조항

1.26: 피라미드와 원뿔 - 수학

1.26: 피라미드와 원뿔 - 수학



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

이 모듈 전체에서 계산기를 사용할 수 있습니다.

메모: 이 모듈에서 반올림(정밀도 및 정확도) 규칙을 반드시 따를 필요는 없습니다. 이러한 수치의 대부분은 유효 수치가 하나뿐인 차원을 갖지만 결과를 하나의 부호 무화과로 반올림하면 많은 정보를 잃게 됩니다.

답안에서 우리는 종종 가장 가까운 정수로 반올림하거나 가장 가까운 10분의 1로 반올림하거나 적절하다고 판단되는 두 개 또는 세 개의 유효 숫자로 반올림합니다.

피라미드

NS 피라미드 다각형 밑변과 공통 꼭지점이 있는 삼각형 면을 가진 기하학적 솔리드입니다( 꼭대기 피라미드). 피라미드는 바닥의 모양에 따라 명명됩니다. 가장 일반적인 피라미드는 밑변에 정사각형 또는 다른 정다각형을 사용하여 모든 면을 동일한 이등변 삼각형으로 만듭니다. 높이, 는 정점에서 밑면의 중심까지의 거리입니다. 피라미드와 함께 사용되는 두 가지 다른 측정값은 모서리 길이입니다. , 삼각형 면의 측면 및 경사 높이 , 삼각형 면의 높이.

피라미드의 부피

일반적으로 밑변이 있는 피라미드의 부피는 그리고 높이 ~이다

또는

밑변이 한 변의 길이가 있는 정사각형인 경우 , 볼륨은

또는

흥미롭게도 피라미드의 부피는 밑면과 높이가 같은 프리즘의 부피.

수업 과정

1. 피라미드는 측면이 있는 정사각형 바닥을 가지고 있습니다. 길이 센티미터, 높이 센티미터. 피라미드의 부피를 찾으십시오.

2. 이집트 기자의 대피라미드는 높이가 137m, 밑변이 230m인 정사각형입니다.[1] 피라미드의 부피를 찾으십시오.

측면 면적()은 각 삼각형 면의 면적을 더하여 구합니다.

피라미드의 측면 표면적

피라미드의 밑변이 다음을 갖는 정다각형인 경우 각 변의 길이 , 경사 높이는 , 그 다음에

또는

밑변이 정사각형이면

총 표면적()는 물론 밑변의 넓이를 더하여 구한다. 측면 표면적에. 밑면이 정다각형인 경우 이전 모듈에서 학습한 기술을 사용해야 합니다.

피라미드의 총 표면적

밑변이 정사각형이면

수업 과정

3. 피라미드는 측면이 있는 정사각형 바닥을 가지고 있습니다. 길이 센티미터, 경사 높이 센티미터. 피라미드의 측면 면적과 전체 표면적을 구하십시오.

4. 기자의 대피라미드는 미터 및 측면이 있는 정사각형 베이스 미터 길이. 피라미드의 측면 면적을 찾으십시오.

원뿔은 밑면이 원형인 피라미드와 같습니다.

높이를 결정할 수 있습니다. 원뿔의 높이(꼭지점에서 밑면에 수직) 또는 경사 높이 (이는 정점에서 원형 바닥의 가장자리까지의 길이입니다). 높이, 반경 및 경사 높이는 빗변으로 경사 높이를 갖는 직각 삼각형을 형성합니다. 피타고라스 정리를 사용하여 다음 등가식을 결정할 수 있습니다.

경사 높이, 키 , 반경 원뿔의 관계는 다음과 같습니다.

피라미드의 부피가 같듯이 밑변과 높이가 같은 프리즘의 부피, 원뿔의 부피는 밑면과 높이가 같은 실린더의 부피.

원뿔의 부피

밑면 반경이 있는 원뿔의 부피 그리고 높이 ~이다

또는

수업 과정

5. 원뿔의 밑면의 반지름은 센티미터이고 원뿔의 수직 높이는 센티미터. 원뿔의 부피를 찾으십시오.

