this second method, it is important to understand the concept of equivalent systems of equations. Two systems of equations are equivalent if they have precisely the same solution set. There are three operations that can be performed on any system of equations which will produce equivalent systems:

1.) Interchange two equations.
2.) Multiply an equation by a nonzero constant.
3.) Add a multiple of an equation to another equation.

The first of these is important in other methods of solving a system of equations, but will not be used here. The method that will be used in the next example involves eliminating variables by repeatedly using the second and third operations above.

Example 2-5 - Systems of Equations Write down all of the equations:

-X + 2Y - 3Z = 1 (1)
2X + Z = 0 (2)
3X - 4Y + 4Z = 2 (3)

Multiply the first equation by 2 (do not forget to multiply both sides of the equation):

-2X + 4Y - 6Z = 2 (1)
2X + Z = 0 (2)
3X - 4Y + 4Z = 2 (3)

Add equation 1 to equation 3: X - 2Z = 4
Multiply equation 2 by 2: 4 X + 2Z = 0
Add this to the previous result: 5 X = 4 Solve the resulting equation: X = .8 Back substitute this result into equation 2: 2X + Z = 0
2(.8) + Z = 0
1.6 + Z = 0
Z = -1.6 Back substitute this result into equation 3 (or 1): 3X - 4Y + 4Z = 2
3(.8) - 4Y + 4(-1.6)= 2
Y = -1.5 So, the final solutions are: X = .8
Y = -1.5
Z = -1.6

The same system of equations can be solved by using a third method known as Cramer's Rule. This method is efficient for systems of equations involving three variables, but is very tedious for larger systems. However, this method can be programmed fairly easily, so it lends itself well to computer solutions of larger systems. Cramer's rule involves finding the determinant of matrices. Therefore, a brief review will be given for finding the determinant of matrices of order 2 and order 3. Refer to any linear algebra text for other orders.

A matrix is an array of numbers arranged in row and column format. For applying Cramer's rule, the matrices will be square, meaning that the number of rows and the number of columns is the same. A matix is represented by the array shown inside a set of brackets:

The determinant of a matrix is represented by the same array shown inside a set of vertical line:

The determinant of a matrix is a number, which is evaluated by manipulating the numbers in the array.

Determinant of a matrix of order 2 :
To evaluate the determinant of a matrix of order 2, use:

|A| = a 11 ( C 11 ) + a 12 (C 12 ) + a 13 (C 13 )

With this background, it is now possible to discuss Cramer's Rule. This will be done by way of an example using a matrix of order 3. Refer to a linear algebra text for applications of Cramer's Rule to other size matrices.

Example 2-8 - Cramer's Rule for a Systems of Equations

A =

Trigonometry : Trigonometry is used extensively in statics. Trigonometry is the study of relationships in triangles. These relationships include functions of angles such as sine and cosine, and relationships involving the lengths of the sides, such as the Pythagorean theorem.

Basic Trigonometric Functions: The three basic trig functions used extensively in statics are sine, cosine, and tangent. Consider the triangle below:

It is important to recognize that these relationships only hold for right triangles. In statics, right triangles appear quite regularly, so these relationships will be used often, however, there is also a need for relationships between angles and sides on triangles which do not have a right angle. Those relationships are called the Law of Sines and the Law of Cosines. Consider the triangle below:

Example 2-9 - Trig. Functions

For the triangle on the left, find a and b.

Now that a is known, the tangent function can be used again to find b:

Example 2-10 - Law of Cosines & Law of Sines

For the triangle on the left, find the length of the unknown side and the angle .

Geometry : There are several geometric relationships which will be needed in this course.


Q: Eleven months after borrowing money, Dorah pays an interest of ₱2,800. How much did she borrow if th.

A: Consider that in 11 months simple interest paid was : 2800 at the rate of 1113%. Calculate the amoun.

Q: Find the increase rate of the scalar V at point P from origin to the point P(2,6 9,8 9,5) where V.

A: According to question given that The origin to the point P(2,6 9,8 9,5) where V=3, 3xy+ 2, 6xyz

Q: The simple interest on an investment is directly proportional to the amount of investment. An invest.

A: We solve the problem by proportion method.

Q: You are designing a dome house in the shape of a hemisphere with a 40.0-ft outside diameter. 1. How.

A: Click to see the answer

Q: Directions: Fill in the blanks with the key words in representing real-life situations into algebrai.

Q: Solve the system. Give your answer as (x, y, z) –3x + 4y : - 6z : = 19 - — Зх — 6у — 62 — 39 6х + 5у.