6. 원뿔의 밑면의 지름은 피트이고 원뿔의 경사 높이는 피트. 원뿔의 부피를 찾으십시오.

원뿔의 표면적에 대해 다음 공식이 있습니다.

원뿔의 표면적

정당성을 설명하기 어렵다. 말로는 공식이지만 여기에 갑니다. 원뿔의 측면은 평평하게 했을 때 반지름이 있는 원입니다. 쐐기가 빠진 것입니다. 이 부분 원의 둘레는 원형 밑면의 둘레와 일치하므로 . 반지름이 있는 전체 원의 둘레 될 것이다 , 그래서 우리가 가지고 있는 부분은 전체 원의 일부일 뿐입니다. 정확히 말하면 분수는 로 줄이는 . 반지름이 있는 전체 원의 면적 될 것이다 . 부분 원은 분수이기 때문에 전체 원의 부분 원의 면적은 .

수업 과정

7. 원뿔의 밑면의 지름은 다음과 같습니다. 피트이고 원뿔의 경사 높이는 피트. 원뿔의 측면적과 전체 표면적을 구하십시오.

8. 원뿔의 밑면의 반지름은 센티미터이고 원뿔의 수직 높이는 센티미터. 원뿔의 측면적과 전체 표면적을 구하십시오.

이제 우리는 프리즘, 실린더, 구, 피라미드, 원뿔의 5가지 주요 솔리드를 살펴보았으므로 이러한 모양으로 만든 복합 솔리드를 다룰 수 있어야 합니다. 조각으로 가져 오는 것을 기억하십시오.

수업 과정

NS -갤런 프로판 탱크는 양쪽 끝에 반구가 있는 대략 실린더 모양입니다. 원통형 부분의 길이는 길이는 피트이고 탱크의 단면 직경은 피트.

9. 입방 피트 단위로 탱크의 부피를 계산하십시오.

10. 탱크가 견딜 수 있는지 확인하십시오. 액체 프로판 갤런.



피라미드에는 여러 종류가 있으며, 그 바닥의 모양을 따서 명명되었습니다.

피라미드 베이스
삼각형
피라미드:
정사각형
피라미드:
오각형
피라미드:


. 등등 .


메신저 해설

기자의 대피라미드는 고대 세계 7대 불가사의 목록에서 가장 오래된 기념물입니다. 기자의 대피라미드는 멘카우레의 피라미드, 카프레의 피라미드와 함께 쿠푸, 멘카우레, 카프레 파라오의 시신과 소유물을 보호하기 위해 거의 4600년 전에 세워졌습니다. 각 피라미드를 건설하는 데 20-25년이 걸렸으며 각 피라미드에는 약 2백만 개의 석회암 및/또는 화강암 블록이 있습니다.

예상할 수 있듯이 기자 피라미드에는 정수(선형) 측정값이 없으므로 단순성을 위해 선형 측정값을 가장 가까운 정수로 반올림하고 볼륨의 경우 유효 자릿수 3개만 사용합니다. 교사가 정확한 치수를 사용하여 학생들에게 도전하기를 원하는 경우 정보는 http://www.guardians.net/egypt/pyramids.htm에서 찾을 수 있습니다.

교사는 피라미드의 부피에 대한 방정식을 학생들에게 제공할지 여부를 결정할 수 있습니다. 방정식이 주어지면 이 작업은 매우 쉽고 수업 중 빠른 연습이 될 수 있습니다. 또는 이 작업은 다른 숙제와 함께 주어질 수 있습니다. 방정식이 주어지지 않으면 학생들은 가장 확실히 교사의 지도가 필요합니다.