A: Click to see the answer

Q: Use the properties of logarithms to expand the expression as a sum, difference, and/or constant mult.

A: Click to see the answer

Q: Consider the following system of linear inequalities. 6x − y ≥ 9 4x − 5y &lt −7 (a) Graph the re.

A: Click to see the answer

Q: Use like bases and the one-to-one property to solve each exponential equation. using logarithms 4−3.


Application of Determinant to Systems: Cramer's Rule

We have seen that determinant may be useful in finding the inverse of a nonsingular matrix. We can use these findings in solving linear systems for which the matrix coefficient is nonsingular (or invertible).

Consider the linear system (in matrix form)

where A is the matrix coefficient, B the nonhomogeneous term, and X the unknown column-matrix. We have:

Theorem. The linear system AX = B has a unique solution if and only if A is invertible. In this case, the solution is given by the so-called Cramer's formulas :

where x i are the unknowns of the system or the entries of X , and the matrix A i is obtained from A by replacing the i th column by the column B . In other words, we have

where the b i are the entries of B .

In particular, if the linear system AX = B is homogeneous, meaning , then if A is invertible, the only solution is the trivial one, that is . So if we are looking for a nonzero solution to the system, the matrix coefficient A must be singular or noninvertible. We also know that this will happen if and only if . This is an important result.

예. Solve the linear system

which implies that the matrix coefficient is invertible. So we may use the Cramer's formulas. 우리는

We leave the details to the reader to find

Note that it is easy to see that z =0. Indeed, the determinant which gives z has two identical rows (the first and the last). We do encourage you to check that the values found for x , y , and z are indeed the solution to the given system.

주목. Remember that Cramer's formulas are only valid for linear systems with an invertible matrix coefficient.


Solving Systems of Equations using Cramer's Rule

Create an algorithm that uses Cramer's Rule (with determinants of matrices) to solve for the solutions of a system of linear equations. The code should work for an "n" number of variables.

You may use whatever data structure you want to hold the matrix and return the result

메모: Also, consider that a possible system can have no solutions and may have infinitely many solutions :), so, your solution should take account of this.

If this is the case, just print out or return "none" or "infinitely many".

Since this is code golf, smallest code wins.

편집하다: To make this more challenging, you cannot use a language's built-in matrix operations libraries.

Also, your algorithm DOES NOT have to deal how to get the input, just how to process the input and return the correct output. As said before, you can store this input in whatever structure.


Common Lisp [ edit ]

입력 Numerical Methods That Work (Usually), in the section What ~ 아니다 to compute, F. S. Acton remarks ". perhaps we should be glad he didn't resort to Cramer's rule (still taught as the practical method in some high schools) and solve his equations as the ratios of determinants - a process that requires labor proportional to N! if done in the schoolboy manner. The contrast with N 3 can be startling!" And further on, "Having hinted darkly at my computational fundamentalism, it is probably time to commit to a public heresy by denouncing recursive calculations. I have never seen a numerical problem arising from the physical world that was best calculated by a recursive subroutine. "

Since this problem requires use of Cramer's rule, one might as well be hung for a sheep instead of a lamb, so the traditions of Old Fortran and heavy computation will be ignored and the fearsome RECURSIVE specification employed so that the determinants will be calculated recursively, all the way down to N = 1 even though the N = 2 case is easy. This requires F90 and later. Similarly, the MODULE protocol will be employed, even though there is no significant context to share. The alternative method for calculating a determinant involves generating permutations, a tiresome process.

Array passing via the modern arrangements of F90 is a source of novel difficulty to set against the slight convenience of not having to pass an additional parameter, N. Explicitly, at least. There are "secret" additional parameters when an array is being passed in the modern way, which are referred to by the new SIZE function. Anyway, for an order N square matrix, the array ~해야하다 be declared A(N,N), and specifically not something like A(100,100) with usage only of elements up to N = 7, say, because the locations in storage of elements in use would be quite different from those used by an array declared A(7,7). This means that the array must be re-declared for each different size usage, a tiresome and error-inviting task. One-dimensional arrays do not have this problem, but they do have to be "long enough" so B and X might as well be included. This also means that the auxiliary matrices needed within the routines have to be made the right size, and fortunately they can be declared in a way that requests this without the blather of ALLOCATE, this being a protocol introduced by Algol in the 1960s. Unfortunately, there is no scheme such as in pl/i to declare AUX "like" A, so some grotesquery results. And in the case of function DET which needs an array of order N - 1, when its recursion bottoms out with N = 1 it will have declared MINOR(0,0), a rather odd situation that fortunately evokes no complaint, and a test run in which its "value" was written out by WRITE (6,*) MINOR produced a blank line: no complaint there either, presumably because zero elements were being sent forth and so there was no improper access of . nothing.