작업은 각 부분에서 G-GMD.3에 맞춰져 있으며 피라미드의 부피를 찾거나 부피를 사용하여 밑면 또는 높이를 찾는 것이 포함됩니다. 표준 A-CED.4도 관련이 있습니다. 이 작업에서는 학생들이 관련 수량(부피, 밑변 및 높이)을 강조 표시하기 위해 정사각형 피라미드의 부피 공식을 재배열해야 하기 때문입니다.


노트르담

1163년에서 1250년 사이에 지어진 파리의 노트르담 대성당은 디자인의 여러 주요 비율에서 황금 비율 비율을 가지고 있는 것으로 보입니다. 디자인이 다소 비대칭이고 시차 왜곡으로 인해 사진으로 측정하기 어렵지만 녹색, 파란색 및 빨간색 직사각형의 황금 비율 선은 다음을 나타내는 주요 건축 선과 밀접하게 일치합니다.

  • Red – 지면에서 베이스의 수직 높이 : 1층 상단 : 2층 상단
  • 파란색 – 2층 베이스의 수직 높이 : 2층 상단 : 3층 상단
  • 녹색 – 왼쪽 상단 섹션 외부의 가로 너비: 상단 오른쪽 섹션 내부: 상단 오른쪽 섹션 외부:


피라미드와 원뿔의 부피

정육면체의 부피가 $a imes a imes a = a^3$라는 것을 알고 있기 때문에 이들 각각의 양마의 부피는 $frac<3>$.

확대

모서리 길이가 1단위인 정육면체를 잠시 생각해 보십시오. 볼륨이 $1 imes 1 imes 1$라는 것을 알고 있습니다. 이제 정육면체를 가로 방향으로 늘려 a x 1 x 1을 측정합니다. 이제 부피는 $a imes 1 imes 1$입니다. 큐브가 수평으로 슬라이스되어 있다고 상상하면 슬라이스의 수는 같지만 각 슬라이스는 몇 배의 길이가 될 것입니다.

정육면체를 수직 방향으로 늘려서 a x b를 1로 측정하면 부피는 $a imes b imes 1$ 또는 $b$ 배가 됩니다. 세 번째 수직 방향으로 정육면체를 축척 계수 $c$로 늘리면 부피는 $a imes b imes c$가 되며, 이를 직육면체의 부피 공식으로 알 수 있습니다.

3D 모양을 확대할 수 있는 세 가지 독립적인 방향이 있습니다. 이러한 방향 중 하나로 스케일 팩터 $k$만큼 확대하면 볼륨은 $k$ 배 커집니다.

우리의 yangma로 돌아가기:

높이가 기본 길이와 다른 양마의 부피를 원한다고 가정해 보겠습니다. 글쎄, 이것은 단지 수직 방향의 확대입니다.

스케일 팩터? $a$를 $h$로 바꾸는 경우 $frac를 곱합니다.$.
그래서 우리의 새로운 yangma의 볼륨은 $frac imes frac<3>$, 또는 $frac<3>$.

슬라이스 슬라이딩

이제 꼭짓점이 밑변의 꼭짓점 중 하나 위에 있는 정사각형 기반 피라미드의 부피에 대한 공식이 있습니다. 정점이 다른 곳에 있는 경우(예: 가운데)는 어떻습니까? 우리가 할 일은 피라미드가 수평으로 많은 조각으로 잘리는 것을 상상하는 것입니다. 피라미드의 상단이 하단의 중앙 위에 오도록 이 슬라이스를 가로질러 슬라이드할 것입니다.

슬라이스가 무한대라면 피라미드는 멋진 직선 모서리를 가질 것입니다. 슬라이스가 많을수록 이 그림보다 더 매끄럽게 보일 것이라고 상상할 수 있습니다. 슬라이스의 면적이 변경되었습니까? 그래서 모양의 부피가 변했습니까?

이제 정사각형 기반 피라미드의 부피가 $frac임을 알 수 있습니다.<3>$.

원뿔과 피라미드 비교

이제 콘을 살펴보겠습니다. 정점이 밑면의 중심 위에 있는 오른쪽 원뿔부터 시작하겠습니다. 사실, 이전 섹션에서와 같이 그것을 슬라이싱함으로써 우리는 동일한 공식이 모든 원뿔에 적용된다는 것을 보여줄 수 있습니다.

밑면이 원 반지름 $r$이고 높이가 $h$인 원뿔을 상상해 보십시오. 이 원뿔은 밑변 길이가 $2r$이고 높이가 $h$인 정사각형 피라미드 내부에 정확히 맞습니다.

피라미드 위쪽에서 원뿔이 내부에 있는 피라미드 조각을 가져갔다고 가정해 보겠습니다. 이것은 내부에 원이 맞는 정사각형처럼 보일 것입니다. 이 시점에서 원뿔의 반지름을 알지 못하므로 $x$라고 합니다.

정사각형의 넓이는 $2x imes 2x=4x^2$입니다.

원과 정사각형의 비율은 $pi : 4$입니다.

우리가 취하는 모든 슬라이스에 대해서도 마찬가지입니다. 원의 면적은 정사각형 면적의 $frac<4>$입니다.

피라미드의 부피는 $frac<(2r)^2h> <3>= frac<4r^2h><3>$입니다.

따라서 원뿔의 부피는 $frac <4> imes frac<4r^2h> <3>= frac<3>$입니다.

정사각형이 아닌 피라미드

같은 원리를 사용하여 피라미드의 부피를 찾을 수 있습니다.

직사각형 기반 피라미드

$a$ x $b$ 높이의 직사각형 밑변을 가진 피라미드가 있는 경우 $frac 축척으로 정사각형 기반 피라미드를 늘려서 얻을 수 있습니다.$. 새 볼륨은 $frac입니다. imes frac <3>= frac<3>$.

삼각형 기반 피라미드

피라미드의 밑변이 밑변이 $a$이고 수직 높이가 $b$인 삼각형이면 위의 직사각형 피라미드에 정확히 맞습니다.

모든 슬라이스는 다음과 같습니다.

이 조각에서 직사각형의 치수를 알지 못하지만 측면은 여전히 ​​$a:b$ 비율입니다(이에 대해 생각해야 할 수 있음). $k$와 $k라고 합시다.$($k$는 1보다 작음).

각 삼각형이 직사각형 크기의 절반인 경우 삼각형 기반 피라미드의 부피는 직사각형 기반 피라미드의 부피의 절반 또는 $a가 됩니다.시간/6$.

일반화

피라미드의 부피 공식은 $frac<1><3>mbox입니다. imes mbox$.
이것이 위의 피라미드(및 실제로 원뿔)에 대해 작동하는지 확인하십시오. 이것이 항상 사실이라고 자신을 확신할 수 있습니까?


Cavalieri's 원리를 피라미드와 실린더에 적용할 수 있습니까?

나는 Cavalieri의 원리가 두 개의 프리즘/원통 또는 두 개의 피라미드/원뿔이 밑면과 평행한 단면에서 동일한 면적을 갖고 높이가 같으면 부피도 같다는 것을 알고 있습니다. 그러나 피라미드/원뿔 및 프리즘/원통에도 여전히 적용됩니까?

연구: Cavalieri의 원리의 모든 예는 두 개의 프리즘/실린더를 보여줍니다. 또는 두 개의 피라미드/원뿔. 그들은 결코 섞이지 않습니다. 나는 Wolfram Mathworld에서 ". 각각의 밑면에서 동일한 거리는 항상 동일합니다. "로 정의되어 있음을 발견했습니다. 이는 프리즘의 단면이 일정하게 유지되기 때문에 원뿔과 프리즘이 이에 해당하지 않는다는 것을 의미하지만 원뿔은 높이에 따라 증가하거나 감소합니다.


예제 9: 원뿔의 표면적 구하기

다음 원뿔의 표면적을 찾으십시오(소수점 1자리로 수정).

베이스의 면적 찾기

벽의 면적 찾기

경사 높이 (h)를 찾기 위해 피타고라스 정리를 사용합니다.