With matrices, there is a problem all the way from the start in 1958. Everyone agrees that a matrix should be indexed as A(row,column) and that when written out, rows should run down the page and columns across. This is unexceptional and the F90 function MATMUL follows this usage. However, Fortran has always stored its array elements in what is called "column major" order, which is to say that element A(1,1) is followed by element A(2,1) in storage, not A(1,2). Thus, if an array is written (or read) by something like WRITE (6,*) A , consecutive elements, written along a line, will be A(1,1), A(2,1), A(3,1), . So, subroutine SHOWMATRIX is employed to write the matrix out in the desired form, and to read the values into the array, an explicit loop is used to place them where expected rather than just READ(INF,*) A

Similarly, if instead a DATA statement were used to initialise the array for the example problem, and it looked something like (ignoring integer/floating-point issues) thus corresponding to the layout of the example problem, there would need to be a statement A = TRANSPOSE(A) to obtain the required order. I have never seen an explanation of why this choice was made for Fortran.

Oddly, the Compaq Visual Fortran F90/95 compiler is confused by the usage "BAD IDEA" instead of "BADIDEA" - spaces are not normally relevant in Fortran source. Anyway, file Test.dat has been filled with the numbers of the example, as follows:

Fortran's free-form allows a comma, a tab, and spaces between numbers, and regards the / as starting a comment, but, because each row is read separately, once the required five (N + 1) values have been read, no further scanning of the line takes place and the next READ statement will start with a new line of input. So the / isn't needed for the third row, as shown. Omitted values lead to confusion as the input process would read additional lines to fill the required count and everything gets out of step. Echoing input very soon after it is obtained is helpful in making sense of such mistakes.

For more practical use it would probably be better to constrain the freedom somewhat, perhaps requiring that all the N + 1 values for a row appear on one input record. In such a case, the record could first be read into a text variable (from which the data would be read) so that if a problem arises the text could be printed as a part of the error message. But, this requires guessing a suitably large length for the text variable so as to accommodate the longest possible input line.

And at this point I suddenly noticed that the habits of Old Fortran are not so easily suppressed: all calculations are done with double precision. Curiously enough, for the specific example data, the same results are obtained if all variables are integer.


Determinant of a matrix of order 3 :
To evaluate the determinant of a matrix of order 3, it is necessary to define two new terms, minors and cofactors for a square matrix. The minor M ij the element a ij is the determinant of the matrix which is left if row i and column j are deleted. The cofactor C ij is then given by the expression C ij = (-1) i+j M ij .

Cofactors will always be either +1 or -1 times the minor, and can be determined from the following matrix:

This shows that the cofactor for a 11 = C 11 = (+1)M 11 .

Having defined these two terms, it is now possible to define a procedure for evaluating the determinant of a matrix of order 3:

|A| = a 11 ( C 11 ) + a 12 (C 12 ) + a 13 (C 13 )

Example 2-7 - Determinant of a Matrix of Order 3

Example 2-6 - Determinant of a Matrix of Order 2
Find the determinant of the following matrix: A =
Find the determinant of the following matrix: A =
Write down all of the equations:

-X + 2Y - 3Z = 1 (1)
2X + Z = 0 (2)
3X - 4Y + 4Z = 2 (3)

Set up a "coefficient matrix". This is a matrix with the coefficients of X in column 1, coefficients of Y in column 2, and coefficients of Z in column 3:
Calculate the determinant of the coefficent matrix using the method shown in Example 2-7: |A| = 10
Set up 3 more matrices by replacing individual columns with the values of the constants on the right side of the equations:
Calculate the determinants of these matrices using the method shown in Example 2-7: |A 1 | = 8

|A 3 | = -16

Apply Cramer's Rule:
So, the final solutions are: X = .8
Y = -1.5
Z = -1.6
This is a right triangle, and both a & b can be determined using basic trig. functions:
Since two sides and the angle between them are given, this is an example of a problem suited to the Law of Cosines. Call the side opposite the given angle C, and apply the Law of Cosines:
C 2 = A 2 + B 2 + 2AB cos c

C 2 = 6 2 + 4 2 + 2(6)(4) cos 20

The Law of Sines can now me used to find the angle .