면적의 합 구하기

최종 답변 작성

원뿔의 표면적은 ( ext<233,2>) ( ext$>).


피라미드, 프리즘, 실린더 및 원뿔

표면적은 기하학적 솔리드를 덮는 데 사용할 재료를 설명하는 영역입니다. 기하학적 솔리드의 표면적을 결정할 때 우리는 솔리드 내의 각 기하학적 형태에 대한 면적의 합을 취합니다.

부피는 그림을 담을 수 있는 정도를 나타내는 단위로 입방체 단위로 측정됩니다. 볼륨은 피규어의 용량에 대해 알려줍니다.

프리즘은 평행 사변형 인 측면에 의해 연결된 밑면이라고하는 두 개의 평행 한 합동면이있는 입체 도형입니다. 직사각형과 삼각형 프리즘이 있습니다.

프리즘(또는 다른 기하학적 솔리드)의 표면적을 찾기 위해 우리는 판지 상자처럼 솔리드를 열고 포함된 모든 기하학적 형태를 찾기 위해 평평하게 합니다.

프리즘의 부피를 찾기 위해(직사각형인지 삼각형인지는 중요하지 않음) 밑면 영역 B라고 하는 밑면의 면적에 높이 h를 곱합니다.

원통은 관이며 두 개의 평행한 합동 원과 원의 둘레를 밑변으로 하는 직사각형으로 구성됩니다.


한 원의 면적은 다음과 같습니다.

원의 둘레:

직사각형의 면적:

전체 실린더의 표면적:

원기둥의 부피를 찾기 위해 밑면(원)과 높이 h를 곱합니다.

피라미드는 밑면에 각각 3개 또는 4개의 삼각형 측면과 3개 또는 4개의 측면으로 구성됩니다. 아래 피라미드의 표면적을 계산할 때 4개의 삼각형 면적과 밑변의 면적의 합을 취합니다. 피라미드 내에서 삼각형의 높이를 경사 높이라고 합니다.


피라미드의 부피는 프리즘 부피의 1/3입니다.

원뿔의 밑면은 원이며 쉽게 볼 수 있습니다. 원뿔의 측면은 밑면이 원뿔 둘레의 절반이고 경사 높이가 높이인 평행사변형입니다. 보기가 조금 까다로울 수 있지만 원뿔의 측면 표면을 섹션으로 자르고 서로 옆에 놓으면 쉽게 볼 수 있습니다..


따라서 원뿔의 표면적은 밑면과 측면의 면적의 합입니다.


원뿔의 부피는 원기둥 부피의 1/3입니다.

밑변이 5이고 높이가 3인 프리즘의 부피를 구하십시오.


피라미드의 부피 구하기

정 밑면으로 피라미드의 부피를 찾으십시오.

밑변은 아래와 같이 6개의 정삼각형으로 나눌 수 있습니다.

정삼각형의 넓이 공식을 사용하여  

밑면 B의 면적은 다음과 같이 찾을 수 있습니다.

피라미드의 부피 공식 : 

B는 √3 / 2, h는 4로 대체  27 √3 / 2. 

따라서 피라미드의 부피는 약 31.2 입방 센티미터입니다.


기하학 그물은 3차원 입체를 형성하기 위해 접힐 수 있는 2차원 모양입니다. 입체 도형의 표면을 평면으로 하여 입체의 각 면을 표시할 때 얻은 패턴을 그물이라고 합니다. 그물은 고체의 표면적을 찾는 데 유용합니다. 다음은 그물이 고체를 형성하는지 여부를 결정하기 위해 취해야 하는 몇 가지 단계입니다.

  • 네트와 솔리드의 면 수가 같은지 확인하고 네트의 면 모양과 해당 면의 모양이 일치하는지 확인합니다.
  • 그물이 어떻게 접혀서 단단한 형태가 되고 모든 면이 제대로 맞춰지는지 시각화하십시오.

큐브 그물

정육면체는 길이가 같은 6개의 면이 있는 3차원 도형입니다. 정육면체에는 8개의 꼭짓점과 12개의 모서리가 있습니다. 정육면체의 모든 면은 정사각형입니다. 정육면체의 평면 각은 직각입니다. 서로 마주보는 모서리는 평행합니다.

큐브의 가능한 11개의 그물

실린더 그물

원통에는 고정된 거리에서 곡면으로 연결된 두 개의 평행한 밑면이 있습니다. 베이스는 원형이고 두 베이스의 중심은 축이라고 하는 선분으로 연결됩니다. 베이스 사이의 수직 거리는 높이이고 축에서 외부 표면까지의 거리는 원통의 반지름입니다.

직사각형 프리즘의 그물

직사각형 프리즘은 6개의 면을 가지며 각 면은 직사각형입니다. 프리즘의 밑면은 모두 직사각형이고 다른 측면도 직사각형입니다. 직육면체라고도 합니다.

직사각형 프리즘의 그물

삼각기둥의 그물

삼각형 프리즘은 두 개의 삼각형 밑변과 세 개의 직사각형 변을 가진 다면체입니다. 다른 프리즘과 마찬가지로 두 개의 밑면이 합동이고 평행합니다. 프리즘은 5개의 면, 9개의 변 및 6개의 꼭짓점을 가지고 있습니다.

원뿔 그물

원뿔은 꼭짓점이라고하는 공통 점을 원형 밑면의 모든 점에 연결하는 일련의 선분을 사용하여 형성된 모양입니다. 원뿔의 꼭짓점에서 밑면까지의 거리를 높이라고 합니다.

사각 피라미드의 그물

네모난 밑변과 네 개의 삼각형 면이 한 점에서 만나는 3차원 기하학적 모양을 정사각뿔이라고 합니다. 모든 삼각형 면의 모서리가 같으면 이 피라미드를 정사각뿔이라고 합니다.

고체 그물에 대한 해결 예

아래 주어진 솔리드 모양의 그물을 스케치하십시오.

피라미드가 가장자리를 따라 펼쳐지면 다음과 같은 그물을 얻습니다.

오각 피라미드의 그물은 다음과 같습니다.

아래 주어진 솔리드 모양의 그물을 스케치하십시오.

프리즘이 가장자리를 따라 펼쳐지면 다음 그물을 얻습니다.

육각기둥의 그물은 다음과 같습니다.

아래 주어진 솔리드 모양의 그물을 스케치하십시오.

프리즘이 가장자리를 따라 펼쳐지면 다음 그물을 얻습니다.

육각기둥의 그물은 다음과 같습니다.

Nets of Solid에 대한 자주 묻는 질문

1. 실생활에서 그물은 어떻게 유용합니까?

그물은 고체의 표면적을 찾는 데 사용됩니다. 그물의 예는 모두 3차원 기하학적 모양입니다. 3차원 기하학적 모양 중 일부는 사각뿔, 원뿔, 원통, 삼각기둥, 사각뿔, 사각기둥 및 기타입니다.

2. 솔리드가 다른 네트를 가질 수 있습니까?

예, 솔리드에는 다른 그물이 있습니다. 그물이 어떻게 접혀서 단단한 모양이 되는지 시각화하고 모든 면이 제대로 맞춰졌는지 확인합니다. 솔리드와 네트의 면 수가 같은지 확인하고 면의 모양이 일치해야 합니다.

3. 3D 도형의 그물은 무엇입니까?

3D 모양의 그물은 평평하게 펼치면 이런 모양입니다. 그물을 접어서 3D 모양을 만들 수 있습니다. 하나의 3D 모양에 대해 여러 개의 가능한 네트가 있을 수 있습니다. 종이에 그물을 그린 다음 모양으로 접습니다.


비디오 보기: EBS 수학의 답 입체도형의 성질- 13 원뿔의 겉넓이 (팔월 2022).